《电动力学六四(相对论理论的四维形式).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电动力学六四(相对论理论的四维形式).ppt（48页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、1,6.4 相对论理论的四维形式,2,在相对论中时间和空间不可分割，当参考系改变时，时空坐标互相变换，三维空间和一维时间构成一个统一体四维时空。,3,四维时空理论可用简洁的四维形式表述出来。利用这种形式可以很清楚地显示出一些物理量之间的内在联系，并且可以把相对性原理用非常明显的形式表达出来。,4,先回顾一下三维空间的转动性质。,先看二维平面上的坐标系转动。设坐标系相对于坐标系转了一个角。设平面上一点的坐标在系为x,y;在系x,y为。新旧坐标之间有变换关系,x=xcos+ysin,y=-xsin+ycos.,OP2=x2+y2=x2+y2=不变量,1.三维空间的正交变换,5,满足此式的二维平面上
2、的线性变换称为正交变换。坐标系转动属于正交变换。,OP2=x2+y2=x2+y2=不变量,正交变换,6,设为平面上任意矢量。在系中的分量为x,y;起彼伏在系中的分量为x,y。这些分量有变换关系,矢量长度平方为,x=xcos+ysin,y=-xsin+ycos.,|2=2x+2y=2x+2y=不变量,任意矢量的变换与坐标变换具有相同形式,7,现在讨论三维坐标转动。设系的直角坐标为(x1,x2,x3),系的直角坐标为(x1,x2,x3)。三维坐标线性变换一般具有形式,x1=a11 x1+a12 x2+a13 x3,x2=a21 x1+a22 x2+a23 x3,x3=a31 x1+a32 x2+a
3、33 x3.,8,坐标系转动时距离保持不变,应有,x12+x22+x32=x12+x22+x32,满足此式的线性变换称为正交变换。空间转动属于正交变换,式中的系数aij依赖于转动轴和转动角。,9,坐标变换式,在一般情形中,当公式中出现重复下标时(如上式右边的j),往往都要对该指标求和。这是现代物理中通用的约定。,10,爱因斯坦约定:除特别声明外,凡有重复下标时都意味着要对它求和。以后为了书写方便,省略求和符号。,变换式可简写为,正交条件是,11,正交变换条件,12,反变换式,13,转置矩阵,正交条件式可用矩阵乘法写为,其中I为单位矩阵,变换系数矩阵形式,14,根据物理量在空间转动下的变换性质分
4、类,2.物理量按空间变换性质的分类,标量、矢量、张量等,15,在空间中没有取向关系,当坐标系转动时保持不变的物理量。如质量、电荷等。设在坐标系中某标量用u表示,在转动后的坐标系中用u表示。由标量不变性有,u=u,(1)标量,16,在空间中有一定的取向性，用三个分量表示的，当空间坐标作转动变换时，三个分量按同一方式变化的物理量。例如速度、力、电场强度和磁场强度等都是矢量。以代表矢量,在坐标系中的分量为i,在转动后的系中的分量为i。与坐标变换式对应,有矢量变换关系,(2)矢量,17,有些微分算符也具有矢量性质,18,这类物理量要用两个矢量指标表示,有9个分量,显示出更复杂的空间取向性质。当空间转动
5、时,其分量Tij按以下方式变换,具有这种变换关系的物理量称为二阶张量。例如应力张量,电四极矩等。,(3)二阶张量,19,Tij=Tji,二阶张量还可以进一步分类,对称张量变换后仍为对称张量,20,Tij=-Tji,反对称张量变换后仍为反对称张量,21,对称张量的迹是一个标量,22,二阶张量可以分解为三个部分,迹 Tii无迹对称张量 Tij=Tji,Tii=0,反对称张量 Tij=-Tji.,电四极矩就是一个无迹对称张量,它只有5个 独立分量。,23,两矢量和w的标积iwi是一个标量。,张量Tij可以和一个矢量j作出乘积Tijj,iwi=aijj aikwk=ikjwk=jwj=不变量,此式具有
6、矢量的变换关系，因此是一个矢量。,Tijj=aik ajl Tkl ajnn=aik lnTkln=aik Tijj,24,三维坐标转动是满足距离不变的线性变换,即,x12+x22+x32=x12+x22+x32=不变量,3.洛伦兹变换的四维形式,25,洛伦兹变换是满足间隔不变的四维时空线性变换,x12+x22+x32 c2 t2=x12+x22+x32 c2 t2,形式上引入第四维虚数坐标,x4=ict,26,则间隔不变式可写为,x12+x22+x32+x42=x12+x22+x32+x42=不变量,以后在下角指标中用拉丁字母代表1-3,希腊字母代表1-4,间隔不变式可写为,x x=xx=不
7、变量,27,洛伦兹变换是满足间隔不变性式的四维线性变换,x=a x,28,洛伦兹变换形式上可以看作四维空间的“转动”,因而三维正交变换的关系可以形式上推广到洛伦兹变换中去。须注意的是,这四维空间的第四个坐标是虚数,因此它是复四维空间,不同于实数的四维欧几里德(Euclid)空间。,29,沿x轴方向的特殊洛伦兹变换式的变换矩阵为,30,逆变换矩阵,变换式满足正交条件,31,在四维形式中，时间与空间统一在一个四维空间内，惯性参考系的变换相当于四维空间的“转动”。由于物质在时空中运动，描述物质运动和属性的物理量必然会反映出时空变换的特点。把三维情形推广，我们也可以按照物理量在四维空间转动（洛伦兹变换
8、）下的变换性质来把物理量分类。,4.四维协变量,32,四维矢量,四维张量,u=u,洛伦兹标量,在惯性系变换下与坐标有相同变换关系,33,这些物理量(标量、矢量和各阶张量)在洛伦兹变换下有确定的变换性质,间隔,为洛伦兹标量,协变量,固有时,洛伦兹标量,34,四维速度矢量U,通常意义下的速度ui不是四维矢量的分量,通常意义下的速度ui是用参考系的时间量度的位移变换率,ui的变换式不同于洛伦兹变换。因为当坐标系变换时,dxi按四维矢量的分量变换,但dt也发生改变,因此ui就不按矢量方式变换。,35,U是用固有时量度的位移变换率,U的前三个分量和普通速度联系着，当c时即为u,因此称为四维速度。参考系变
9、换时,四维速度有变换关系,36,设有一角频率为,波矢量k为的平面电磁波在真空中传播。在另一参考系上观察,该电磁波的频率和传播方向都会发生改变(多普勒效应和光行差效应)。以和k表示上观察到的角频率和波矢量。,电磁波的相位因子,在另一参考系观察的相位因子,四维波矢量,37,第一事件：设参考系和的原点在时刻t=t=0重合。在该时刻,两参考系的原点上都观察到电磁波处于波峰,相位=0。第二事件：在系n个周期(t=2n/)后,第n个波峰通过系原点,相位=-2 n。它在上的时空坐标为(x=0,t=2n/),在上的时空坐标(x,t)可用洛伦兹变换求得,而相位同样是=-2n。,相位和的关系,38,这是因为某个波
10、峰通过某一时空点是一个物理事件,而相位只是计数问题,不应随参考系而变。因此,相位是一个不变量,相位和的关系,39,类似x与ict合为四维矢量x,k与i/c合为另一个四维矢量k,它们按四维矢量方式变换,有,四维波矢量,40,在洛伦兹变换下，k的变换式为,洛伦兹变换,41,设波矢量k与x轴方向的夹角为,k与x轴的夹角为,有,相对论的多普勒效应和光行差公式,42,若为光源的静止参考系，则=0,0为静止光源的辐射角频率。运动光源辐射的角频率,其中为光源的运动速度,为上观察者看到辐射方向与光源运动方向的夹角。当c时，1,得经典多普勒效应公式,43,在垂直于光源运动方向观察辐射时,经典公式给出=0,而相对
11、论公式给出,即在垂直于光源运动方向上,观察到的角频率小于静止光源的辐射频率。这现象称为横向多普勒效应。横向多普勒效应为LvesStilwell实验所证实,它是相对论时间延缓效应的证据之一。,44,设在参考系上观察,由光源辐射出的光线在xy面上,与x轴有夹角,则,设系相对于以速度沿x轴方向运动,在系上观察到光线与x轴有夹角,光行差公式也可以由速度变换公式导出,45,光行差较早为天文观测所发现(Bradley于1728年)。如设地球相对于太阳参考系的运动速度为,在上看到某恒星发出的光线的倾角为=-,在地球上用望远镜观察该恒星时,倾角变为=-。由于c,得,46,由于地球绕太阳公转，一年之内地球运动速
12、度的方向变化一个周期，因此，同一颗恒星发出的光线的表观方向也变化一个周期。天文观测证实了这种周期变化，并且由光线表观方向的改变比较准确地导出光的传播速度。,在相对论以前的以太理论中，光行差的存在表明地球相对于“以太”运动，但以后的迈克尔孙实验却否定了地球相对于“以太”的运动。正是这会总矛盾最后导致以太和绝对参考系的被否定，从而建立狭义相对论的时空观。,47,5.物理规律的协变性,四维矢量在参考系变换下有,在参考系变换下方程形式不变的性质称为协变性。相对性原理要求一切惯性参考系都是等价的。,48,相对性原理要求一切惯性参考系都是等价的。在不同惯性系中,物理规律应该可以表为相同形式。如果表示物理规律的方程是协变的话,它就满足相对性原理的要求。因此,用四维形式可以很方便地把相对性原理的要求表达出来。只要我们知道某方程中各物理量的变换性质,就可以看出它是否具有协变性。,
