电路分析基础教案(第5章).ppt

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1、1,第二篇动态电路的时域分析,电路分析基础-李瀚荪,2,第二篇 动态电路的时域分析,在第一篇（第一章第四章）中，介绍了电路分析的基本定律、定理和分析方法。明确了，电阻电路各元件的伏安关系（VCR）均为代数关系，通常将这类元件称为静态元件。而把由静态元件组成的电路称为静态电路，描述静态电路的是一组代数方程。,3,第二篇 动态电路的时域分析,但实际电路中，除了静态元件外，不可避免的存在另一类元件。如电感、电容，这些元件的的电流电压关系（VCR）为微分或积分关系，故称其为动态元件。,4,第二篇 动态电路的时域分析,把至少含有一个动态元件的电路称为动态电路。描述动态电路的方程是以电流或电压为变量的微分

2、方程。若动态电路在线性非时变的条件下，其描述方程是线性常微分方程。注意复习高等数学微分方程求解部分！,5,第二篇 动态电路的时域分析,若电路中只包含一个动态元件，可以用一阶微分方程描述。而用一阶微分方程描述的电路常称为一阶电路。一般而言，若电路中包含有n个独立的动态元件，可以用n阶微分方程描述。而用n阶微分方程描述的电路称为n阶电路。在恒定激励下，一阶电路不仅作为实际电路经常使用，而且它的分析方法具有一般性，可以直接推广到二阶或高阶电路的分析。,6,第二篇 动态电路的时域分析,第五章 电容元件与电感元件,第二篇包含第五章第七章共三章，讨论动态电路的时域分析方法，但只限于一阶和二阶的动态电路。,

3、第六章一阶电路,第七章 二阶电路,7,第五章电容元件与电感元件,第二篇 动态电路的时域分析,8,第五章 电容元件与电感元件,电容元件（capacitor）、电感元件（inductor）均属动态元件。只包含电阻元件和电源元件的电路称为电阻（resistive）电路，否则便是动态（dynamic）电路。亦即，动态电路至少包含有一个动态元件。动态元件的VCR，涉及对u或i的微分或积分。任何一个集总电路都必须服从两类约束。对动态电路来说，还需包含动态元件的VCR。,9,第五章 电容元件与电感元件,电阻电路在任意时刻t的响应只与同一时刻的激励有关，与过去的激励无关。因此，电阻电路是“无记忆”，或是说“即

4、时的”。与电阻电路不同，动态电路在任意时刻t的响应与激励的全部过去历史有关。因此，动态电路是“有记忆”的。,10,第五章 电容元件与电感元件,本章主要内容：动态元件的定义；动态元件的VCR；动态电路的等效电路；动态电路的记忆、状态等概念。,11,第一节电容元件,第五章 电容元件与电感元件,12,5-1 电容元件,1、电容元件概念 任何两个彼此绝缘又相互靠近的导体就可构成一个电容器。,13,5-1 电容元件,电容元件是实际电容器的理想化模型。它只具有存储电荷、从而存储电场能量的作用。其参数为电容C：,14,5-1 电容元件,2、电容元件定义 理想电容元件应该只具有存储电荷从而建立电场的作用，而没

5、有其他任何作用。因此可以定义电容元件为：一个二端元件，如果在任一时刻t，它的电荷q(t)同它的端电压u(t)之间的关系可以用q-u平面上的一条曲线（库-伏特性）来确定，则此二端元件称为电容元件。,15,5-1 电容元件,与电阻元件类似，若约束电容元件的q-u（库-伏特性曲线）平面上的曲线是过原点的直线则称为线性电容。若不是通过原点的直线（如图所示的曲线），则称为非线性电容。如变容二极管就是一种非线性电容，其电容随所加电压而变；,16,5-1 电容元件,若约束电容元件的q-u平面上的曲线不随时间变化，则称为时不变电容，否则称为时变电容。电容元件的符号及其标示的关联参考方向如图所示，即在假定为正电

6、位的极板上的电荷也假定为正。,17,5-1 电容元件,在关联参考方向下，如果u-q平面上的特性曲线是一条通过原点的直线，且不随时间而变，则此电容元件称之为线性时不变电容元件。亦即：q(t)=Cu(t)其中C为一个与q、u及t无关的正值常量，是表征电容元件储存电荷能力的物理量，称为电容，单位为法拉，它是用来度量库-伏特性曲线斜率的。,18,5-1 电容元件,3、电容元件特点 线性电容有如下特点：（1）双向性 库伏特性是以原点对称，如图所示，因此与端钮接法无关。,19,5-1 电容元件,（2）动态性若电容两端的电压是直流电压U，则极板上的电荷是稳定的，没有电流，即：I=0。,电容相当于断路（开路）

7、，所以电容有隔断直流作用。,20,5-1 电容元件,但若电容两端的电压u(t)是变化的，则极板上的电荷会随之变化，形成电流i(t)0。,电容相当于导通，所以电容对于交流是导通的。,可见，电容电流取决于该时刻两端电压的变化率，而与该时刻的电压值无关，这反映了电容的动态性。,21,5-1 电容元件,（3）记忆性 电容在t时刻的电压与以前所有的电流都有关，因此，电容电压具有记忆电容电流的性质。（4）储能性 当电容两端外加电源，两极上会聚集等量的正、负电荷，两极间建立电场。而当电源移走后，电荷可继续聚集在两极上，电场继续存在。,因此，电容是无源元件，却是储能元件。,22,5-1 电容元件,4、电容器

8、实际电容器与电容元件完全不同，除了具有电容元件的储能性质外，还有一些漏电现象。因此，电容器的模型，还应包括漏电阻元件，如图所示为其中的一种。,23,5-1 电容元件,除了容量外，电容器的重要参数是额定工作电压，超过额定电压会导致电容器被击穿而损坏。,24,5-1 电容元件,电容器种类繁多，包括有：聚酯（涤纶）电容、云母电容、空气电容、瓷介电容、（铝）电解电容、（钽）电解电容等。,25,5-1 电容元件,（1）典型电容器：电解电容器。,注意：有些电容器是单向的：如电解电容器等，安装时不能接反。,26,5-1 电容元件,电解电容器最基本的结构是有极性的。这由生产工艺决定了。电解电容容易用较少的材料

9、和较小的体积实现大容量。但是由于有极性，只能在带有一定直流分量应用，不宜用于纯交流，并且电解电容的极性要顺应直流分量的方向，不能反接使用。目前，已出现无极性电解电容器，但体积稍大，容量稍小。,27,5-1 电容元件,（2）电容效应 电容器是为了获得一定大小的电容特意制成的。但是，电容的效应在许多场合是存在的，几乎是无处不在，常称为寄生电容、杂散电容和分布电容等。理论上，电位不相等的导体之间就会有电场，因此就有电荷聚集并有电场能量，即有电容效应存在。例如：元件的管脚之间、连线。,28,5-1 电容元件,本节要点：（1）电容的概念；（2）电容的定义；（3）电容的特性；（4）电容器。,29,第二节电

10、容的VCR,第五章 电容元件与电感元件,30,5-2 电容的VCR,虽然电容是根据q-u关系来定义的，但在电路分析中，感兴趣的往往是元件的VCR。本节将分别从电荷变化的角度和电荷积累的角度来描述电容的VCR。,31,5-2 电容的VCR,于是：,1、电容（元件）VCR形式一 设电流i(t)的参考方向箭头指向标注q(t)的极板，这就意味着当i(t)为正值时，正电荷向这一极板聚集，因而电荷q(t)的变化率为正。,32,5-2 电容的VCR,若u与i的参考方向不一致，则：,故得：,又设电压u(t)与q(t)参考方向一致，对线性电容，得：q(t)=Cu(t),33,5-2 电容的VCR,在关联参考方向

11、下，上式为电容（元件）的VCR之一，以u表示i。它从电荷变化的角度描述了电容的VCR。由上式可知：在某一时刻电容的电流与该时刻电压量值无关，而取决于该时刻电容电压的变化率，所以电容元件称为动态元件。,34,5-2 电容的VCR,因此有：如电容电压不变，则电流为零，相当于开路，此为电容的隔直流效应。如电容电压变化，则电流不为零，电压变化越快，电流就越大。电容两端的电压不能跃变连续性。这与电阻元件两端电压、电流的关系不同，对于电阻元件，只要两端有电压（不论是否变化）就会产生电流。,35,5-2 电容的VCR,例题：电路如图所示，电压源电压为三角波形，求电容电流i（t）。,解：在关联参考方向时，i=

12、C（du/dt），在0t0.25ms期间，i=110-6(100-0)/(0.2510-3-0)=0.4A；,36,5-2 电容的VCR,在0.25t0.75ms期间，i=110-6(-100-100)/(0.7510-3-0.2510-3)=-0.4A；,37,5-2 电容的VCR,在0.75t1.25ms期间，同理可得：i=110-6200/(0.510-3)=0.4A；故画出电流波形，如图所示。（解毕）,与电阻元件不同：电容两端电压与流过电流波形不一致。,38,2、电容（元件）VCR形式二 在关联参考方向实，也可以把电容的电压u(t)表示为电流i的函数。,由：,得：,5-2 电容的VCR

13、,39,上式表明：在某一时刻t电容电压的数值u(t)并不取决于该时刻的电流值，而取决于从-到t所有时刻的电流值，也就是说与电流全部过去历史有关记忆性。,5-2 电容的VCR,40,考察电路总有一个初始时刻，往往只需了解在某一任意选定的初始时刻t0以后电容电压的情况，则上式可改写为：,5-2 电容的VCR,实际上，我们是无法搞清楚电容电流的全部历史。怎么办？,41,5-2 电容的VCR,得：,由：,式中q(t0)为t0时刻电容所带电荷。其物理意义是：t时刻电容具有的电荷等于t0时刻电荷加以t0到t时间间隔内增加的电荷。,注意：可以认定在t=-时，q(-)=0，,42,u（t0）累计了t=t0以前

14、所有时刻电流 i 的作用，称为电容的初始电压。,5-2 电容的VCR,因此，虽然要搞清楚电容电流的全部历史是不容易的，但也是不必要的。,由于：u=q/C，则上式可改写为：,43,5-2 电容的VCR,由此可见，没有必要去考虑t0以前电流的情况，t0以前全部历史情况对未来（tt0时）产生的影响，可以用u(t0)，即电容的初始电压来反映。也就是说，如果知道了由初始时刻t0开始作用的电流i(t)以及电容的初始电压u(t0)，就能确定tt0时的电容电压u(t)。,44,5-2 电容的VCR,例题：电路如图所示，电流源电流为三角形波形，试求电容电压u。,解：在关联参考方向时，u=(1/C)i(t)dt，

15、当0t0.25ms，i=t/(0.2510-3)=4000t（A）；u=u(0)+1060t4000d=2109t2（V）,此为向上开口的抛物线方程；,45,5-2 电容的VCR,当0.25t0.75ms，i=-4000t+2（A）；u=u(0.25ms)+（1/C）0.25mst(-4000+2)d=125+1060.25mst(-4000+2)d=-250+2106t-2109t2（V）此为向下开口的抛物线方程；,46,5-2 电容的VCR,当0.75t1.25ms，i=4000t-4（A）；u=u(0.75ms)+（1/C）0.75mst(4000-4)d=125+1060.75mst(

16、4000-4)d=2000-4106t+2109t2（V）此为向上开口的抛物线方程；,47,5-2 电容的VCR,电压波形图如图所示。,再次证明与电阻元件不同：电容两端电压与流过电流波形不一致。,48,本节要点：（1）电容的两种VCR形式：是分别从电荷变化的角度和电荷积累的角度来描述的。（2）电容的两种特性：连续性和记忆性。（3）电容与电阻的不同。电容两端的电压和电流波形是不同的。,5-2 电容的VCR,49,第三节电容电压的连续性质和记忆性质,第五章 电容元件与电感元件,50,5-3 电容电压的连续性质和记忆性质,本节对电容的两种特性连续性和记忆性、以及电容的等效电路作进一步的探讨。,51,

17、5-3 电容电压的连续性质和记忆性质,可以看出，若某一时刻电流是有限值，则其电压变化率du/dt也必然是有限的。这说明该时刻电容电压只能连续变化而不能发生跳变（或跃变）。,1、电容电压的连续性质（1）由电容VCR形式一说明,52,5-3 电容电压的连续性质和记忆性质,例：1F的电容，若u如图（a）；则i=C(du/dt)，波形如图（b）。,图(a),图(b),由上图可以看出u、i波形的不同特点，i(t)是可以跃变的。反之，若某一时刻电压u发生跳变，则意味着该时刻电容电流：i(t)=C(du/dt)是无穷大的。,53,5-3 电容电压的连续性质和记忆性质,若电容元件与理想电压源接通的瞬间，由KV

18、L的约束可知，电容电压跃变为电压源的电压值，此时电路中电容电流为无穷大。若电压不为零的电容元件短路的瞬间，同样，电容电压跃变为零值，此时电路中电容电流也为无穷大。,在实际电路中电流不可、也不会出现无穷大。所以，电容器两端电压是不能跳变的。,这只是一种理想情况，在实际中是不存在的。,54,5-3 电容电压的连续性质和记忆性质,（2）由电容VCR形式二可说明,可以看出，若某一时刻电流i发生跳变，但仍是有限值，则其电压u也必然是有限的。这再次说明该时刻电容电压只能连续变化而不能发生跳变（或跃变）。,55,5-3 电容电压的连续性质和记忆性质,由上图可以看出u、i波形的不同特点，即使i(t)是跃变电流

19、时，电压u(t)仍是连续的。与电阻元件所表现的情况是不同的。,例：1F的电容，u(0)=0，若i如图（a），则u=idt如图（b）。,56,5-3 电容电压的连续性质和记忆性质,（3）归纳,（b）尽管电流可以是不连续的，但电容电压却是连续的,（a）u、i 波形不同。特别是当u为直流电压时，i=0。除正弦波等少数例外，u、i波形不相同为动态元件一般规律。,电容电压的连续性质（continuity property）,但要注意前提是电容电流是有界的前提，若无界则不能运用。,57,5-3 电容电压的连续性质和记忆性质,设初始时刻为t0，更实用的形式：,2、记忆性质实际上，由电容VCR形式二可知：,5

20、8,5-3 电容电压的连续性质和记忆性质,某一时刻的电容电压取决于在此之前电流的全部历史，因此，可以说电容电压有“记忆”电压的性质。电容是一种记忆元件。在含有电容的动态电路分析问题中，这是一个十分重要的概念，因而电容的初始电压u(t0)是一个解题时必须具备的条件。,59,5-3 电容电压的连续性质和记忆性质,3、电容的等效电路 已知电容VCR形式：,设u(t0)=U0，则tt0时电容电压可写为：,60,5-3 电容电压的连续性质和记忆性质,由此可见，一个已被充电的电容，若已知u(t0)=U0，则在tt0时可等效为一个未充电的电容与电压源相串联的电路。电压源的电压值即为t0时电容两端的电压U0，

21、U0称为电容电压的u(t)的初始状态。,61,5-3 电容电压的连续性质和记忆性质,如图示电路，设u(t0)=U0，则有：,因此，tt0时电容的等效电路为：,62,5-3 电容电压的连续性质和记忆性质,试求：(1)u(0)；(2)u(t)、t0；(3)u(1)和u(0.5)；(4)作出t0时该电容的等效电路。,已知电容C=4F，对所有t、i(t)波形如图所示，电容电压u(t)与i(t)参考方向关联。,63,5-3 电容电压的连续性质和记忆性质,解（1）：求u(0)；根据已知条件，t0时，且仅在1t0时，i(t)=2A。,u（0）记忆了t=0以前所有电流的充电作用。,64,5-3 电容电压的连续

22、性质和记忆性质,解（2）：求u(t)、t0；,t0时，不能忽略初始电压u（0），它反映了t0时，电流 i 对t 0时u（t）的影响。波形如图所示。,t 0时：,65,5-3 电容电压的连续性质和记忆性质,解（3）：u(1)和u(0.5)；由i的波形可以推出：,66,5-3 电容电压的连续性质和记忆性质,解（4）：作出t0时该电容的等效电路。,i1（t）是 i（t）在t0时的部分；t0的部分已不必再考虑。这正是电容电压的记忆特性。,67,5-3 电容电压的连续性质和记忆性质,因此：,如图所示电容电压波形。,68,5-3 电容电压的连续性质和记忆性质,u(0)是怎样形成的，不必过问，也不可能过问。

23、这正是电容电压的记忆特性。,显然，运用t0时的等效电路，无须了解t0时的电流i或电路的具体情况，只要知道u(0)即可。,69,5-3 电容电压的连续性质和记忆性质,本节要点：（1）电容电压的连续性；（2）电容的记忆性；（3）电容的等效电路。,70,第四节电容的储能,第五章 电容元件与电感元件,71,5-4 电容的储能,正值表示电容吸收功率，而负值表示释放功率，即将吸收的功率退还给电源或电路的其他部分。这与电阻功率总是正值是不同的，电阻总是消耗功率，而电容元件是不消耗功率的。,1、电容的功率 关联方向时电容消耗的功率为：p=i(t)u(t)，有时为正，有时为负。,72,5-4 电容的储能,2、电

24、容的能量 由于：p=dwC/dt，因而电容的能量wC应为功率对时间t的积分。,73,5-4 电容的储能,从t=-到t时刻，电容元件吸收的能量为：,74,5-4 电容的储能,同样，可以认定在t=-时，u(-)=0，其电场能量也为零。这样，电容元件在任何时刻t的储能为：,电容储能不能为负。,75,5-4 电容的储能,同理，从时刻t1到t2电容元件吸收的能量为：,76,5-4 电容的储能,由此可知，在t1到t2期间供给电容的能量只与时刻t1和t2的电压值u(t1)和u(t2)有关，与在此期间其他电压值无关。电容是储（电场）能元件，t1到t2期间供给电容的能量是用来改变电容的能量状况的。,77,5-4

25、 电容的储能,其中：Cu2(t1)/2项是表示t1时刻电容储能，Cu2(t2)/2项是表示t2时刻电容储能。因此，电容C在某一时刻t的储能只与该时刻t的电压有关，即电容储能公式为：,78,5-4 电容的储能,电容元件吸收能量，所以是耗能元件？电容元件释放能量，所以是有源元件？,3、电容能量的存储 如上所述，从时刻t1到t2电容元件吸收的能量为：,79,5-4 电容的储能,电容元件充电时，|u（t2）|u（t1）|，w（t2）w（t1），故在此时间内元件吸收能量；电容元件放电时，|u（t2）|u（t1）|，w（t2）w（t1），故在此时间内元件释放能量。电容在充电时吸收并储存的能量一定在放电完毕

26、时全部释放，它不消耗能量，是不耗能元件。同时，电容元件也无法释放出多于它吸收并储存的能量，所以它又是一种无源元件。,80,5-4 电容的储能,因此，电容的能量总是为正值。但有时增长，有时减少。在wC增长期间，功率p为正值，表明吸收能量；在wC减少期间，功率p为负值，表明释放能量。,81,5-4 电容的储能,某一时刻t 的电容电压反映同时刻储能状况，电容电压的连续性和记忆性均来自电容的储能本性。归纳：（1）电容功率是可以跳变的；（2）电容能量是不能跳变的。,82,5-4 电容的储能,例题：接续前题，求电容功率p和储能wC。,解：在关联参考方向下，根据前已求出的电容电流i，可直接求解电容消耗的功率

27、为：p=ui。,83,5-4 电容的储能,当0t0.25ms，i=0.4A，p=ui=0.4400t=160t；当0.25t0.75ms，i=-0.4A，p=ui=-0.4(200-400t)=-80+160t；当0.75t1.25ms，i=0.4A，p=ui=0.4(-400+400t)=-160+160t；,84,5-4 电容的储能,根据wC=Cu2/2，得：当0t0.25ms，wC=10-6(400t)2/2=0.08t2（J）;当0.25t0.75ms，wC=10-6(200-400t)2/2=0.02(1-2t)2（J）；当0.75t1.25ms，wC=10-6(400t-400)2

28、/2=0.08(t-1)2（J）；,（解毕）,85,5-4 电容的储能,本节要点：（1）电容的功率；（2）储能的计算；（3）电容的储能。,86,第五节电感元件,第五章 电容元件与电感元件,87,5-5 电感元件,1、电感元件概念 当电感线圈中通过直流电流时，其周围只呈现有固定的磁力线，不随时间而变化，如下图所示。,88,5-5 电感元件,若在线圈中通过变化的电流i，会在线圈内部引起变化的磁通，变化的磁通穿过线圈时，将在线圈两端产生感应电动势。,89,5-5 电感元件,感应电动势的大小与磁通的变化率成正比，感应电动势的方向可根据楞次定律来判断，这种现象称为电感。,90,5-5 电感元件,与线圈每

29、一匝都相交链的磁通总和，通常称为线圈的磁通链，简称磁链，并用符号表示，则：=1+2+N式中1、2、N分别为与对应线匝交链的磁通，单位是韦伯，记作韦（Wb）。若线圈紧密，穿过线圈各匝的磁通链近似相等，即：1=2=N，则有：=N。,91,5-5 电感元件,电感元件是实际电感器的理想化模型。它只具有产生磁通、从而存储磁场能量的作用。线性电感元件的磁通链与电流i的比值为常量，称为感应系数，简称电感，单位为亨H。,92,5-5 电感元件,2、电感元件定义 一个二端元件，如果在任一时刻t，它的电流i(t)同它的磁链(t)之间的关系可以用i-平面上的一条曲线(韦-安特性曲线)来确定，则此二端元件称为电感元件

30、。,93,5-5 电感元件,电流与磁链的关联参考方向：参考方向应满足右手螺旋法则。由于电感元件的符号并不显示绕行方向，在假定电流的流入端处标以磁链的“+”号，这就表示，与该元件相对应的电感线圈中电流和磁链的参考方向符合右手螺旋法则。正负号“+”、“-”既表示磁链也表示电压的参考方向。,94,5-5 电感元件,习惯上也常把电感元件成为电感或自感。,如果i-平面上的特性曲线(韦-安特性曲线)是一条通过原点的直线，且不随时间而变，则此电感元件称之为线性时不变电感元件。亦即：(t)=Li(t)其中L为正值常量，称为电感，单位为亨利，它是用来度量特性曲线斜率的。,95,5-5 电感元件,若韦-安特性曲线

31、不是直线，则为非线性电感元件，如图所示。,如不加声明，电感都系指线性时不变电感。当线圈周围的媒质为非铁磁物质时，即为线性时不变电感。,96,5-5 电感元件,3、电感元件特点（1）双向性 韦安特性是以原点对称，因此与端钮接法无关。（2）动态性 若电感的电流i随时间变化，也随之变化，因而在它的两端将产生感应电压u。由电磁感应定律可知：u（t）=d（t）/dt=Ldi（t）/dt。,97,5-5 电感元件,此式说明，线性电感的电压取决于该时刻电流的变化率，而与该时刻的电流值无关，这反映了电感的动态性。若电感电流不随时间变化，则电压为零，电感相当于一根无电阻的短接导线。,98,5-5 电感元件,（3

32、）记忆性 电感在t时刻的电流与以前所有的电压都有关，因此，电感电流具有记忆电感电压的性质。（4）储能性 电感是无源元件，也是储能元件。,99,5-5 电感元件,4、电感器 实际电感器与电感元件不同，除了具有电感元件的储能性质外，还有一些能量消耗现象。因此，电感器的模型，还应包括电阻元件、分布电容等，如图所示为其中的两种。,100,5-5 电感元件,除了电感量外，电感器的重要参数是额定工作电流，超过额定电流会导致电感线圈过热或使线圈受到过大电磁力的作用而发生机械变形，甚至烧毁线圈。,101,5-5 电感元件,电感器种类繁多，包括有：绕线电感、非绕线电感（多层片状、印刷电感等）等。,为了使每单位电

33、流产生的磁场增加，常在线圈中加入铁磁物质，其结果可以使同样电流产生的磁链大幅增加，但磁通链与电流i的比值不等于常量，即-i关系变为非线性的。,102,5-5 电感元件,电感效应：电感器是为了获得一定大小的电感特意制成的。理论上，只要导线中有电流就会有磁场，因此就有电感效应存在。例如：元件的管脚、连线、线圈等。,103,5-5 电感元件,本节要点：（1）电感的概念；（2）电感的定义；（3）电感的特性；（4）电感器。,104,第六节电感的VCR,第五章 电容元件与电感元件,105,5-6 电感的VCR,虽然电感是根据-i关系来定义的，但在电路分析中，感兴趣的往往是元件的VCR。本节将分别从磁通链变

34、化的角度和磁通链积累的角度来描述电感的VCR。,106,5-6 电感的VCR,1、电感（元件）VCR形式一 当通过电感的电流发生变化，磁链也相应地发生变化，根据电磁感应定律，电感两端出现（感应）电压。当通过电感的电流不变时，磁链也不发生变化，这时虽有电流但没有电压。,107,5-6 电感的VCR,根据电磁感应定律，感应电压等于磁链的变化。当电压的参考方向与磁链的参考方向符合右手螺旋法则时，可得：u=d/dt,108,5-6 电感的VCR,若电流与磁链的参考方向符合右手螺旋法则时，,有：,u、i 应为关联参考方向，即电流与电压参考方向一致。,注意：若u与i的参考方向不一致，则：,109,5-6

35、电感的VCR,此为电感（元件）的VCR之一，以i表示u。由上式可知：在某一时刻电感的电压取决于该时刻电感电流的变化率，所以电感元件称为动态元件。,110,5-6 电感的VCR,因此有：电感电流不变，则电压为零，此为电感元件对直流的短路效应。电感电流变化，则电压不为零，电流变化越快，电压就越大。这和电阻、电容元件完全不同：电阻是有电压就一定有电流；电容是电压有变化才有电流；电感是电流有变化才有电压。,111,5-6 电感的VCR,2、电感（元件）VCR形式二也可以把电感的电流i表示为电压u的函数。,上式表明：某时刻t的电感电流与从-到该时刻所有电压有关电感电流的记忆性质。实际上要搞清楚电容电流的

36、全部历史是不容易的也是不必要的。,112,5-6 电感的VCR,设初始时刻为t0，更实用的形式：,如果只需了解在某一任意选定的初始时刻t0以后电感电流的情况，则：,i（t0）累计了t0以前所有时刻u的作用，称为电感的初始电流。,即：,注意：可以认定在t=-时，(-)=0，i(-)=0。,113,5-6 电感的VCR,上式表明，在某一时刻t电感电流i(t)的数值并不取决于该时刻的电压值，而取决于从-到t所有时刻的电压值，也就是说与电压u(t)全部过去历史有关。,114,5-6 电感的VCR,因此，没有必要去考虑t0以前电压的情况，t0以前全部历史情况对未来（tt0时）产生的影响，可以用i(t0)

37、，即电感的初始电流来反映。也就是说，如果知道了由初始时刻t0开始作用的电压u(t)以及电感的初始电流i(t0)，就能确定tt0时的电感电流i(t)。,115,5-6 电感的VCR,3、电感电流的连续性质（1）由电感VCR形式说明 由于：u=L(di/dt)，可以看出，若某一时刻电压是有限值，则其电流变化率di/dt也必然是有限的。这说明该时刻电感电流只能连续变化而不能发生跳变（或跃变）；反之，若某一时刻电流发生跳变，则意味着该时刻电感电压是无穷大的。,116,5-6 电感的VCR,若电感与理想电流源接通的瞬间，由KVL的约束可知，电感电流跃变为电流源的电流值，此时电路中电感电压为无穷大。若电流

38、不为零的电感电路突然开路，同样电感电流跃变为零值，此时电路中电感电压也为无穷大。,在实际电路中电流不可、也不会出现无穷大。所以，电容器两端电压是不能跳变的。,这只是一种理想情况，在实际中是不存在的。,iC,117,5-6 电感的VCR,（2）由电感VCR形式二说明,可以看出，若某一时刻电压u发生跳变，但仍是有限值，则其电流i也必然是有限的。这再次说明该时刻电感电流只能连续变化而不能发生跳变（或跃变）。,但要注意前提是电感电压是有界的前提，若无界则不能运用。,118,5-6 电感的VCR,设初始时刻为t0，更实用的形式：,4、记忆性质 实际上，由电感VCR形式二可知：,119,5-6 电感的VC

39、R,某一时刻的电感电流取决于在此之前电压的全部历史，因此，可以说电感电流有“记忆”电流的性质。电感也是一种记忆元件。在含有电感的动态电路分析问题中，这是一个十分重要的概念，因而电感的初始电流是一个解题时必须具备的条件。,120,5-6 电感的VCR,5、电感的等效电路 设i(t0)=I0，则tt0时电感电流可写为：,一个具有初始电流的电感，若已知i(t0)=I0，则在tt0时，可等效为一个初始电流为零的电感与电流源的并联电路。,121,5-6 电感的VCR,设i(t0)=I0，如图所示。tt0时电感的等效电路为：,电流源的电流值即为t0时电感的电流I0，电感I0称为tt0时电感电流的初始状态。

40、,122,5-6 电感的VCR,6、电感的储能 关联方向时电感消耗功率：p=u(t)i(t)，与电容功率一样，有时为正，有时为负。,正值表示电感吸收功率，并储存在磁场中；而负值表示释放功率，即将吸收的功率退还给电源或电路的其他部分。这与电阻功率总是正值是不同的，电阻总是消耗功率。电感元件不消耗功率。,123,5-6 电感的VCR,电感的功率为：p=dwL/dt，因而电感的能量wL应为功率对时间t的积分。,124,5-6 电感的VCR,从t=-到t时刻，电感元件吸收的能量为：,125,5-6 电感的VCR,上式表明，电感储能不能为负，这表明电感是一个无源器件。,可以认定在t=-时，i(-)=0，

41、其磁场能量也为零。这样，电感元件在任何时刻t的储能为：,126,5-6 电感的VCR,电感L在某一时刻t的储能只与该时刻的电流有关，即：,电感电流反映了电感的储能状态。电感也属于无源元件，因为它不会释放出多余它吸收或储存的能量。电感电流的连续性质和记忆性质正是电感储能本质的表现。,127,5-6 电感的VCR,某一时刻t 的电感电流反映同时刻储能状况，电感电流的连续性和记忆性均来自电感的储能本性。归纳：（1）电感电流是不可以跳变的；（2）电感能量也是不能跳变的；（3）电感电压是可以跳变；（4）电感功率也是可以跳变的。,128,5-6 电感的VCR,本节要点：（1）电感VCR的两种形式；（2）电

42、感的连续性质；（3）电感的记忆性质；（4）电感的储能性质。,129,第七节电容与电感的对偶性状态变量,第五章 电容元件与电感元件,130,5-7 电容与电感的对偶性（duality）,1、对偶性 比较电容和电感的定义：,可以发现，把电容的定义表达式中的q换成，u换成i，C换成L，就可以得到电感的VCR；反之，通过类似的变换，也可以从电感的定义表达式得到电容的定义表达式。,因此，电荷和磁链也是一一对偶量。,131,5-7 电容与电感的对偶性（duality）,比较电容和电感的VCR：,可以发现，把电容的VCR式中的i换成u，u换成i，C换成L，就可以得到电感的VCR；反之，通过类似的变换，也可以

43、从电感的VCR得到电容的VCR。,同样，电容与电感是一一对偶量。,132,5-7 电容与电感的对偶性（duality）,根据对偶性，不难得出，电感电流具有连续性质和记忆性质。即电流电感不能跃变，电感元件也是一种记忆元件。,133,5-7 电容与电感的对偶性（duality）,对偶关系,134,5-7 电容与电感的对偶性（duality）,2、状态变量“状态”是系统理论中的一个基本概念，在电路理论中，状态是指在某些给定时刻电路必须具备的最少信息，它们和从该时刻开始的任意输入一起就足以完全确定今后该电路在任何时刻的性状。换句话说，状态变量是指一组最少的变量，若已知它们在t0时的数值（初始状态），则

44、连同所有在tt0时的输入就能确定在tt0时电路中的任何电路变量。,135,5-7 电容与电感的对偶性（duality）,在动态电路的电压、电流变量中，电容电压uC(t)和电感电流iL(t)占有特殊的地位，它们是电路的状态变量。对状态变量列出的一阶微分方程称为状态方程。,136,5-7 电容与电感的对偶性（duality）,对于不太复杂的电路，可以用直观的方法来写出其状态方程，但若电路比较复杂，则必须借助网络理论的知识，用系统的编写方法编写状态方程。一般来说：（1）状态变量的个数等于独立储能元件的个数；（2）一般选uC和iL为状态变量；（3）对单电容节点（割集）列写出KCL方程；（4）对单电感回

45、路列写出KVL方程。,137,5-7 电容与电感的对偶性（duality）,本节要点：（1）对偶性；（2）状态变量。,138,第五章 电容元件与电感元件,第五章 小结与习题课,139,第五章 小结与习题课,本章小节：（1）电容、电感的概念；（2）电容、电感的定义；（3）电容、电感的特性；（4）电容、电感的对偶；（5）电容、电感的状态变量；,140,第五章 小结与习题课,习题1,已知u(0)=4V，则该电容t0时的VCR为：,141,第五章 小结与习题课,解：此处u(0)的成因不详，也无需且不可能追究。其极性已如图中所示，其值为4V，已成定局。但t0时，i、u的参考方向为非关联的，故应选B项。,

46、t0的等效电路如图，代表初始电压源的极性、数值是已知的，与i无关。C部分的u1和i的参考方向是非关联的。,142,第五章 小结与习题课,习题2,已知2H电感的电流波形如图所示，试求电压波形。设u、i为关联参考方向。i波形图上 t=6s 时，i=3.5A。,143,第五章 小结与习题课,解：,利用：,分段作出波形图：,144,第五章 小结与习题课,习题3,与直流电源接通已久的电路如图所示。（1）试求每一电阻所消耗的功率；（2）电路所储存的能量；（3）每一电源所提供的功率，并校核电路的功率平衡关系。,145,第五章 小结与习题课,解（1）,电路在直流电源长久作用下，电感看作短路，电容看作开路，如图所示。,1电阻消耗的功率：,2电阻消耗的功率：,146,第五章 小结与习题课,电路总共储存能量为4J+8J=12J。该项能量是电源接入时，由电源提供的。在电源持续作用下，这能量始终储存在电路内，其值不变，故PL和PC均为零。,电感储存能量：,电容储存能量：,解（2）,147,第五章 小结与习题课,提供功率 8W+4W=12W消耗功率 6W+2W+4W=12W,功率平衡关系：,功率平衡。,解（3）,