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1、第8章 相量法,3.正弦量的相量表示,4.电路定理的相量形式,重点：,2.正弦量的表示、相位差,1.复数,8.1 复数,一.复数F表示形式：,F=a+jb,1、代数形式：,ReF=a,取复数F的实部和虚部用符号表示为：,取复数F的实部,ImF=b,取复数F的虚部,2、三角形式：,F=a+jb,=|F|（cos q+jsin q）,|F|为复数的模，为复数的幅角。,|F|,a=|F|cos q,b=|F|sin q,或：,3、指数形式：,欧拉公式,=|F|q,指数形式,F=|F|（cos q+jsin q）,4、极坐标形式：,二 复数运算,则 F1F2=(a1a2)+j(b1b2),(1)加减运
2、算代数形式,F1,F2,F1=a1+jb1,F2=a2+jb2,若,F1,F2,-F2,F=F1-F2,F=F1+F1,(2)乘除运算指数形式或极坐标形式,F1 F2,所以：,乘法：模相乘，角相加；,则,所以：,除法：模相除，角相减。,正弦电流电路,激励和响应均为正弦量的电路称为正弦电路或交流电路。,8.2 正弦量,1.正弦量,瞬时值表达式：,i(t)=Imcos(w t+y),波形：,周期T(period)和频率f(frequency):,频率f：每秒重复变化的次数。,周期T：重复变化一次所需的时间。,单位：Hz，赫(兹),单位：s，秒,正弦电流电路,激励和响应均为正弦量的电路（正弦稳态电路
3、）称为正弦电路或交流电路。,（1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重 要的地位。,研究正弦电路的意义：,1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分 运算后仍是同频率的正弦函数,优点：,2）正弦信号容易产生、传送和使用。,（2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。,对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。,幅值(amplitude)(振幅、最大值)Im,(2)角频率(angular frequency)w,2.正弦量的三要素,i,O,T,(3)初相位(initial phase angle)y,Im,2,t,单位：rad/s，弧
4、度/秒,反映正弦量变化幅度的大小。,相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。,反映正弦量的计时起点。,i(t)=Imcos(w t+y),同一个正弦量，计时起点（虚轴）不同，初相位不同。,一般规定：|。即主值,=0,=,=/2,例,已知正弦电流波形如图，103rad/s（1）写出i(t)表达式；（2）求最大值发生的时间t1,t1,解,由于最大值发生在计时起点之后,3.同频率正弦量的相位差(phase difference)。,设 u(t)=Umcos(w t+y u),i(t)=Imcos(w t+y i),则 相位差：j=(w t+y u)-(w t+y i)=y u-y i,j 0，u超前ij
5、 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)；,j 0，i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。,O,等于初相位之差,规定：|(180)。,j 0，同相：,j=(180o)，反相：,特殊相位关系：,=p/2：u 领先 i p/2,不说 u 落后 i 3p/2；i 落后 u p/2,不说 i 领先 u 3p/2。,同样可比较两个电压或两个电流的相位差。,4.周期性电流、电压的有效值,周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小工程上采用有效值来表示。,周期电流、电压有效值(effective value)定义,有效值也称均方根值(root-meen-sq
6、uare),物理意义,同样，可定义电压有效值：,正弦电流、电压的有效值,设 i(t)=Imcos(t+),同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：,若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；,U=380V，Um537V。,（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。,（2）测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。,（3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。,注,8.3 相量法的基础,1.问题的提出：,电路方程是微分方程：,两个正弦量的相加：如KC
7、L、KVL方程运算。,+,_,R,u,L,C,i,i1,i1+i2 i3,i2,角频率：有效值：初相位：,因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，,i3,正弦量,复数,实际是变换的思想,正弦量的相量表示,造一个复函数,对A(t)取实部：,对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数,A(t)包含了三要素：I、w，复常数包含了I,。,A(t)还可以写成,无物理意义,是一个正弦量 有物理意义,称 为正弦量 i(t)对应的相量。,相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位,同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：,已知,例1,试用相
8、量表示i,u.,解,相量在复平面的图称为相量图,例2,试写出电流的瞬时值表达式。,解,相量图,3.相量法的应用,(1)同频率正弦量的加减,故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。,可得其相量关系为：,2.正弦量的微分，积分运算,微分运算:,积分运算:,例,用相量运算：,相量法的优点：,（1）把时域问题变为复数问题；,（2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；,（3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；,注,正弦量,相量,时域,频域,相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。,相量法用来分析正弦稳态电路。,N线性,N线性,w1,w2,非线性,w,不适用,正弦波形图,相量图,8
9、.4 电路定理的相量形式,1.电阻元件VCR的相量形式,时域形式：,相量形式：,相量模型,有效值关系,相位关系,相量关系：,时域形式：,相量形式：,相量模型,相量关系：,2.电感元件VCR的相量形式,感抗的物理意义：,(1)表示限制电流的能力；,(2)感抗和频率成正比；,相量表达式:,XL=L=2fL，单位为(欧姆),感抗inductive reactance:,电压超前电流900,时域形式：,相量形式：,相量模型,相量关系：,3.电容元件VCR的相量形式,容抗(capacitive reactance):XC=1/w C单位为(欧姆),频率和容抗成反比,0，|XC|直流开路(隔直)w，|XC
10、|0 高频短路(旁路作用),相量表达式:,电流超前电压900,4.基尔霍夫定律的相量形式,同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：,上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。,例1,试判断下列表达式的正、误：,L,例1,解：,下 页,上 页,返回本节,已知图示电路各交流表的读数为A1为5A，A2为20A，A3为25A，求表A和A4的读数,下 页,上 页,返回本节,解：,设：,则：,所以A的读数为7.07A，A4读数为5A,例2,例3,A1,A2,A0,
11、Z1,Z2,已知电流表读数：,解,取电压相量为参考方向，令,解,解:,解,，,例4,解,A sinusoid is a signal that has the form of the sine or cosine function.,Basic circuit laws(Ohms and Kirchhoffs)apply to ac circuits in the same manner as they do for dc circuits.,正弦量是有正弦或余弦函数形式的信号。,电路的基本定律（欧姆定律和基尔霍夫定律）也适用于交流电路，其形式与直流电路中的基本定律一样。,The differ
12、ences between u(t)and should be emphasized:(1)u(t)is the instantaneous or time-domain representation,while is the frequency or phasor-domain representation.(2)u(t)is time dependent,while is not.(This fact is often forgotten by students.)(3)u(t)is always real with no complex term,while is generally complex.,注意以下几点u(t)与 的差别：(1)u(t)是瞬时或时域的表示，而 是频率或相量域的表示。(2)u(t)是与时间有关的，而 不与时间有关（这一点学生常常不注意）。(3)u(t)总是实数没有复数项，而 一般都为复数。,
