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1、高 等 数 学,E-mail:,主讲：杨莉,第五节,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四、两类曲面积分的联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对坐标的曲面积分,第十一章,观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,一、有向曲面及曲面元素的投影,曲面的分类:,1.双侧曲面;,2.单侧曲面.,典型双侧曲面,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,其方向用法向量指向,方向余弦,0 为右侧 0 为左侧,封闭曲面,0 为前侧 0 为后侧,0 为上侧 0 为下侧,外侧内侧,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:（上前右取
2、正！下后左取负。）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,类似地可定义,设 为有向曲面,面积,在 xoy 面上的投影记为,的面积为,则规定,如果,是一平面图形，其面积仍记为,当,是一曲面图形时，在微小的情况下，可以“以平,，则,在P点的方向余弦为,则,取,平代曲”，,1.实例:流向曲面一侧的流量.,二、对坐标的曲面积分的概念与性质,1)大化小,则该点流速为.,法向量为.,3)近似和,4)取极限,积分曲面,被积函数,有向面积元,类似可定义,组合形式:,存在条件:,物理意义:,性质:,由定义可知对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分相类似的性质,1 可加性,2 反向性
3、,三、对坐标的曲面积分的计算法,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,这就是把对坐标的曲面积分化成二重积分的计算公式,概括为：,代：将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入 被积函数，将其化成二元函数,投：将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy）中两个变量同名的坐标面上（如xoy 面）,定号：由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分 的正负号,一代、二投、三定号,注,积分曲面的方程必须表示为单值显函数 否则分片计算，结果相加,确定正负号的原则：曲面取上侧、前侧、右侧时为正 曲面取下侧、后侧、左侧时为负,例1 计算,所截得的在第一卦限的部分的前侧,解,解,例2,思考:下述解法是否正确:,
4、例2.计算曲面积分,其中 为球面,外侧在第一和第八卦限部分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3 计算,平面 x=0,y=0,z=0,x+y+z=1 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧,o,x,y,z,解,分成四个部分,左侧,下侧,后侧,上侧,同理,同理,注,对坐标的曲面积分的对称性,被积表达式具有轮换对称性，即将被积 表达式中的所有字母按,x,y,z,顺序代换后原式不变,积分曲面及其侧具有对称性，这是指曲面 在各坐标面上的投影区域均相同，且配给 的符号也相同,四、两类曲面积分之间的联系,两类曲面积分之间的联系,例4,解,注,此例的解法具有普遍性,内容小结,定义:,1.两类曲面积分及其
5、联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质:,联系:,思考:,的方向有关,上述联系公式是否矛盾?,两类曲线积分的定义一个与 的方向无关,一个与,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.常用计算公式及方法,面积分,第一类(对面积),第二类(对坐标),二重积分,统一积分变量,代入曲面方程(方程不同时分片积分),确定积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.,转化,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当,时，,（上侧取“+”,下侧取“”),类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题,思考题解答,此时 的左侧为负侧，,而 的左侧为正侧.,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,
