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1、Chapter 4,特征值与特征向量小结,一、内容小结,2.相似矩阵的定义与性质,3.矩阵可对角化的条件,1.特征值特征向量的定义与性质,4.正交矩阵的定义与性质,5.实对称矩阵特征值特征向量的性质,1.特征值特征向量的定义与性质,定义.,(1)属于不同特征值的特征向量是线性无关的,(2)属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量,(3)矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值,有非0解.,结论1.,方阵A的特征值的几何重数不超过它的代数重数.,结论2.,对角阵、上三角阵、下三角阵的特征值即为其主对角线
2、上的元素.,结论3.,结论4.,结论5.,若 是矩阵 A的特征值,x是 A的属于 的特征向量,则,2.相似矩阵的定义与性质,3.矩阵可对角化的条件,定理1.,结论1.,若n阶矩阵A有n个互不相等的特征值,则A与对角阵相似.,结论2.,结论3.,实对称矩阵一定可对角化.,4.正交矩阵的定义与性质,若P为正交矩阵,则线性变换y=Px称为正交变换.,正交变换不改变向量的长度,也不改变两向量间的内积及夹角.,5.实对称矩阵特征值特征向量的性质,(1)实对称矩阵的特征值为实数.,(2)实对称矩阵的特征向量为实向量.,(3)实对称矩阵A对应于不同特征值的特征 向量是正交的.,(4)实对称矩阵的每个特征值的
3、代数重数 与几何重数相等.,定理.,二、题型与方法,2.判别矩阵是否可对角化，找可逆矩阵使其与对角阵相似,1.求特征值特征向量,3.实对称矩阵的对角化（可逆变换与正交变换）,利用可逆矩阵将实对称矩阵对角化,其具体步骤为：,利用正交矩阵将实对称矩阵对角化,其具体步骤为：,1.求特征值特征向量,Solution.,Solution.,Proof.,?,2.判别矩阵是否可对角化，找可逆矩阵使其对角化,ex4.判断下列实矩阵能否化为对角阵？,Solution.,=其代数重数.,因而A可对角化.,=其代数重数.,故 不能化为对角矩阵.,且知A有一特征值为1,求x的值及A的其它特征值,并判断A是否能与对角阵相似？,Solution.,A能否对角化？若能对角化,则求出可逆矩阵P,Solution.,得基础解系,所以 可对角化.,得基础解系,Solution.,3.实对称矩阵的对角化,Solution.,求得基础解系,正交化,单位化,求得基础解系为,单位化,4.简单证明题及其它,Proof.,Solution.,Solution 1.,或者,Solution 1.,Solution 2.,Solution 3.,Solution.,Solution.(1),(2).,The end,
