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1、理论力学课堂教学软件（2）,Nanjing University of Technology,第一篇 静力学,理论力学,第2章 力矩的概念和力系的等效与简化,第一篇 静力学,2.3 力系等效定理,2.2 力偶与力偶系,2.4 力系的简化,2.5 结论与讨论,2.1 力对点之矩与力对轴之矩,第2章 力矩的概念和力系的等效与简化,问题:如何用数学工具描述非共点力系对刚体的作用效应?,根据牛顿第二定律有,第2章 力矩的概念和力系的等效与简化,2.1 力对点之矩与力对轴之矩,返回,第2章 力矩的概念和力系的等效与简化,力对点之矩,力对轴之矩,合力矩定理,分布荷载专题,2.1 力对点之矩与力对轴之矩,力
2、对点之矩：力使物体绕某一点转动效应的度量。,（1）矢量表示式,r,F,2.1 力对点之矩与力对轴之矩,F,r,矢径,F,r,F Fxi+Fyj+Fzk,r=x i+y j+z k,（2）解析表示式,2.1 力对点之矩与力对轴之矩,（3）力矩矢量的方向,M=r F,按右手定则,F,r,MO,由于力矩与矩心的位置有关，所以力矩矢量的始端一定在矩心O处，是定位矢量。,2.1 力对点之矩与力对轴之矩,矢量方向（右手定则）,矢量的模（大小）,矢量作用在O点,垂直于r 和F 所在的平面。,力对点 之矩是一种矢量。,注意：由于力对点之矩是矢量，做题目的时候既要求出大小又要求出方向，所以建议用矢量表示来求解问
3、题。,2.1 力对点之矩与力对轴之矩,（4）力对点之矩的几点结论,由定义可知：(1)当力的作用线与轴平行或相交(共面)时，力对轴的矩等于零。(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。,2.1 力对点之矩与力对轴之矩,力对轴之矩：力使物体绕某一轴转动效应的量度。,F,F,（1）概念,（2）力对轴之矩符号规定,注意：由于力对轴之矩是标量（代数量），只需用正负号表示即可。,力矩正负可按下法确定：从z轴正向看，若力使刚体逆时针转则取正号，反之取负。也可按右手定则确定其正负号。,2.1 力对点之矩与力对轴之矩,力对轴之矩计算公式,问题：力对轴之矩与力对点之矩有什么关系？,2.1 力对点之矩与力对轴之矩
4、,力对轴之矩,力对点之矩在各坐标轴上的投影,结论：力对点之矩在过该点的某一轴上投影等于力对该轴之矩,2.1 力对点之矩与力对轴之矩,（3）力对轴之矩与力对点之矩的关系,力对轴之矩等于力对轴上任意一点之矩在该轴上的投影,在棱长为 b 的正方体上作用有一力F，求该力对 x、y、z 轴之矩以及对OA轴之矩。,解：,2.1 力对点之矩与力对轴之矩,例 题 1,则有：,若作用在刚体上的力系存在合力,2.1 力对点之矩与力对轴之矩,合力矩定理,力对轴之矩：,已知：支架受力F 作用,l1,l2,l3,尺寸已知；求：MO(F)。,例 题 2,2.1 力对点之矩与力对轴之矩,MO(F)=F d,d=?,2.1
5、力对点之矩与力对轴之矩,其中,则，原式等于,2.1 力对点之矩与力对轴之矩,根据“合力矩定理”,试求力F对A点之矩及对x、y、z轴之矩。,解：（1）力F对A点之矩,2.1 力对点之矩与力对轴之矩,例 题 3,（2）力F对x、y、z轴之矩,力F对x、y、z轴之矩为：,2.1 力对点之矩与力对轴之矩,法1：先求力对O点之矩,法2：根据力对轴定义,分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷载。若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力，则称此力系为平行分布线荷载，简称线荷载。,分布荷载专题,2.1 力对点之矩与力对轴之矩,解：合力,已知：三角形分布载荷的q、梁长l，求：合力、合力作用线位置。,
6、设合力作用线距离A点距离为d,由合力矩定理，合力对A点之矩与分布力对A点之矩相等,解得,2.1 力对点之矩与力对轴之矩,结论：1、合力的大小等于线荷载所组成几何图形的面积。2、合力的方向与线荷载的方向相同。3、合力的作用线通过荷载图的形心。,1、均布荷载,2、三角形荷载,3、梯形荷载,可以看作一个三角形荷载和一个均布荷载的叠加,总结：线荷载合力及其合力作用线位置,2.1 力对点之矩与力对轴之矩,2.2 力偶与力偶系,返回,第2章 力矩的概念和力系的等效与简化,力偶与力偶系,力偶的性质,力偶系的合成,2.2 力偶与力偶系,力偶矩矢量,力偶（couple）：大小相等,方向相反,且不共线两个平行力所
7、组成的力系。,力偶也是一个特殊力系。,力偶与力偶系,2.2 力偶与力偶系,力偶实例,F1F2,2.2 力偶与力偶系,力偶的作用面与力偶臂,力臂：力偶的两力之间的垂直距离d。,2.2 力偶与力偶系,力偶作用面：力偶所在的平面。,注：力偶矩矢量垂直于力偶所在的平面，其大小和方向与矩心选取无关。力偶矩是自由矢量。,2.2 力偶与力偶系,力偶矩矢量：力偶对刚体的转动效应的量度。,其方向亦可由右手定则确定。,性质1 力偶无合力。,因此，力偶不能和一个力等效（平衡），但可以和力偶等效（平衡）。,2.2 力偶与力偶系,力偶的性质,力偶的矢量和FR为零。,性质2 只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用面内任意移
8、动和转动，其对刚体的作用效果不变。,2.2 力偶与力偶系,性质3 保持力偶矩矢量不变，分别改变力和力偶臂大小（F，d），其作用效果不变。,2.2 力偶与力偶系,力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有力偶矩才是力偶作用的唯一量度。下面符号都表示力偶。M为力偶的矩。,2.2 力偶与力偶系,力偶系：由两个或两个以上力偶组成的特殊力系。,2.2 力偶与力偶系,力偶系的合成,任意个在空间分布的力偶，可以合成一个合力偶，合力偶矩矢量等于原力偶系中所有力偶矩矢量之和。即,2.2 力偶与力偶系,思考题1 刚体上A、B、C、D四点组成一个平行四边形，如在其四个顶点作用有四个力，此四力沿四个边恰好组成封闭的力
9、多边形，如图所示。此刚体是否平衡？,2.2 力偶与力偶系,思考题2 从力偶理论知道，一力不能与力偶平衡。图示轮子上的力P为什么能与M平衡呢？,2.2 力偶与力偶系,2.3 力系等效定理,返回,第2章 力矩的概念和力系的等效与简化,力系的主矢和主矩,力系等效定理,2.3 力系等效定理,力系:两个或两个以上的力所组成的系统，（F1，F2，Fn）,又称力的集合。,力 系,力系的主矢和主矩,2.3 力系等效定理,力系的主矢,主矢（principal vector）：一般力系，（F1，F2，Fn）中所有力的矢量和。,主矢的分量表达式为,2.3 力系等效定理,主矢仅与各力的大小和方向有关，主矢不涉及作用点
10、和作用线,因而主矢是滑动矢量。,力系主矢的特点：,对于给定的力系，主矢唯一；,力系的主矩,主矩：力系中所有力对于同一点之矩的矢量和。,主矩的分量式为,2.3 力系等效定理,力系主矩的特点：,力系主矩是定位矢量，其作用点为矩心。,力系主矩MO与矩心(O)的位置有关（不确定）；,怎样判断不同力系的运动效应是否相同？,如何判断力系等效,2.3 力系等效定理,两个力系对刚体运动效应相等的条件是：主矢相等和对同一点的主矩相等。,力系等效定理,2.4 力系的简化,返回,第2章 力矩的概念和力系的等效与简化,力系的简化：就是将由若干力和力偶所组成的一般力系，变为一个力，或一个力偶，或者一个力和一个力偶的简单
11、的、但是等效的情形。,2.4 力系的简化,1.力向一点平移定理,2.空间一般力系的简化,3.力系简化在固定端约束力分析中的应用,2.4 力系的简化,4.空间力系简化的几种最后结果,在O点作用什么力系才能使二者等效?,?,1.力向一点平移定理,2.4 力系的简化,力系简化的基础,加减平衡力系(F,F)二者等效,力向一点平移定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点O，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点O的矩。,点O简化中心。,注意：力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一个力偶合成一个力。,2.4 力系的简化,空间力系向点O简化得到一空间汇交力系和一空间力偶系，
12、如图。,2.空间一般力系的简化,2.4 力系的简化,1、主矢：平面任意力系中各力的矢量和。,定义：,2、主矩：平面任意力系中各力对任选简化中心 O 的力矩代数和，称为该力系对简化中心 O的主矩。,主矢与简化中心的位置无关；而主矩与简化中心的位置有关。,2.4 力系的简化,例 题 4,由F1、F2组成的空间力系，已知：F1=F2=F。试求力系的主矢FR以及力系对O、A、E三点的主矩。,解：1、计算主矢 令i、j、k为x、y、z方向的单位矢量，则力系中的二力可写成,于是，力系的主矢为,2.4 力系的简化,2、计算主矩 应用矢量叉乘方法，力系对O、A、E三点的主矩分别为：,2.4 力系的简化,例 题
13、 5,图示空间力系中，力偶作用在Oxy平面内，力偶矩M=24Nm。试求此力系向O点简化的结果。,解：首先，将已知的力和力偶都表示为矢量的形式,M=(0,0,-24)Nm,2.4 力系的简化,F1,F2,F3,同时将O点至各力的矢径也表示为矢量的形式,主矢：,M=(0,0,-24)Nm,2.4 力系的简化,主矩：,2.4 力系的简化,3.力系简化在固定端约束力分析中的应用,2.4 力系的简化,固定端约束：一个物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约束。这时约束物体既限制了被约束物体的移动，又限制了被约束物体的转动。,MA,FAy,FAx,FA,MA,固定端约束的约束力为作用在接触面上的复杂分布力
14、系。,2.4 力系的简化,空间约束类型,2.4 力系的简化,几种特殊情形,平衡力系,还可以进一步简化,合力偶,合 力,（与简化中心的位置无关）,（与简化中心的位置无关）,（合力作用线过简化中心）,2.4 力系的简化,4.空间力系简化的几种最后结果,进一步简化,F R MO F R MO F R既不平行也不垂直于MO,2.4 力系的简化,合力的作用线离简化中心O的距离为,FR 0，MO0，且FR MO,2.4 力系的简化,FR 0，MO0，且FR MO此时无法进一步合成，这就是简化的最后结果。这种力与力偶作用面垂直的情形称为力螺旋。FR与MO同方向时，称为右手螺旋；FR与MO反向时，称为左手螺旋
15、。图示为一右手螺旋。,2.4 力系的简化,FR 0，MO0，同时两者既不平行，又不垂直。此时可将MO分解为两个分力偶MO和MO，它们分别垂直于FR和平行于FR，则MO和FR可用作用于点O的力FR来代替，最终得一通过点O 的力螺旋。,2.4 力系的简化,2.5 结论与讨论,返回,第2章 力矩的概念和力系的等效与简化,2.5 结论与讨论,掌握力对点之力矩、力对轴之力矩、力偶等基本概念及其性质；掌握力向一点平移定理及各种力系力系的简化方法和简化结果；掌握力系的主矢和主矩的基本概念及其性质；能熟练计算各类力系的主矢和主矩。,复习要点,力偶性质推论的应用限制,本章中关于力偶性质及其推论，在力系简化以及平
16、衡问题研究中都是非常重要的。但是，这些推论仅适用于刚体。将其应用于变形体时则有一定的限制。,2.5 结论与讨论,弯曲力偶作用在自由端时，全梁发生弯曲变形。,弯曲力偶移至中间时，梁只有左端发生弯曲变形，梁的右端不发生弯曲变形。,2.5 结论与讨论,扭转力偶作用在自由端时，整个杆件发生扭转变形。,扭转力偶移至中间时，只有左端杆发生扭转变形，杆的右端不发生扭转变形。,2.5 结论与讨论,P46：23P47：26（第一问），27*,课外作业,谢 谢 大 家,Nanjing University of Technology,附录：习题解答,作业中存在的问题,2、有抄袭现象。,1、作业要规范，抄题抄图。,
17、2-3,附录：习题解答,23 图示正方体的边长a0.5m，其上作用的力F100N。试求力F对O点之矩及对z轴的矩。,解：,力F对z轴之矩为：,26 图示平面任意力系中F1=40 N，F2=80N，F3=40N，F4=110N，M=2000 Nmm。各力作用位置如图所示，图中尺寸的单位为mm。求（1）力系向O点简化的结果；（2）力系的合力的大小、方向及合力作用线方程。,2-6,附录：习题解答,解：,26 图示平面任意力系中F1=40 N，F2=80N，F3=40N，F4=110N，M=2000 Nmm。各力作用位置如图所示，图中尺寸的单位为mm。求（1）力系向O点简化的结果；（2）力系的合力的大小、方向及合力作用线方程。,2-6,附录：习题解答,解：,向O点简化结果如图（b）；合力如图（c），其大小与方向为,2-6,附录：习题解答,设合力作用线上一点坐标为（x，y），则,得合力作用线方程为：,2-10,附录：习题解答,210 图示等边三角形板ABC，边长a，今沿其边缘作用大小均为F的力，方向如图a所示。试求三力的合成结果。若三力的方向改变成如图b所示，其合成结果如何？,（a）向A点简化,（逆）,合成结果为一合力偶,（b）向A点简化,（）,（逆）,
