点、直线、平面的投影(改版).ppt

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1、第2章 点、直线、平面的投影,2.1 投影法及其分类,2.2 点的投影,2.3 直线的投影,2.4 平面的投影,2.5 直线与平面及两平面的 相对位置,本章小结,结束放映,平行投影法,中心投影法,2.1 投影法及其分类,投影法,投射线,物体,投影面,投影,投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法投影法。,投射中心,斜投影法,正投影法,中心投影法,投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差。,投 影 特 性,物体位置改变，投影大小也改变。,中心投影应用电冰箱两点透视图,平行投影法,投 影 特 性,投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好。

2、,工程图样多数采用正投影法绘制。,正投影法,斜投影法,投影法,中心投影法,平行投影法,正投影法,斜投影法,画透视 图,画斜轴测 图,画工程图样及正轴测图,正投影应用正轴测图,斜投影应用斜轴测图,多面正投影应用组合体,多面正投影应用机械装配图,正投影的基本性质,1.全等性,当空间直线或平面平行于投影面时，其投影反映直线的实长或平面的实形，这种投影性质称为全等性。,2.积聚性,当直线或平面垂直于投影面时，其投影积聚为一点或一条直线，这种投影性质称为积聚性。,正投影的基本性质,3.类似性,当空间直线或平面倾斜于投影面时，其投影仍为直线或与之类似的平面图形，其投影的长度变短或面积变小，这种投影性质称为

3、类似性。,正投影的基本性质,结束？,继续？,采用多面投影。,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,一、点在一个投影面上的投影,a,2.2 点的投影,二、点的两面投影,1、两面投影体系,2、两面投影体系中点的投影,2、两面投影中点的投影（A点的水平投影用 表示，正面投影用 表示）,点的投影特征？,二、点的两面投影,2、两面投影中点的投影（A点的水平投影用 表示，正面投影用 表示）,点的投影特征,二、点的两面投影,三、点的三面投影,三面投影体系,我国采用第一角投影体系。,三、点的三面投影,投影面,正面投影面（简称正 面或V面）,水

4、平投影面（简称水 平面或H面）,侧面投影面（简称侧 面或W面）,投影 轴,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY轴 H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,空间点A在三个投影面上的投影,注意：空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不 动,投影面展开,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,点的投影规律:,aaOX轴,aax=,aax=,aay=,a,y,Y,Z,az,a,X,Y,ay,O,a,ax,ay,a,aaOZ轴,=y,=Aa（A到V面的距离）,aaz,=x,=Aa（A到W面的距离）,aay,=z,

5、=Aa（A到H面的距离）,aaz,例1:已知A点的坐标值A(12，10，15)，求作A点的 三面投影图。,作投影轴；,量取：Oax=12、Oaz=15、OaYH=OaYW=10,得ax、az、OaYH、OaYW等点；,步骤:,过ax、az、aYH、aYW等点分别作所在轴的垂线，交点a、a、a既为所求。,例2：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作45线 使aaz=aax,解法二:,用圆规直接量取aaz=aax,1.在空间（X，Y，Z）,点在投影体系中有四种位置情况：,四、点的空间位置,X,V,Y,O,W,Z,H,由于X，Y，Z均不为零，对三个投影面都有一定距

6、离，所以点的三个投影都不在轴上。,由于点在投影面上，点对该投影面的距离为零。所以，点在该投影面上的投影与空间点重合，另两投影在该投影面的两根投影轴上。,2.在投影面上：在H面上（X，Y，0）,X,V,Y,O,W,Z,H,在V面上（X，0，Z）,在W面上（0，Y，Z）,四、点的空间位置,四、两点的相对位置,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,判断方法：,x 坐标大的在左,y 坐标大的在前,z 坐标大的在上,B点在A点之前、之右、之下。,b,a,a,a,b,b,X,Y,Y,Z,o,(),a c,c,重影点：,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点

7、。,a,a,c,被挡住的投影加(),A、C为H面的重影点,结束？,继续？,作 业,P3 1-6,本节要点：1、掌握各种位置直线的投影特性，根据直线的投影判断其空间位置的分析方法。2、用“直角三角形法”确定一般位置线段的实长及其对投影面倾角的作图原理和作图方法。3、属于直线的点的投影特性及其作图方法。4、空间两直线平行、相交、交叉的投影特性及其作图方法。难点：求作一般位置线与投影面倾角的图解作图。解题关键：掌握线段实长、倾角、投影三者的几何关系。,2.3 直线的投影,2.3 直线的投影,两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。,直线对一个投影面的投影特性,一、直线的投

8、影特性,直线垂直于投影面投影重合为一点 积 聚 性,直线平行于投影面投影反映线段实长 ab=AB,直线倾斜于投影面投影比空间线段短 ab=AB.cos,直线在三个投影面中的投影特性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。,投影面平行线,X,Z,水平线,实长,在其平行的那个投影面 上的投影反映实长，并 反映直线与另两投影面 倾角的实大。,另两个投影面上的投影 平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反 映直线与它

9、所平行的投 影面之间的距离。,投影特性：,判断下列直线是什么位置的直线？,侧平线,正平线,与H面的夹角:与V面的角:与W面的夹角:,实长,实长,直线与投影面夹角的表示法：,反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。,投影面垂直线,铅垂 线,正垂 线,侧垂线,另外两个投 影，,在其垂直的投影面 上，,投影有积聚性。,投影特性:,一般位置直线,三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。,投影特性,为V面投影ab与OX轴的夹角为直线AB与H投影面的夹角,三个投影与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小

10、,k,例1：判断下列直线的空间位置,AB为水平线,CD为侧平线,二、线段的实长及倾角,直角三角形法：,1）用直线的一个投影作一直角边，另一直角边为直线 两端点对该投影面的坐标差。,2）用三角形的斜边为直线的实长，斜边与 投影边 间夹角为对该投影面的真实倾角。,法一:利用H面投影求解,P12 例题3：已知AB的投影 及 且AB33mm，求作正面投影。,作图：,以水平投影y坐标差为一条直角边，过e作直线efbe线。,以b为圆心，以33mm为半径作弧，交ef于。,以 为圆心，以 为半径作弧，交出。,法二:利用V面投影求解,三、直线上的点,若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。,点的投影将线段

11、的同名投影分割成与空间线段相同的比例。即：,AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb,定比定理,投影性质：,例1：判断点C是否在线段AB上。,在,不在,a,b,不在,应用定比定理,因ac:cb ac:cb 故点K不在AB上。,例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。,解法一：（应用第三投影）,解法二：（应用定比定理）,a,b,2,1,四、两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉（异面）。,两直线平行,空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然，且各同面投影的长度之比等于直线长度之比。,例：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相

12、平行，空间两直线就平行。,AB与CD平行。,AB与CD不平行。,对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,两直线相交,若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。即 k k OX轴,交点是两直线的共有点,a,c,V,X,b,H,D,a,c,d,k,C,A,k,K,d,b,O,B,O,X,O,X,c,d,k,k,d,例1：过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,例2：判断直线AB、CD的相对位置。,相交吗？,不相交！,为什么？,交点不符合空间一个点的投影特性。,判断方法？,应用定比定理,利用侧面投影,【例3】求作水平线段CD，使之与侧

13、平线AB相交于点K，且CD15mm。,作图步骤：,1(2),3(4),3.两直线交叉,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。,“交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、是面的重影点，、是H面的重影点。,AB与CD两直线相交吗,投影特性：,不相交！,为什么？,交点不符合一个点的投影规律,结束？,继续？,作 业,P4：全部P5：9-12P6：1、4,2.4 平面的投影,本节要点：1、掌握平面的各种表示形式（方法），以及各种形式之间的联系。2、平面在三投影面体系中的投影特性（包括根据投影图判断平面的空间位置）。3、平面内的点和直线的投影特性及其作图

14、方法。重点掌握线面从属关系的投影作图。,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,2.4 平面的投影,一、平面的表示法,二、平面的投影特性,实形性,类似性,积聚性,平面对一个投影面的投影特性,平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,c,c,投影面垂直面,为什么？,a,b,c,a,b,b,a,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平

15、面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影为类似形。,投影面平行面,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,一般位置平面,三个投影都类似。,投影特性：,a,c,b,c,a,a,b,c,b,例：正垂面ABC与H面的夹角为45，已知其水平投影 及顶点B的正面投影，求ABC的正面投影及侧面 投影。,思考：此题有几个解？,三、平面上的直线和点,位于平面上的直线应满足的条件：,平面上取任意直线,若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。,若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此

16、直线在该平面内。,d,例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在 平面内任作一条直线。,解法一：,解法二：,有无数解！,例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距 离为10mm。,n,m,n,m,c,a,b,c,a,b,唯一解！,平面上取点,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,面上取点的方法：,d,d,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,首先面上取线,b,c,k,a,d,a,d,b,c,k,b,例2：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。,解法一：,解法二：,d,e,例

17、3：在ABC内取一点M，并使其到H面V面的 距离均为10mm。,结束？,继续？,作 业,P7 除第5题外,2.5 直线与平面及两平面的相对位置,相对位置包括平行、相交和垂直。,一、平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行,直线与平面平行,a,c,b,m,a,b,c,m,n,例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。,有无数解,d,d,正平线,例2：过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。,唯一解,c,b,a,m,a,b,c,m,n,d,d,两平面平行,若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。,若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,

18、a,c,e,b,b,a,d,d,f,c,f,e,k,h,k,h,O,X,m,m,由于ek不平行于ac,故两平面不平行。,例：判断平面ABDC与平面EFHM是否平行，已知ABCDEFMH,直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。,二、相交问题,直线与平面相交,要讨论的问题：,求直线与平面的交点。,判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可 见性。,我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。,求交点,判别可见性,由水平投影可知，KN段在平

19、面前，故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,作图,用线上取点法,1(2),1(2),k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c,直线为特殊位置,空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。,求交点,判别 可见性,点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故k2为不可见。,作 图,用面上取点法,两平面相交,两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：,求两平面的 交线,方法：,确定两平面的两个共有点。,确定一个共有点及交线的方向。,只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,判别

20、两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。,求交线,判别 可见性,作图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,能!,如何 判别？,例：求两平面的交线 MN并判别可见性。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),例：求两平面的交线 MN并判别可见性。,空间及投影分析,求交线,判别可见性,作 图,从正面投影上可看出，在交线左侧

21、，平面ABC在上，其水平投影可见。,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。,空间及投影分 析,平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m、n 即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。,求交线,判别可见性,点在MC上，点在FH上，点在前，点在后，故mc 可见。,作 图,a,b,d(e),e,b,d,h(f),c,f,c,h,空间及投影分析,平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m、n 即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。,求

22、交线,判别 可见性,点在MC上，点在FH上，点在前，点在后，故mc 可见。,作 图,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N点的水平投影n位于def 的外面，说明点N位于DEF所确定的平面内，但不位于DEF这个图形内。所以ABC和DEF的交线应为MK。,互交,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N点的水平投影n位于def 的外面，说明点N位于DEF所确定的平面内，但不位于DEF这个图形内。所以ABC和DEF的交线应为MK。,互交,三、垂直问题,如果空间直线与平面垂直，则该直线垂直于平面上的所有直线。当直线垂直于某投影面垂直面时，则该直线必平行于某投影面

23、，直线与平面在该投影面上的投影相互垂直。,一、直线与平面垂直,另注：变换投影面法不实用，不需掌握。第三章 投影变换 不讲,两平面垂直时，它们的夹角为直角。当该两平面又同时垂直于某一投影面时，它们的交线必为该投影面的垂直线，而它们在该投影面上的投影必积聚为互成直角的两条直线。,二、平面与平面垂直,直线与一般位置平面垂直，两相互垂直平面与投影面不垂直时，可以通过变换投影面加以处理。,结束？,继续？,作 业,P9-11,小 结,点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊位置直线 与平面的投影特性。,重点掌握：,点、直线、平面的相对位置的判断方法及投影特性。,一、直线上的点,点的投影在直线的同名投影上。,点

24、的投影必分线段的投影成定比定比定理。,判断方法:,二、两直线的相对位置,平行,同名投影互相平行。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,相 交,交叉（异面）,同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。,三、线段的实长及倾角,直角三角形法：,1）用直线的一个投影作一直角边，另一直角边为另一投影的坐标差。,2）其三角形的斜边为直线的实长，斜边与 投影边间夹角为对该投 影面的真实倾角。,四、点

25、与平面的相对 位置,面上取点的方法:,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,五、直线与平面的相对位置,直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。,直线与平面相 交,投影面垂直线与一般位置 平面求交点，利用交点的 共有性和直线的积聚性，采取平面上取点的方法求 解。,一般位置直线与特殊位置 平面求交点，利用交点的 共有性和平面的积聚性，采用直线上取点的方法求 解。,五、两平面的相对位置,两平面平 行,若一平面上的两相交 直线分别平行于另一 平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。,若两投影面垂直面相 互平行，则它们具有 积聚性的那组投影必 相互平行。,两平面相 交,两特殊位置平面相交，分 析交线的空间位置，有时 可找出两平面的一个共有 点，根据交线的投影特性 画出交线的投影。,一般位置平面与特殊位置 平面相交，可利用特殊位 置平面的积聚性找出两平 面的两个共有点，求出交 线。,END,