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1、第8章 相量法,2.正弦量的相量表示,3.电路定理的相量形式；,重点：,1.正弦量的表示、相位差；,复数A的表示形式,代数形式 A=a+jb,8.1 复 数,1.复数及运算,两种表示法的关系：,或,复数运算,则 A1A2=(a1a2)+j(b1b2),(1)加减运算采用代数形式,若 A1=a1+jb1，A2=a2+jb2,图解法,(2)乘除运算采用指数形式或极坐标形式,除法：模相除，角相减。,例1.,乘法：模相乘，角相加。,则:,解,例2.,(3)旋转因子：,复数 ejq=cosq+jsinq=1q,A ejq 相当于A逆时针旋转一个角度q，而模不变。故把 ejq 称为旋转因子。当A除以旋转因
2、子时，相当于A顺时针旋转一个角度，模不变。,解,故+j,j,-1 都可以看成旋转因子。即：一个复数乘以j，相当于把该复数在复平面上逆时针旋转,几种不同值时的旋转因子,正弦电流电路,激励和响应均为正弦量的电路称为正弦电路或交流电路。,8.2 正 弦 量,1.正弦量,瞬时值表达式：,i(t)=Imcos(w t+y),波形：,周期T(period)和频率f(frequency):,频率f：每秒重复变化的次数。,周期T：重复变化一次所需的时间。,单位：Hz，赫(兹),单位：s，秒,正弦量,电路中按正弦规律变化的电压或电流。,幅值(amplitude)(振幅、最大值)Im,(2)角频率(angular
3、 frequency)w,2.正弦量的三要素,(3)初相位(initial phase angle)y,2,t,单位：rad/s，弧度/秒,反映正弦量变化幅度的大小。,相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。,反映正弦量的计时起点。指正弦量在t=0时刻的相位。用弧度或度表示。通常在在 之间,i(t)=Imcos(w t+y),同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。,一般规定：|。,=0,=/2,=/2,例,已知正弦电流波形如图，103rad/s，（1）写出i(t)表达式；（2）求最大值发生的时间t1,解,由于最大值发生在计时起点之后,3.同频率正弦量的相位差(phase difference)。
4、,设 u(t)=Umcos(w t+y u),i(t)=Imcos(w t+y i),则 相位差：j=(w t+y u)-(w t+y i)=y u-y i,j 0，u超前ij 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)；,j 0，i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。,等于初相位之差,规定：|(180)。,j 0，同相：,j=(180o)，反相：,特殊相位关系：,=p/2：u 领先 i p/2,不说 u 落后 i 3p/2；i 落后 u p/2,不说 i 领先 u 3p/2。,同样可比较两个电压或两个电流的相位差。,例,计算下列两正弦量的相位差。,解,不
5、能比较相位差,两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。,4.周期性电流、电压的有效值,周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小工程上采用有效值来表示。,周期电流、电压有效值(effective value)定义,有效值也称均方根值(root-meen-square),物理意义,同样，可定义电压有效值：,正弦电流、电压的有效值,设 i(t)=Imcos(t+),同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：,若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；,U=380V，Um537V。,（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、
6、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。,（2）测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。,（3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。,注,i1,i1+i2 i3,i2,角频率：有效值：初相位：,两个正弦量的相加,因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，,1、正弦量的相量表示,i3,8.3 相量法的基础,正弦量的相量表示,造一个复函数,对A(t)取实部：,对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数,A(t)包含了三要素：I、w，复常数包含了I,。,A(t)还可以写
7、成,无物理意义,是一个正弦量 有物理意义,称 为正弦量 i(t)对应的相量。,相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位,同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：,已知,例1,试用相量表示i,u.,解,在复平面上用向量表示相量的图,例2,试写出电流的瞬时值表达式。,解,相量图,2.相量法的应用,(1)同频率正弦量的加减,故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。,可得其相量关系为：,例,也可借助相量图计算,首尾相接,2.正弦量的微分，积分运算,微分运算:,积分运算:,例,用相量运算：,相量法的优点：,（1）把时域问题变为复数问题；,（2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；,（
8、3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；,注,相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。,相量法用来分析正弦稳态电路。,8.4 电路定律的相量形式,1.电阻元件VCR的相量形式,时域形式：,相量形式：,相量模型,有效值关系,相位关系,相量关系：,电压和电流的相量和有效值都满足欧姆定律，且同相位。,瞬时功率：,波形图及相量图：,瞬时功率以2交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功率,同相位,时域形式：,相量形式：,相量模型,相量关系：,2.电感元件VCR的相量形式,电感电压有效值等于电流有效值与感抗的乘积；电压超前电流90度。,感抗的物理意义：,(1)表示限制电流的能力；,(2)感抗和频
9、率成正比；,相量表达式:,XL=L=2fL，称为感抗，单位为(欧姆)BL=1/L=1/2fL，感纳，单位为 S,感抗和感纳:,功率：,瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消,波形图及相量图：,电压超前电流900,时域形式：,相量形式：,相量模型,相量关系：,3.电容元件VCR的相量形式,电容电压有效值等于电流有效值与容抗的乘积；电压滞后电流90度。,XC=1/w C，称为容抗，单位为(欧姆)B C=w C，称为容纳，单位为 S,频率和容抗成反比,0，|XC|直流开路(隔直)w，|XC|0 高频短路(旁路作用),容抗与容纳：,相量表达式:,功率：,瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚
10、好互相抵消,波形图及相量图：,电流超前电压900,4.基尔霍夫定律的相量形式,同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：,上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。,例8-1 图示电路，电流表A1的读数为5A，A2的读数为20A，A3的读数为25A，求电流表A和A4的读数。,例2,解,例3,解,例4,解,例5,图示电路I1=I2同=5A，U50V，总电压与总电流同相位，求I、R、XC、XL。,解,也可以画相量图计算,令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部,本章小结,1、正弦量及三各要素,i(t)=Imcos(w t+),振幅：Im 角频率：w 初相：,2、有效值,3、同频率正弦量的相位差,j ui=(w t+u)-(w t+i)=u-i,j ui=u-i 0,电压超前于电流,j ui=u-i 0,电压滞后于电流,规定：|,4、有效值相量,5、相量的性质,a、同频正弦量的代数和,i1 i2=i3,6、相量图,b、正弦量的微分,c、正弦量的积分,7、电路定律的相量形式,a、电阻,b、电感,c、电容,d、基尔霍夫定律,例5,图示为RC选频网络，试求u1和u0同相位的条件及,
