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1、,3.4 阻抗的串联与并联,本章主要内容,3.1 正弦量的三要素,3.2 正弦量的相量表示,3.3 相量法的分析基础,3.5 正弦稳态电路的分析,3.6 正弦稳态电路的功率,3.7 功率因素的提高,3.8 正弦电路的谐振,3.9 含耦合电感的正弦电路,第3章 正弦稳态电路,3.1 正弦量的三要素,一、正弦量的三要素,+,-,u,i,在如图所示的参考方向下：,(1)Im-最大值或振幅,(2)-角频率,(3)i-初相位,相角随时间变化的速度,反映正弦量变化的快慢.,单位:rad/s,=2f,工频:f=50Hz,一般取主值范围:-,与计时起点有关.,第3章 3 1,正弦量的波形表示,0,i,u,第3
2、章 3 1,两个同频率正弦量间的相位差(初相差),t,二、相位差,第3章 3 1,j=0，同相：,j=(180o)，反相：,特殊相位关系：,=90正交 u 领先 i 90 或 i 落后 u 90,第3章 3 1,注意:,(1)相位差是同频两个正弦量初相位之差,不同频率的正弦量的相位差无任何意义.,(2)正弦量之初相位与计时起点有关,但相位差与计时起点无关.,三、正弦量的有效值,不能用最大值来衡量一个周期变化的正弦交流电的大小。,第3章 3 1,有效值的定义：,周期电流或电压在一个周期内产生的平均效应换算为与之相等的直流量的大小。,以电流量为例：,R,i,R,I,在T时间内,-交流电流i的有效值
3、，又称均方根值。,第3章 3 1,同理：,工程上，一般说正弦电压与电流的大小均指有效值。,正弦稳态电路：,在线性电路中，全部激励均为同一频率的正弦函数，则电路中的全部稳态响应也将是同一频率的正弦函数。,第3章 3 1,3-2正弦量的相量表示,用相量表示正弦量，其基础是用复数表示正弦量。,在复数平面建立直角坐标系Re为实轴、Im为虚轴。,设在复平面上一复数A(a,b).,用极坐标系则表示为.,A=r/,A=r(cos+j sin),考虑欧拉公式，可改写为：,A=r e j,有效值,若相量幅度用最大值表示，则用符号：,在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：,例1:,已知瞬时值，求相量。,已知
4、:,解：,正弦波的相量表示法举例,求：,例2：,已知相量，求瞬时值。,解：,计算相量的相位角时，要注意所在象限。如：,4,3,j,U,+,=,例3：,1、用复数相量表示正弦量2、复数代数运算，得相量结果3、将结果相量写回成正弦量,用相量表示正弦量，好处何在？,可将复杂的三角正弦函数的加、减、微分、积分运算转为简单的复数代数运算，具体作法为：,注意：,瞬时值,有效值,最大值,相量,二、正弦量的运算可以用对应的相量进行,1.同频正弦量的代数和仍为一同频正弦量,已知:,则:,第3章 3 2,证明:,+1,第3章 3 2,2.正弦量对时间的求导,若:,则:,即求导后仍为正弦量,其相量等于j乘被求导正弦
5、量的相量.,几何意义:,第3章 3 2,3.正弦量的积分,若:,则:,即积分后仍为正弦量,其相量等于1/j乘被积正弦量的相量。,几何意义:,第3章 3 2,4.正弦量乘实常数,5.例,已知:,求:i.,解:,第3章 3 2,例,同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。,第3章 3 2,第3章 3 2,一、电路元件R，L，C的电压与电流的相量形式,1.R两端 u,i 关系,R,i,R,u,瞬时电路,复数电路,u=Ri,3.3 相量法的分析基础,第3章 3 3,2.L两端 u,i 的关系,取相量,(1)模,-电感抗(),电感抗与频率成正比,(2
6、)相位差:,u超前i 90度,(3)相量图,0,+1,第3章 3 3,3.C两端 u,i 的关系,取相量,(1)模,-电容抗(),电容抗与频率成反比,(2)相位差:,u落后i 90度,(3)相量图,0,+1,第3章 3 3,4.受控源的相量形式,第3章 3 3,二.基尔霍夫定律的相量形式,电路元件的相量关系,证明？,第3章 3 3,三.电路的相量模型(phasor model),时域列写微分方程,相量形式代数方程,时域电路,相量模型,相量模型：电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。,第3章 3 3,四.相量图,1.同频率的正弦量才能表示在同一个向量图中；,2.选定一个参考相量(设初相位为零。
7、),选 R为参考相量,第3章 3 3,画相量图步骤:,1.选取参考相量:,串联选电流并联选电压,2.由元件和支路的电压、电流相量关系，逐步画相量,3.依据KCL、KVL组合相量图（要使用相量平移）,相量图可直观反映各电压、电流量的关系，可用于辅助电路的分析计算（指导您如何算、判断结果对不对）,第3章 3 3,例：R-L-C串联交流电路相量图,先画出参考相量,相量表达式：,第3章 3 3,例：求A，A4两表的读数,解：作相量图，取R、L、C三个元件共有的电源电压相量作参考相量。,第3章 3 3,3.4 阻抗的串联与并联,一、R、L、C串联与复数阻抗,由复数电路,列KVL,交流电路中的欧姆定律.,
8、Z为复数阻抗.,第3章 34,1.复数阻抗的表示,阻抗三角形:,R,|Z|,X,2.代表两个标量等式,u,i之间的相位差由阻抗角决定.,第3章 34,3.相量图,参考相量的选取,在串联电路中,一般令,(1)设X0,0,感性电路,(2)X0,0,容性电路,(3)X=0,=0,阻性电路,第3章 34,4.推广:对任一无源二端交流网络,总可用一个等效复阻抗Zeq来替代,它等于输入复阻抗Zin.,Zeq,注意:,(1)相位差的定义:电压的初相-电流得初相,局部电压相量可以大于总电压相量.,第3章 34,二、R、L、C并联与复数导纳,由复数电路,列KCL,Y为复数导纳(s).,i,u,iR,iL,iC,
9、B0,Y为容性,B0,Y为感性,相量图:,第3章 34,推广:对任一无源二端交流网络,总可用一个等效复导纳Yeq来替代.,Yeq,第3章 34,三、Z与Y的等效互换,R,jX,G,jB,第3章 34,四、复数阻抗串联,Z1,Z2,ZN,Zeq,+,_,+,_,+,_,+,_,+,_,第3章 34,五、复数阻抗并联,Z1,Z2,ZN,+,_,Zeq,+,_,第3章 34,3.5 正弦稳态电路的分析,电阻网络中各种分析方法在正弦稳态电路中具有实用性,电阻电路中的各种分析方法对电路的相量模型均适用.,第3章 35,求:各支路电流。,解：先画出电路的相量模型,第3章 35,瞬时值表达式为：,第3章 3
10、5,例题2：已知,求,在此，求解电流的方法和直流电路相同。,分析：如果该电路是一个直流电路应如何求解呢？,第3章 35,（a）求开路电压,（b）求等效内阻,（C）求电流,第3章 35,用分流公式求解,第3章 35,列写电路的回路电流方程.,例3.,解：,?,自阻抗互阻抗等式右边特殊处理,第3章 35,列写电路的节点电压方程,例4.,解：,?,（受控源情况：参考教材例3-6）,自导纳互导纳等式右边特殊处理,第3章 35,例5:电路图示，试求ab间的戴维南定理电路。,Z1,Z2,a,b,解：1、求开路电压,第3章 35,2、求等效阻抗（去内部电源，再加压求流）,3、得等效电路,第3章 35,已知平
11、衡电桥Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+jw L3。求：Zx=Rx+jwLx。,由平衡条件：Z1 Z3=Z2 Zx,R1(R3+jw L3)=R2(Rx+j wLx),Rx=R1R3/R2 Lx=L3 R1/R2,例6.,解：,第3章 35,1,例7 Us=380V,f=50Hz,电容C可调，当电容C=80.95F时，电流表的读数最小，为2.59A.求I1=?.,第3章 35,3.6 正弦稳态电路的功率,一、瞬时功率p,i(t),u(t),N0,设,1.定义,2.特点,(1)p随t作2w变化,(2)p0,吸收;p0,发出,第3章 36,A.纯R,B.纯L,C.纯C,第3章 36,i,可逆的能
12、量转换过程,p为正弦波，频率加倍,第3章 36,二、平均功率(有功功率)P,定义,A.纯R,B.纯L,C.纯C,第3章 36,三、无功功率Q,定义,A.纯R,B.纯L,C.纯C,第3章 36,四、视在功率S,N0,S=UI(VA),由额定电压和额定电流的乘积决定。,第3章 36,五.P,Q,S之间的关系,P,S,Q,注意：,平均功率和无功功率-守恒,视在功率-不守恒,第3章 36,S,Q,阻抗三角形,电压三角形,功率三角形,功率、电压、阻抗三角形,P,X=XL-XC,Q=QLQC,第3章 36,小结：,相量,六 复功率,1.定义,Z,2.复功率守恒,第3章 36,整个电路中，各部分元件上的复功
13、率的代数和为零。,例：电路如图所示，已知R=R1=R2=10，L=31.8mH，C=318F，f=50Hz，U=10V，试求（1）并联支路端电压Uab；（2）求P、Q、S及COS,XL=2f L=10,解：,Z1=10j10,Z2=10j10,Icos=100.5 1=5W,SI=100.5=5VA,QIsin=100.5 0=0var,平均功率：,视在功率：,无功功率：,已知如图，求各支路的复功率。,例.,解一：,解二：,功率的测量,功率表,指针偏转角度与平均功率P 成正比，即可 测量 P。,(1)接法：电流i从电流线圈“*”号端流入，电压u正端接电压线圈“*”号端，此时P表示负载吸收的功率
14、。,例:三表法测R,L.(例3-14),电感线圈,已知:电压表,电流表,功率表读数和 电源的频率.求:R,L.,解:,(1)求模|Z|,(2)求阻抗角orR,注意:1)自耦变压器2)功率表的接法,第3章 36,例:已知:P1=4.4kw,I1=44.7A(感性),P2=8.8kw,I2=50A(感性),P3=6.6kw,I3=60A(容性).求I和cos,220V,解法一:(功率法),分析:I=S/U,cos=P/S,有功功率,无功功率守恒,第3章 36,复功率守恒,同理:,第3章 36,例1:已知:P1=4.4kw,I1=44.7A(感性),P2=8.8kw,I2=50A(感性),P3=6.
15、6kw,I3=60A(容性).求I和cos,220V,注意：,视在功率不守恒！,解法二:(相量图法),解法三:(阻抗法),第3章 36,3.7 功率因数的提高,问题的提出：日常生活中很多负载为感性的，其等效电路及相量关系如下图。,P=PR=UICOS,其中消耗的有功功率为：,第3章 37,当电压与电流之间的相位差不为0时，即功率因数不等于1时，出现下面两个问题：,1、发电设备的容量不能充分利用,例如：一台容量为1000VA（视在功率）的发电机，如果cos=1，则能发出1000W的有功功率。,如果接上电感L后cos=0.6，则只能接100W的白炽灯6盏,一、提高功率因数的意义,第3章 37,2、
16、增加线路和发电机绕组的功率损耗,由上述可知，提高电网的功率因数对国民经济的发展有着极为重要的意义。,40W白炽灯,40W日光灯,线路和绕组的损耗大,第3章 37,提高功率因数的原则：,必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负载上的电压U和负载的有功功率P不变。,提高功率因数的措施:,并电容,第3章 37,ZL,P1,+,_,负载ZL端电压为380V,f=50Hz，有功功率为P1,功率因数为cos1,通过并联C使端口功率因数提高到cos,问要并多大的电容C？,解法一：,相量图如下所示：,1,第3章 37,ZL,P1,+,_,1,P1,Q,Q1,第3章 37,P1=UILcos 1,=UIcos,
17、Ic=ILsin 1 Isin,解法二：,例：某小水电站有一台额定容量为10kVA的发电机，额定电压为220V，额定频率f=50Hz，今接一感性负载,其功率为8kW，功率因数cos 1=0.6，试问：1.发电机的电流是否超过额定值？2.若要把电路功率因数提高到0.95，需并多大的电容器？3.并联电容后，发电机的电流是多大？4.并联电容后，发电机还可接多少只220V、40W的灯泡？,解：1.发电机提供的电流,I1,发电机额定电流IN,发电机提供的电流超过了IN，不允许。,第3章 3 7,解：2.cos 1=0.6 1=53.6o tan 1=1.33,cos=0.95=18.2o tan=0.3
18、29,3.并联电容C后，发电机的电流I,第3章 3 7,例：某小水电站有一台额定容量为10kVA的发电机，额定电压为220V，额定频率f=50HZ，今接一感性负载,其功率为8kW，功率因数cos 1=0.6，试问：2.若要把电路功率因数提高到0.95，需并多大的电容器？3.并联电容后，发电机的电流是多大？,例：某小水电站有一台额定容量为10kVA的发电机，额定电压为220V，额定频率f=50Hz，今接一感性负载,其功率为8kW，功率因数cos 1=0.6，试问：4.并联电容后，发电机还可接多少只220V、40W的灯泡？,解：,4.每盏灯的电流ID1,40,若接入N盏灯后，发电机输出电流正好等于
19、IN，则,IN2=(ID+Icos)2+(Isin)2,ID=7.47A,N=,ID/ID1,=7.47/0.182=41盏,1,第3章 3 7,最大功率传输,Zi=Ri+jXi，ZL=RL+jXL,正弦电流电路中负载获得最大功率Pmax的条件。,ZL 可任意改变,负载ZL获得最大功率的条件是：,最佳匹配,第3章 3 7,含有电感和电容的电路，如果无功功率得到完全补偿，使电路的功率因数等于1，即：u、i 同相，便称此电路处于谐振状态。,谐振电路在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用非常广泛。,谐振概念：,3.8 正弦电路的谐振,第3章 3 8,一、RLC串联谐振电路条件,按谐振的一般定义：
20、,则：,即：,入端阻抗Z的虚部为零。,谐振频率为：,物理意义：,f0与R无关，它反应串联电路的一种固有性质。,当外加频率一定，则可以调整L或C使之发生谐振。,第3章 38,3.8.1 串联谐振,二、串联谐振的特征,1.阻抗最小：,Z(j0)=R,2.电流最大：,I=U/Z=U/R,4.无功功率为零：,5.品质因数Q,是衡量谐振电路诸多指标的一个重要物理量。,定义：,第3章 38,5.品质因数Q,(1)定义：,(2)Q值与谐振时电感（电容）电压的关系,谐振时电感（电容）电压可能远大于外加电压，故串联谐振又称为电压谐振。,(3)Q值与电路能量的关系,(4)Q值与电路选择性的关系,何谓“选择性”？,
21、对非谐振频率电流的抑制能力。,第3章 38,三、频率特性与谐振曲线,1.阻抗和导纳的频率特性,阻抗频率特性：,R,L,0,0,导纳频率特性：,第3章38,2.电流的谐振曲线,当外加电压有效值为U为常数，而可变时，有,可见：I()与Y()的频率特性完全相似，且发生谐振时，I 最大。,由此得到：,标称化：,Q-品质因数,第3章 38,串联谐振电路的通用曲线,(1)选择性,Q值越大；曲线越尖；选择性越好。,当稍微偏离1时，I()/I0下降。,当下降程度越大,即曲线越尖时，,则选择性越好，反之越差。,第3章 38,(2)通频带BW,一般实际工程中，规定：通用曲线上I()/I0=0.707的点，,这一点
22、对应的两个频率点之间的宽度称为通频带。,Q值大，通频带窄，选择性好。,3.电压的谐振曲线,电感电压：,电容电压：,电压谐振曲线,(1)L与C两端的电压最大值不是发生在谐振频率处；,(2)当Q1时，,UC(0)UCmax,UL(0)ULmax,(3)当Q0.707时，,UC(0)=QUUCmax,UL(0)=QUULmax,UC及UL均无峰值。,第3章 38,解：,第3章 3 8,第3章 3 8,一、RLC并联谐振电路,1.谐振的一般定义：,入端阻抗Y的虚部为零：,谐振频率为：,3.8.2 并联谐振电路,第3章 38,2.并联谐振的特点,1)导纳最小：,Y(j0)=1/R,2)电压最大：,U=I
23、sR,4)无功功率为零：,5)品质因数Q,定义:,第3章 38,二、电感线圈与电容并联谐振电路,1.谐振条件,谐振角频率：,2.当=0时，输入导纳不是最小；,原因是：Y(j)的实部与 有关。,第3章 38,3-9 含耦合电感的正弦电路,3.9.1 耦合电感元件,3.9.2 含耦合电感电路的计算,3.9.3 理想变压器,耦合电感元件,第3章 3.9,一、自感和自感电压,i,右螺旋u,楞次u,i 关联,i,+,u,自感电压的参考方向与磁通参考方向符合右手螺旋法则.,二、互感与互感电压,11,21,i1,11,21,i2,22,12,u11,u12,u22,u21,1、互感现象,第3章 3.9,2.
24、互感电压,当互感磁通与自感磁通的参考方向一致时,互感电压与自感电压的参考方向一致;而自感电压总是与电流方向一致.,11,21,u11,u12,u22,u21,第3章 3.9,第3章 3.9,三、同名端,互感电压的方向与线圈有关，但实际的互感元件制成后是密封的。,因此，为了表示自感磁通与互感磁通是否相助，采用同名端的标记方法：用“*”，“”,第3章 3.9,受控源等效电路,在正弦交流电路中，其相量形式的方程为,第3章 3.9,例：标出三个有互感耦合线圈的自感电压及互感电压，并列出其KVL方程。,第3章 3.9,四 耦合系数,为了表明两个耦合线圈的紧缩程度，采用耦合系数K。,耦合利弊：,(1)变压
25、器原理利用了耦合;,(2)高频振荡回路利用了耦合;,(3)产生了寄生振荡,破坏线路正常工作.,第3章 3.9,3.9.2 含耦合电感电路的计算,一、有互感两线圈的串联,1.顺接:异名端相接,两边取相量,第3章 3.9,Ld-等值电感,第3章 3.9,2.反接:同名端相接,两边取相量,Ld-等值电感,第3章 3.9,二、互感线圈的并联,1.同名端在同侧,2.同名端在异侧,互感消去法（去耦等效）：适合于两个互感线圈只有一个公共节点情况,例1:求开关K打开时和闭合时的电流,解:(1)K打开时,(2)K闭合时,第3章 3.9,求内阻：Zeq,方法（1）加压求流：列回路电流方程,（2）去耦等效：建议多采
26、用,3.9.3 理想变压器,理想变压器是一种特殊的无损耗全耦合变压器.,一.何谓变压器?,同时满足下面三个充要条件,(1)变压器本身无损耗;,(2)全耦合K=1,(3)L1,L2,M均为无穷大.,变压器铁心:硅钢片叠压而成。变压器绕组:高强度漆包线绕制而成。其它部件:油箱、冷却装置、保护装置等。,第3章 3.9,二.理想变压器原副边电压,电流的关系,1.电压关系,瞬时值:,第3章 3.9,2.电流的关系,第3章 3.9,3.等效电路,从变压器模型来看,任何瞬间有,变压器只起信号变换的作用.,n:1,n:1,电压电流关系如何?,第3章 3.9,三.阻抗变换的作用,n:1,第3章 3.9,例、图5中s(t)=10cos2t(v)，线圈1（R1=2，L1=1H）与线圈2（R2=2，L2=2H）之间有互感M=1H，在线圈2两端并接电容C，使线圈1上电流 最大。试求并接的电容值，并接电容之后线圈1上的复功率。,例1 要是交流电流表的读数为零,电源角频率w=?,第3章 例题,例2 在如图所示正弦稳态电路中,N为含R,L,C,M及受控源 的无源一端口网络,在a,b端接入电源,三条支路电流的 的大小是1A,试求a,b一端口的复阻抗Zab.,第3章 例题,
