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1、湖南科技大学 吴晓勤,1,第五章 特征值与二次型,1向量的内积,2方阵的特征值和特征向量,3相似矩阵,4化二次型为标准型,5正定二次型,湖南科技大学 吴晓勤,2,第一节 向量的内积,一 内积的定义和性质,三 正交向量组,二 向量的长度与夹角,四 正交矩阵与正交变换,湖南科技大学 吴晓勤,3,一、内积的定义与性质,1、定义,设维实向量,称实数,为向量与的内积，记作,注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有,湖南科技大学 吴晓勤,4,说明,1 维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义,湖南科技大学 吴晓勤,5,例1 计算x,y，其中x,y如下：(1)x=(0,1,5,
2、-2),y=(-2,0,-1,3);(2)x=(-2,1,0,3),y=(3,-6,8,4).解：(1)x,y=0(-2)+10+5(-1)+(-2)3=-11;(2)x,y=(-2)3+1(-6)+08+34=0.,湖南科技大学 吴晓勤,6,、性质,（1）对称性：,（2）线性性：,（3）正定性：,、长度的概念,当且仅当,时,二、向量的长度与夹角,令,为维向量,的长度（模或范数）.,特别,长度为的向量称为单位向量.,湖南科技大学 吴晓勤,7,（1）正定性：,（2）齐次性：,（3）三角不等式：,、性质,（4）柯西施瓦兹（CauchySchwarz）不等式:,当且仅当与的线性相关时，等号成立.,注
3、,当,时，,由非零向量得到单位向量,是的单位向量.,称为把单位化或标准化.,的过程,湖南科技大学 吴晓勤,8,、夹角,设与为维空间的两个非零向量，与的夹,角的余弦为,因此与的夹角为,例,解,练习,湖南科技大学 吴晓勤,9,三、正交向量组,1、正交,注,若，则与任何向量都正交.,对于非零向量与，,2、正交组,若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则,这个向量组称为正交向量组，简称正交组.,3、标准正交组,由单位向量组成的正交组称为标准正交组.,湖南科技大学 吴晓勤,10,常采用正交向量组作为向量空间的基,称为向量空间的正交基.,定理1 若n维非零向量1,2,r为正交向量组,则它们为线性无关向
4、量组.,湖南科技大学 吴晓勤,11,如果r(rn)个n维非零向量两两正交,则总可以添上n-r个n维非零向量,使这n个向量两两正交,从而构成正交向量组.,湖南科技大学 吴晓勤,12,湖南科技大学 吴晓勤,13,湖南科技大学 吴晓勤,14,湖南科技大学 吴晓勤,15,湖南科技大学 吴晓勤,16,湖南科技大学 吴晓勤,17,几何解释,湖南科技大学 吴晓勤,18,湖南科技大学 吴晓勤,19,湖南科技大学 吴晓勤,20,四、正交矩阵和正交变换,1、定义,如果阶矩阵满足：,则称为正交矩阵.,则,可表示为,若按列分块表示为,亦即,其中,湖南科技大学 吴晓勤,21,的列向量是标准正交组.,的一个标准正交基.,
5、正交矩阵的个列（行）向量构成向量空间,正交矩阵的充要条件,的行向量是标准正交组.,注,湖南科技大学 吴晓勤,22,课前复习,、内积,、长度,、夹角,、正交,、施密特（Schmidt）正交化法,、正交矩阵和正交变换,其中为正交矩阵,正交变换的优良特性：,长度不变,湖南科技大学 吴晓勤,23,例 判别下列矩阵是否为正交阵,湖南科技大学 吴晓勤,24,解,所以它不是正交矩阵,考察矩阵的第一列和第二列，,由于,湖南科技大学 吴晓勤,25,所以它是正交矩阵,由于,湖南科技大学 吴晓勤,26,湖南科技大学 吴晓勤,27,1将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化,小 结,
6、2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：,湖南科技大学 吴晓勤,28,作 业,习题五（P 126）：3:(2),4，5:（2)。,湖南科技大学 吴晓勤,29,求一单位向量，使它与,正交,思考题,湖南科技大学 吴晓勤,30,思考题解答,湖南科技大学 吴晓勤,31,说明,2 方阵的特征值和特征向量,湖南科技大学 吴晓勤,32,湖南科技大学 吴晓勤,33,湖南科技大学 吴晓勤,34,解,例1,湖南科技大学 吴晓勤,35,湖南科技大学 吴晓勤,36,例,解,湖南科技大学 吴晓勤,37,湖南科技大学 吴晓勤,38,求一个方阵A的特征值与特征向量,其步骤一般为:1)计算A的特征多项式f()=|A-En
7、|;2)求出f()=0全部根,这些根就是A的全部特征值3)对于每一个特征值0,求出齐次线性方程组(A-0En)x=0的一个基础解系,设为1,2,s,则k11+k22+kss(ki不全为零,i=1,2,s)就是A的属于特征值0的全部特征向量.,湖南科技大学 吴晓勤,39,湖南科技大学 吴晓勤,40,湖南科技大学 吴晓勤,41,例4 证明：若 是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则,证明,湖南科技大学 吴晓勤,42,湖南科技大学 吴晓勤,43,定理设x是方阵A的对应于特征值的特征向量,则1)k 是kA的特征值,特征向量为x;2)m是Am的特征值,特征向量为x;3)-1是A-1的特征值,特征向量
8、为x;4)若f(x)=a0 xm+a1xm-1+am,则f()是f(A)=a0Am+a1Am-1+amE的特征值,特征向量不变.,湖南科技大学 吴晓勤,44,湖南科技大学 吴晓勤,45,湖南科技大学 吴晓勤,46,注意,.属于不同特征值的特征向量是线性无关的,.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量,.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值,湖南科技大学 吴晓勤,47,湖南科技大学 吴晓勤,48,求矩阵特征值与特征向量的步骤：,小结,湖南科技大学 吴晓勤,49,作 业,习题五（P 126）：3:(
9、2),4，5:（2)。9.（2)14,湖南科技大学 吴晓勤,50,思考题,、若为可逆阵的特征值，则,的一个特征值为（）,、证阶方阵的满足，则的特征值为,或,湖南科技大学 吴晓勤,51,思考题解答,湖南科技大学 吴晓勤,52,3 相似矩阵,湖南科技大学 吴晓勤,53,对于相似矩阵，我们关心的问题是：与A相似的矩阵中，最简单的形状是什么？,对阶方阵，,若能寻得相似变换矩阵使,称之为把方阵对角化,定理的推论说明，如果阶矩阵与对角矩阵相,似，,则的主对角线上的元素就是的全部特征值,湖南科技大学 吴晓勤,54,证明,湖南科技大学 吴晓勤,55,湖南科技大学 吴晓勤,56,命题得证.,湖南科技大学 吴晓勤
10、,57,说明,如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，还是能对角化,湖南科技大学 吴晓勤,58,例设方阵,的一个特征向量为,（1）求参数a,b的值及A的与特征向量p对应的特征向量.（2）A与对角矩阵是否相似？,在矩阵中，有一类特殊矩阵，一定可对角化。,湖南科技大学 吴晓勤,59,定理6实对称矩阵的特征值为实数.,证明,湖南科技大学 吴晓勤,60,于是有,两式相减，得,湖南科技大学 吴晓勤,61,定理6的意义,湖南科技大学 吴晓勤,62,证明,于是,湖南科技大学 吴晓勤,63,定理8 设A为实对称矩阵，则必存在正交
11、矩阵T，使,湖南科技大学 吴晓勤,64,湖南科技大学 吴晓勤,65,解 显然A=A。故一定存在正交矩阵T，使T-1AT为对角矩阵。,先求A的特征值,湖南科技大学 吴晓勤,66,湖南科技大学 吴晓勤,67,求得一基础解系为,正交化，令,再单位化，令,湖南科技大学 吴晓勤,68,求得一基础解系为,只有一个向量，只要单位化，得,湖南科技大学 吴晓勤,69,以正交单位向量组 为列向量的矩阵T 就是所求的正交矩阵。,有,湖南科技大学 吴晓勤,70,1.对称矩阵的性质：,小 结,(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在
12、正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值,2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：,(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量单位化；(4)最后正交化,湖南科技大学 吴晓勤,71,思考题,湖南科技大学 吴晓勤,72,思考题解答,湖南科技大学 吴晓勤,73,作 业,习题五（P 126）：3:(2),4，5:（2);9.（2)，14;15:（2)，16.,湖南科技大学 吴晓勤,74,二次型写成矩阵形式,4 化二次型为标准型,湖南科技大学 吴晓勤,75,用矩阵表示,湖南科技大学 吴晓勤,76,湖南科技大学 吴晓勤,77,解,例,湖南科技大学 吴晓勤,78,在二次型的矩阵表示
13、中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,湖南科技大学 吴晓勤,79,设,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形,湖南科技大学 吴晓勤,80,例如,为二次型的标准形.,湖南科技大学 吴晓勤,81,说明经可逆变换x=Cy后,二次型f 的矩阵A变为对称矩阵CAC,且二次型的秩不变,矩阵的合同关系与相似关系一样,都满足反身性,对称性,传递性.,证 因A=A,故B=(CA C)=CAC=CAC=B即B为对称矩阵.,又因为B=CAC,而C与C均为可逆矩阵,故A与B等价,于是
14、R(B)=R(A).,湖南科技大学 吴晓勤,82,说明,湖南科技大学 吴晓勤,83,湖南科技大学 吴晓勤,84,湖南科技大学 吴晓勤,85,湖南科技大学 吴晓勤,86,湖南科技大学 吴晓勤,87,湖南科技大学 吴晓勤,88,湖南科技大学 吴晓勤,89,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,湖南科技大学 吴晓勤,90,拉格朗日配方法,用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变,问题有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？,问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法拉格朗日配方法,湖南科技大学 吴晓勤,91,1.若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的
15、变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;,拉格朗日配方法的步骤,2.若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.,湖南科技大学 吴晓勤,92,解,例1,湖南科技大学 吴晓勤,93,湖南科技大学 吴晓勤,94,所用变换矩阵为,湖南科技大学 吴晓勤,95,解,例2,由于所给二次型中无平方项，所以,湖南科技大学 吴晓勤,96,再配方，得,湖南科技大学 吴晓勤,97,所用变换矩阵为,任意一个二次型都可以用配方法化为标准形,但当所用的可逆线性变换不同时,得到的标准形可能不同.,湖南科技大学 吴晓勤,98,将一个二次型
16、化为标准形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用,正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单,需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩,湖南科技大学 吴晓勤,99,初等变换方法,湖南科技大学 吴晓勤,100,湖南科技大学 吴晓勤,101,湖南科技大学 吴晓勤,102,湖南科技大学 吴晓勤,103,
17、小结,1.实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法,2.实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换还介绍另外的方法拉格朗日配方法，初等变换法。,湖南科技大学 吴晓勤,104,作 业,习题五（P 128）：22(1),24,湖南科技大学 吴晓勤,105,思考题,湖南科技大学 吴晓勤,106,思考题解答,湖南科技大学 吴晓勤,107,湖南科技大学 吴晓勤,108,湖南科技大学 吴晓勤,109,5 正
18、定二次型,湖南科技大学 吴晓勤,110,湖南科技大学 吴晓勤,111,湖南科技大学 吴晓勤,112,湖南科技大学 吴晓勤,113,湖南科技大学 吴晓勤,114,湖南科技大学 吴晓勤,115,湖南科技大学 吴晓勤,116,湖南科技大学 吴晓勤,117,湖南科技大学 吴晓勤,118,湖南科技大学 吴晓勤,119,2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：,(1)定义法；,(2)顺次主子式判别法；,(3)特征值判别法.,小结,1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系,3.根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法.,湖南科技大学 吴晓勤,120,思考题,湖南科技大学 吴晓勤,121,思考题解答,湖南科技大学 吴晓勤,122,作 业,习题五（P 128）：26(1,2),29,
