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1、1,第一章 矢量分析,1.1 矢量代数1.2 三种常用的正交曲线坐标系1.3 标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流与旋度1.6 无旋场与无散场1.7 拉普拉斯运算与格林定理1.8 亥姆霍兹定理,2,1.标量和矢量,矢量的大小或模：,矢量的单位矢量：,标量：一个只用大小描述的物理量。,矢量的代数表示：,1.1 矢量代数,矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。,矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示,注意：单位矢量不一定是常矢量。,常矢量：大小和方向均不变的矢量。,3,矢量用坐标分量表示,4,（1）矢量的加减法,两矢量的加减在几
2、何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,如图所示。,矢量的加减符合交换律和结合律,2.矢量的代数运算,在直角坐标系中两矢量的加法和减法：,结合律,交换律,5,（2）标量乘矢量,（3）矢量的标积（点积）,矢量的标积符合交换律,6,（4）矢量的矢积（叉积）,用坐标分量表示为,写成行列式形式为,若，则,若，则,7,矢量积的图示及右手螺旋(a)矢量积(b)右手螺旋,8,（5）矢量的混合运算,分配律,分配律,标量三重积,矢量三重积,9,10,例题:给定三矢量,求:(1),(2),(3),(4),(6),(5),解:,(1),(2),11,(3),(4),根据公式,12,(5),(6),利用行列式求解
3、,13,三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。,1.2 三种常用的正交曲线坐标系,在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。,三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。,14,1.直角坐标系,位置矢量,面元矢量,线元矢量,体积元,坐标变量,坐标单位矢量,15,2.圆柱坐标系,坐标变量,坐标单位矢量,位置矢量,线元矢量,体积元,面元矢量,圆柱坐标系中的线元、面元和体积元,16,3.球坐标系,坐标变量,坐标单位矢量,位置矢量,线元矢量,体积元,面元矢量,球坐标系
4、中的线元、面元和体积元,17,4、坐标单位矢量之间的关系,18,1.3 标量场的梯度,标量场：温度场、电位场、高度场等。矢量场：流速场、重力场、电场、磁场等。,确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。,标量场和矢量场,19,20,矢量函数的导数与积分 矢量函数一般是空间坐标的函数，有时它也是时间的函数。在我们以后研究的有关内容中必将涉及到矢量函数随空间坐标和时间的变化率问题，既对上述变量的导数问题,矢量函数对空间的偏导数仍是一个矢量，它的分量等于原矢量函数各分量对该坐标的偏导数。这一结论同样矢用于矢量函数对时间求导数。,21,标量场的等值面,等值面:标量场取得同
5、一数值的点在空 间形成的曲面。,等值面方程：,常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。,等值面的特点：,意义:形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。,22,2.方向导数,意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。,概念：,u(M)沿 方向增加；,u(M)沿 方向减小；,u(M)沿 方向无变化。,特点：方向导数既与点M0有关，也与 方向有关。,问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？,23,梯度的表达式：,圆柱坐标系,球坐标系,直角坐标系,3.标量场的梯度（或）,意义：描述标量场在某点的最大变化
6、率及其变化最大的方向,概念：，其中 取得最大值的方向,24,标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。,梯度的性质：,梯度运算的基本公式：,标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）,25,解(1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为,例1.2.1 设一标量函数(x,y,z)=x2y2z 描述了空间标量场。试求：(1)该函数 在点 P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。(2)求该函数 沿单位矢量方向的方向导数，并以点 P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。,26,表征其方向的单位矢量,(2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el 方向的方向导数为,对于给定的P 点，上述方向导数在该点取值为,27,而该点的梯度值为,显然，梯度 描述了P点处标量函数 的最大变化率，即最大的方向导数，故 恒成立。,
