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1、41,1,可证明：,(3)格形结构最小二乘法的算法,令：U=X1,m(n)、u=z-m-1x(n)、y=x(n)、z=(n),有：,41,2,正交原理：,定义前向预测误差矢量和后向预测误差矢量的相关系数为：,41,3,第m+1阶后向反射系数定义为：,满足格形结构表示式,类似上述推导，令：U=X1,m(n)、u=x(n)、y=z-m-1x(n)、z=(n),有：,第m+1阶前向反射系数定义为：,前向预测残差有：,41,4,令U=X1,m(n)、u=z-m-1x(n)、y=x(n)，z=x(n),有：,对比,后向预测残差有：,有：,类似地，令：U=X1,m(n)、u=x(n)、y=z-m-1x(n
2、)、z=z-m-1x(n),41,5,令：U=X1,m(n)、u=(n)、y=z-m-1x(n)、z=x(n),其中m(n-1)为角度参数：,令：U=X1,m(n)、u=z-m-1x(n)、y=(n)、z=(n),格形结构自适应最小二乘算法：,初始化：,41,6,时间迭代：,按n=1，2，变化，对每一个n时刻，设：,m从0，1，到p-1迭代：,计算m+1(n)：,计算：,计算：,计算m+1(n)：,计算各阶前后向反射系数：,从这些反射系数推导信号AR模型的系数,41,7,6、快速横向滤波器,利用线性矢量空间及其投影技术，也可推导固定阶数的横向最小二乘自适应滤波器的算法 这种滤波器称为快速横向滤
3、波器(FTF),(1)横向滤波器,快速横向滤波器的自适应算法涉及4种横向滤波器 这4种滤波器都可用横向滤波算子来描述,最小二乘横向滤波器,n时间的观察矢量x(n)为：x(n)=x(1)x(2)x(n)T 用一权系数矢量为w(n)=w1(n)w2(n)wp(n)T的p阶横向滤波器，从x(n)估计期望信号矢量d(n)=d(1)d(2)d(n)T，所得的最小二乘估计为：,其中矩阵X0,p-1(n)为：,41,8,根据,最小二乘横向滤波器的权系数矢量解为：,定义n p阶矩阵U的横向滤波算子：,41,9,矩阵X0,p-1(n)的横向滤波算子为：,估计误差矢量的当前分量为：,横向滤波算子K0,p-1(n)
4、是pn阶矩阵,根据,，估计的误差矢量为：,是矩阵X0,p-1(n)列矢量张成的子空间的正交投影矩阵,41,10,前向预测误差滤波器,格形结构最小二乘法中，可利用n时刻以前的p个观察值，对x(n)做最小二乘估计，这种估计称为最小二乘前向预测 利用线性矢量空间概念，观察矢量x(n)的前向预测矢量为：,其中矩阵X1,p(n)为：,ap(n)是最小二乘前向预测系数矢量：ap(n)=a1(n)a2(n)ap(n)TP1,p(n)是矩阵X1,p(n)列矢量张成的子空间的投影矩阵：,41,11,矩阵X1,p(n)的横向滤波算子为：,最小二乘前向预测误差矢量的当前分量为：,最小二乘前向预测系数矢量ap(n)为
5、：,最小二乘前向预测的误差矢量为：,最小二乘前向预测的残差为：,41,12,后向预测误差滤波器,类似于前向预测误差滤波器的推导，可得到后向预测误差滤波器的情况 观察矢量x(n)的最小二乘后向预测矢量为：,其中矩阵X0,p-1(n)为：,bp(n)是最小二乘后向预测系数矢量：bp(n)=bp(n)b2(n)b1(n)TP0,p-1(n)是矩阵X0,p-1(n)列矢量张成的子空间的投影矩阵：,41,13,矩阵X0,p-1(n)的横向滤波算子为：,最小二乘后向预测误差矢量的当前分量为：,最小二乘后向预测系数矢量bp(n)为：,最小二乘后向预测的误差矢量为：,最小二乘后向预测的残差为：,41,14,增
6、益滤波器,增益滤波器的权矢量g(n)用来表示观察值子空间X0,p-1(n)和X0,p-1(n-1)间夹角的大小 以一维子空间为例：(n)在x(n)上的投影记为Px(n)(n)因是一维子空间，该投影可表示为x(n)的倍数：Px(n)(n)=g(n)x(n)其中g(n)可视为x(n)根据最小二乘法预测(n)的单一系数滤波器的权系数 这一预测的误差矢量为：,其n时刻的分量为：,根据角度参数的定义，有：,41,15,将结论从一维子空间推广到p维子空间，有：,结论：用权矢量为gp(n)的增益滤波器对最近的观察值xp(n)进行处理，可得到角度参数p(n),其中xp(n)为：xp(n)=x(n)x(n-1)
7、x(n-p+1)T,增益滤波器权矢量gp(n)可通过横向滤波算子K0,p-1(n)作用于单位现时矢量(n)而得到：gp(n)可视为观察值矩阵X0,p-1(n)对(n)的最小二乘估计,以上4种横向滤波器的权矢量都可用某一横向滤波算子作用于某个矢量而得到 它们的时间更新问题可归结为相应横向滤波算子的时间更新问题,41,16,(2)横向滤波算子的时间更新,设U是np矩阵，U的p个列矢量张成p维子空间U，投影矩阵和正交投影矩阵分别为PU和 u是n1矢量，将u加入U构成p+1维子空间U，u，对应新矩阵为U u，投影矩阵和正交投影矩阵分别为PUu和,设KUu为U，u的横向滤波算子，则有如下性质：,其中I是
8、单位阵，Ipp是p阶单位阵，0p是p维零矢量,KUuPUu=KUu,KUuU u=I,其中0n是n维零矢量，KU为U的横向滤波算子：,KU=-1UT,41,17,且有：,其中KuU为子空间u，U的横向滤波算子，u，U是矩阵u U的p+1个列矢量所张成的子空间，矩阵u U是矢量u加到矩阵U第1列而得,利用上述性质，可以推导横向滤波算子的时间更新关系,令：U=X0,p-1(n)，u=(n)，则有：U u=X0,p-1(n)(n)U，u=X0,p-1(n)(n)对应的横向滤波算子为：KUu=K(0,p-1)(n)投影矩阵为：PUu=P(0,p-1)(n)可证明：,其中0n-1是n-1维零矢量,41,
9、18,两边左乘K(0,p-1)(n)，得：,上式右边分块矩阵的最后1列是列矢量(n)，将K(0,p-1)(n)与右边分块矩阵的其余部分相乘后所得的矩阵的最后一行记为CT(n-1),根据KUuPUu=KUu，左边等于K(0,p-1)(n),这就是横向滤波算子K0,p-1(n)的时间更新关系式,41,19,类似地可得到横向滤波算子K1,p(n)的时间更新关系式：,其中DT(n-1)的定义类似CT(n-1),结论：推导FTF自适应算法的基础,41,20,(3)快速横向滤波的自适应算法,在横向结构最小二乘自适应滤波器中，每当新观察值到来时，要求及时更新滤波器权系数矢量w(n)，以保证始终获得期望信号的
10、最优估计 利用FTF自适应算法来实现时，权系数矢量w(n)的更新将涉及到gp(n)、p(n)和e(n|n)等的时间更新问题,最小二乘横向滤波器权系数矢量的时间更新,令：U=X0,p-1(n)，u=(n)，则有：,41,21,代入,两边右乘以d(n)，得：,代入,41,22,增益滤波器得权系数矢量的时间更新,令：U=X1,p(n)，u=x(n)，有：u，U=X0,p(n)，则有：,两边右乘以(n),41,23,是p+1阶增益滤波器的权系数矢量gp+1(n)，且有：,令kp(n)为gp+1(n)前p个元素组成的矢量，k(n)为gp+1(n)的最后一个元素，则根据,得到的是gp+1(n)，而不是gp
11、(n)，因此需从kp(n)和k(n)计算gp(n),41,24,令：U=X0,p-1(n)，u=z-px(n)，等式两边右乘以(n)，得到：,X0,p-1(n)z-px(n)=X0,p(n),41,25,得到：,解出：,前向预测误差滤波器参数的时间更新,令：U=X1,p(n)，u=(n)，等式两边右乘以x(n)，并代入,41,26,整理后得：,当用x(n)前p个观察值的线性组合预测x(n)时，e f(n|n)为：,其中e f(n|n)是前向预测误差矢量的第n个分量,其中x(n-i)是观察值矢量xp(n-1)=x(n-1)x(n-p)T的分量 ai是前向预测误差滤波器权系数矢量ap(n)=a1(
12、n)xp(n)T的分量,其中e f(n|n-1)为用n-1时权系数矢量ap(n-1)由x(n-1)，x(n-p)预测x(n)的前向预测误差：,41,27,令：U=X1,p(n)，u=(n)，y=x(n)，z=x(n)，根据,，得：,41,28,当u=(n)时，有：,且有：,等式两边右乘以y：,41,29,后向预测误差滤波器参数的时间更新,类似前向预测误差滤波器参数的时间更新关系的推导，得到后向预测误差滤波器参数的时间更新关系式为：,其中xp(n)=x(n)x(n-p+1)T,41,30,角参数的时间更新,代入,根据,41,31,利用类似方法，可得到：,角参数的时间更新关系式：,41,32,利用
13、p+1(n)计算p(n)还有一种方法：,两边除以b(n)：,根据,代入,41,33,FTF自适应最小二乘的算法：,初始化：ap(0)=0，bp(0)=0，w(0)=0，gp(0)=0，p(0)=1.0，f(0)=b(0)=，是一小的正常数,按n=1，2，进行时间迭代：,前向预测误差滤波器参数的计算,计算e f(n|n-1)：,计算e f(n|n)：,计算 f(n)：,计算ap(n)：,p+1阶角参数的计算,计算p+1(n)：,p+1阶增益滤波器权系数矢量的计算,计算kp(n)和k(n)：,41,34,计算e b(n|n-1)：,计算e b(n|n)：,计算 b(n)：,解出gp(n)和bp(n
14、)：,计算p(n)：,横向结构的最小二乘自适应滤波器参数的计算,或者直接解出,后向预测误差滤波器参数、p阶角参数和p阶增益滤波器权矢量的计算,横向结构最小二乘自适应滤波器权系数矢量的时间更新关系式：,41,35,X0,p-1(n)最后一行元素构成的行矢量为：,矢量 的最后一个元素为：,估计误差为：,代入,其中,解出：,分母等于1,41,36,FTF自适应算法与递归的RLS算法相比，计算量下降 与LMS算法相比，仍保持收敛速度快的优点，且收敛速度对观察值的相关性不敏感,计算e(n|n-1)：,计算w(n)：,7、自适应滤波器的功能,自适应滤波器的应用范围很广，主要功能有：自适应系统的建模 自适应
15、噪声抵消 自适应谱线增强,(1)自适应系统的建模,若未知系统内部结构，可通过研究系统的输入信号与输出信号的关系，来得到表征系统特征的冲激响应或频率函数,41,37,用自适应滤波器对未知系统建模，通过调整自适应滤波器参数，使自适应滤波器和未知系统在相同输入信号下，其输出信号之差的均方值最小 因此时已收敛的自适应滤波器和未知系统有相同的输入输出关系，因此该自适应滤波器就可作为未知系统的模型 自适应滤波器的结构示意图：,建模分正向建模和逆向建模两种 正向建模框图：,其中x(n)为观察值输入端 d(n)为期望信号输入端 y(n)为输出信号端 e(n)为均方误差输出端,白噪声输入自适应滤波器和未知系统，
16、未知系统的输出作为自适应滤波器的期望信号输入,41,38,自适应滤波器的频率函数为：,未知系统的频率函数为：,自适应滤波器收敛后，因有：e(n)0，y(n)d(n)得到：Y(z)=D(z)，所以有：,结论：自适应滤波器可作为未知系统的模型,逆向建模框图：,白噪声输入未知系统的输入端和自适应滤波器的期望信号输入端未知系统的输出信号则输入自适应滤波器的输入端,41,39,自适应滤波器的频率函数为：,未知系统的频率函数为：,自适应滤波器收敛后，得到：Y(z)=D(z)，所以有：,结论：自适应滤波器可作为未知系统的逆系统,(2)自适应噪声抵消,自适应噪声抵消的框图,信号s(n)和噪声n1(n)叠加作为
17、自适应滤波器的期望信号输入 与噪声n1(n)相关的另一噪声n2(n)输入自适应滤波器的输入端,41,40,n1(n)和n2(n)相关，与s(n)无关，自适应滤波器收敛后，n2(n)可抵消n1(n)的相关部分，使e(n)s(n)自适应滤波器的误差输出端将输出噪声抵消后的信号s(n),自适应噪声抵消可用于：长途电话系统中回声的抵消 胎儿心电检测中母体心电干扰的抵消 外科手术中电刀对心电检测的干扰抵消等,自适应谱线增强的框图,(3)自适应谱线增强,从宽带噪声背景下提取较弱窄带信号，因信号被噪声淹没，直接做谱估计难以得到信号，需把噪声压低以突出信号，这就是谱线增强,信号s(n)和噪声n(n)叠加作为自适应滤波器的期望信号输入 将观察值延迟后输入自适应滤波器的输入端,41,41,宽带噪声的自相关函数持续时间短，窄带信号的自相关函数持续时间长 选择适当的时间延迟量后，宽带噪声n(n)和其延迟n(n-)不相关，而窄带信号s(n)和其延迟s(n-)仍然相关 自适应滤波器收敛后，相关的信号部分被抵消，使得：y(n)s(n)自适应滤波器的输出端将输出突出后的信号s(n),自适应谱线增强可抑制噪声，突出窄带信号，又可随时提取出自适应滤波器的权系数矢量，作出信号的AR谱估计 谱线增强和AR谱估计相结合是动态谱估计的有效手段,
