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1、第3章 线性电路的一般分析方法和基本定理,3.1 支路电流法3.2 网孔电流法3.3 节点电位法3.4 叠加定理3.5 代文宁定理3.6 最大功率传输定理小结,3.1 支路电流法,1.支路电流法(1)节点方程 根据KCL，可对四个节点列出四个KCL方程：,节点a:节点b:节点c:节点d:,(31）,图 3.1 复杂电路举例,(2)独立节点方程的概念(3)KVL方程,网孔：网孔：网孔：,综上所述，对以支路电流为待求量的任何线性电路，运用KCL和KVL总能列写出足够的独立方程，从而可求出各支路电流。2.支路电流法的一般步骤(1)在给定电路图中设定各支路电流的参考方向。(2)选择()个独立节点，写出
2、()个KCL方程。(3)选网孔为独立回路，并设定其绕行方向，列写出各网孔的KVL方程。(4)联立求解上述独立方程，得出各支路电流。,例 3.1 求图3.2所示电路中的各支路电流。解(1)假定各支路电流方向如图3.2中所示。(2)由于该电路只有两个节点，故只能列一个KCL独立方程，选节点b为参考点，则 节点a：I1+I2 I3=(3)按顺时针方向列出两个网孔的KVL独立方程 2I14I2=1510 4I2+12I3=10(4)联立求解上面三个方程，得 I1=1.5,I2=0.5,I3=1 其中I2为负值，说明假定方向与实际方向相反。(5)为验证所求正确与否，可选取一个未曾用过的回路列方程，把求得
3、的电流值代入方程中，若方程两边相等，说明所求值正确。取最大回路，则有,2I1+123=15 将I1和I3数值代入，得 左边=1.5+12=+12=15=右边 说明求出的值正确无误。,图 3.3 例3.2图,图 3.2 例3.1图,例 3.2 电路如图.所示,试用支路电流法列写出求解各支路电流所需的联立方程组。解设各支路电流和网孔绕向如图3.3所示，则独立节点方程只有一个，即,III=网孔方程有两个，即 网孔：RI+RIUS=网孔：RI2+(R+R4)IU=0 建立辅助方程，将控制量用支路电流表示，即 U=RI 将以上四个方程联立即为所求。,作业：P85页 3.1 3.2,.网孔电流法,1.网孔
4、电流法 由人们主观设想的在网孔中流动的电流称为网孔电流。如图.6()所示电路中的I、I、I，它们的参考方向是任意假定的。直接以设想的网孔电流为变量，对各网孔列写方程而对电路进行求解的方法称为网孔电流法。,图 3.6 网孔电流法,对照图3.6(a)和图3.6(b)中各网孔电流与各支路电流之间的关系，可以看出，所有支路电流都可以由网孔电流来表示，即,由此可见，只要能求出各网孔电流，就可进一步求出各支路电流。,（34）,（33）,2.几点说明(1)设想的网孔电流只是一种计算手段。(2)设想的网孔电流并不违背定律。(3)各网孔电流之间相互独立。3.孔电流法的规范说明网,这样式(3 3)可写成 4.网孔
5、电流法的一般步骤(1)确定网孔及设定各网孔电流的参考方向。(2)建立网孔方程组。(3)求解方程组，即可得出各网孔电流值。(4)设定各支路电流的参考方向，根据所求出的网孔电流即可 求出各支路电流。例 3.3 试求图3.7(a)电路中的电流I。,（35）,图 3.7 例3.3图,解()将原电路变换成图3.7(b)电路，则可减少一个网孔。设定各网孔电流方向如图3.7(b)中所示，则有,()将上述数值代入规范方程，则有,()联立求解,可得,3.3 节 点 电 位 法,1.节点电位法,节点1节点2节点3,为使方程中含有变量、和,则根据欧姆定律，可得,将式(3 8)代入式(3 7),并经整理后，得,（37
6、）,（38）,式(3 9)中各方程称为节点电位方程,从这个方程组解出节点电位值后,代入式(3 8),就可求出各支路电流。2.说明(1)节点电位方程实质上还是KCL方程。节点电位法只是求解支路电流的一种过渡手段，适用于节点少而网孔多的电路。(2)各独立节点电位之间相互独立。可作为电路分析的变量。3.节点电位法规范方程,（39）,4.节点电位法的一般步骤(1)选取参考节点。(2)建立节点电位方程组。(3)求解方程组，即可得出各节点电位值。(4)设定各支路电流的参考方向。例 3.8 求图3.18所示电路中的电流I。解(1)取节点4为参考点。(2)建立方程组,这样式(3 9)可写成,（310）,图 3
7、.18 例3.8图,故得节点方程为,结果与例3.3用网孔电流法所求完全相同，故也不必校核了。例 3.9 列出图3.19所示电路的节点电位方程并求解。,(3)联立求解，得,(4),图 3.19 例3.9图,解 因与2 A电流源串联的1电阻不会影响其它支路电流，故在列写节点方程时均不予考虑，选择参考点如图中所示，则 2=建立节点方程组 节点1：212=2 节点3：2+23=联立求解，得 1=2.5，=0.5 例3.10 试用节点电压法，求图3.20所示电路中的电流.。,图 3.20 例3.10图,解 该电路只有两个节点，用节点电位法最为简便，只须列一个独立节点方程，即,这个方程的普遍形式为,式(3
8、 12)称为弥尔曼定理，它实际上是节点电位法的一种特殊情况。在式(312)中，电压源的各项实际上是代数和。凡参考正极连接在独立节点上的，该项取“+”，反之取“”。将相关数值代入，解之，可得,例 311电路如图3.21所示，试求节点电位1。解 选定参考点如图中所示，注意和串联后的总电导应为。G11=+=S G22=+0.8=2.8 G12=21=IS11=IS22=16 将上述数据代入规范方程可得 12=1+2.82=16 辅助方程为=0.82,图 3.21 例3.11图,整理上述方程后，可得 1+1.42=1+1.42=联立求解，可得 1=V 例3.12 用节点电位法分析图3.22所示电路。解
9、 设参考点如图3.22中所示，由于受控电压源是理想CCVS，因此在列节点方程时，应先设定出其中的电流0，然后列写节 点方程及相关的辅助方程。,图 3.22 例3.12图,将上述数据代入规范方程，可得,辅助方程为,经整理，可得,联立求解，得,作业：P（8687）页3.13 3.14 3.16 3.17,3.4 叠加定理,1.叠加定理及其证明 2.应用叠加定理时应注意以下几点：(1)应用叠加定理时，应保持电路结构及元件参数不变。(2)在叠加时，必须注意各个响应分量是代数和。(3)用叠加定理分析含受控源的电路时，不能把受控源和独立源同样对待。(4)叠加定理只适用于求解线性电路中的电压和电流，而不能用
10、来计算电路的功率 3.齐次定理。即在线性电路中当全部激励(独立电压源或独立电流源)同时增大(或缩小)K倍(K为任意常 数)时，其响应也相应增大(或缩小)K倍。显然，当线性电路中只有一个激励时，根据齐次定理，响应与激励成正比。齐次定理对于应用较广泛的梯形电路的分析计算特别有效。,例 3.13 用叠加定理求图3.28(a)所示电路中的I1和U。解 因图中独立源数目较多，每一独立源单独作用一次，需要做 4次计算，比较麻烦。故可采用独立源“分组”作用的办法求解。(1)两个电压源同时作用时，可将两电流源开路，如图3.28(b)所示。依图3.28(b)，有,图 3.28 例3.13图,(2)两个电流源同时
11、作用时，可将两电压源短路。如图3.28(c)所示。由于2 A电流源单独作用时，3A电流源开路，使得中间回路断开，故I1仅由3A电流源决定。依图3.28(c)，有,所以,例 3.14 用叠加定理求图3.29(a)所示电路中的U和I。解(1)12 V电压源单独作用时的电路如图3.29(b)所示，根据 KVL，有,所以,(2)3A电流源单独作用时的电路如图3.29(c)所示，并可等效为图3.29(d)，于是，有,图 3.29 例3.14图,例 3.15 求图3.30所示电路中的各支路电流。解 本例题为一梯形电路，利用齐次定理求解比较方便。,即,所以,图 3.30 例3.15图,设,则,今已知U=12
12、9V，即电源电压增大了129/32.25倍，即K=129/32.25=，因此，各支路电流也相应增大倍。所以,本例计算是先从梯形电路距离电源最远的一端算起，倒退到电源处。通常把这种方法称为“倒退法”。可以先对某个响应设一便于计算的值，如本例设I5=1 A。依此计算出的结果，再按齐次定理予以修正。这对于计算梯形电路元件数目较多的情况尤显方便。,例3.16 数字计算机控制工业生产自动化系统中的数模变换梯形DAC解码网络如图3.31(a)所示。其中20、21、22分别与输入的二进制数的第一、二、三位相对应。当二进制数某位为“”时，对应的开关就接在电压US上；当二进制数某位为“”时，对应的开关就接地。图
13、中开关位置表明输入为“110”。从输出电压UO的数值就可得知输入二进制的对应代码。试说明其工作原理。解 其工作原理可用叠加定理来说明。(1)先设只有开关22接US，其它开关都接地，其电路如图3.31(b)所示，并可简化为图3.31(c)。显然可得,(2)当只有开关21接US，其它开关都接地时，其电路如图3.31(d)所示，并可化简为图3.31(e)，显然可得,其中 为图3.31(e)中b点与地之间的电压。,图 3.31 例3.16图,(3)当只有开关20接US，其它开关都接地时，其电路如图3.31(f)所示，并可简化为图3.31(g)，可得,其中 为图 3.31(g)中a与地之间的电压，为图3
14、.31(g)中b点与地之间的电压。,(4)因此，当三个开关全接US，即输入的二进制代码为“111”时，可得,若US=12V，则此时,这就是对应于二进制代码“111”的输入电压数值(模拟量)，若输入的二进制代码为“110”时，则,这就是对应于二进制代码“110”的输出电压数值(模拟量)。同理，依次对应于二进制代码101、100、011、010、001、000的输入电压数值(模拟量)为“5”、“4”、“3”、“”、“”、“0”。例 3.17 图.32电路中的线性无独立源网络，其内部结构不知 道。已知在US和IS共同作用时，实验数据为(1)U=1V，IS=1A，U=。(2)US=10V，IS=，UO
15、=1V。试求US=，IS=10时的U值。解 本例是应用叠加定理研究一个线性网络激励与响应关系的实 验方法。由于S和IS为两个独立的电源，根据叠加定理，o可 写成,代入两组数据,得,图 3.32 例3.17图,作业：P87页 3.21 3.22 3.24 3.25,代入两组数据,得,联立求解得,因此,时的Uo为,3.5 代文宁定理,1.二端网络的含义。2.代文宁定理。何一个线性有源二端网络N，如图3.38(a)所示，对外电路而言，总可以用一个电压源等效代替。如图3.38(b)所示。其中电压源的电压等于有源二端网络的开路电压Uo。如图3.38(c)所示，其内阻R0等于网络N中所有独立源均为零值时所
16、得无源二端网络N的等效内阻Rab,如图3.38(d)所示。该电压源和电阻串联的支路称为代文宁等效电路。,图 3.38 代文宁定理,3.等效电阻在不能用电阻串、并联公式计算时，可用下列两种 方法求得：(1)外加电压法：使网络N中所有独立源均为零值(注意受控源不能作同样处理)，得一个无源二端网络N，然后在N两端钮上施加电压U，如图3.39所示，计算端钮上的电流I，则(2)短路电流法：分别求出有源网络N的开路电压Uo和短路电流 ISC(注意：此时有源网络N内所有独立源和受控源均保留不变)。由图 3.40(b)可见,图 3.39 用外加电压法求R0 图 3.40 用短路电流法求R0,应当注意：当Uo=
17、ISC=0时，此法即失效。,由此可得,例3.18 用代文宁定理求图3.41(a)电路中I、U。,图 3.41 例3.18图,解 根据代文宁定理，将R支路以外的其余部分所构成的二端网络，用一个电压源Uo和电阻R0相串联去等效代替。(1)求Uo：将R支路断开，如图3.41(b)所示。用叠加定理可求得,(2)求R0：将两个独立源变为零值，即将2V电压源短路，而将1A电流源开路，如图3.41(c)所示。可求得,(3)根据所求得的Uo和R0，可作出代文宁等效电路，接上R支路如图3.41(d)所示，即可求得,例3.19 试用代文宁定理求图3.42(a)所示电路中流过4电阻的电流。解 该题如果只用一次代文宁
18、定理，直接求出4 电阻支路以左的等效电压源，则计算开路电压将会很麻烦。为此，可以逐次应用代文宁定理。先求图3.42(a)中ab以左的代文宁等效电路，于是有,图 3.42 例3.19图,这样可得到图3.42(b)。在图3.42(b)中，再求cd以左的代文宁等效电路，于是有,这样可得到图3.42(c)。在图3.42(c)中，再求ef以左的代文宁等效电路，于是有,最后得图3.42(d)。由此可求得,例 3.20 用代文宁定理求图3.43(a)中的电流I。解 先将9支路断开，并将CCCS变换成CCVS，如图3.43(b)所示。,即,所以,图 3.43 例3.20图,(2)求短路电流ISC，由图3.43
19、(c)，用节点电位法可得,所以,则,(3)由所求Uo和ISC求R0,(4)等效电压源电路如图3.43(d)所示，于是得,例3.21 求图3.44(a)所示的代文宁等效电路。解()由图.44(a),依KVL,可得,可解得Uo=,()求R0，先用短路法。将图.44()中的、端短路，并设短路电流为ISC，如图.44()所示。由图3.44(b)可知,I1=，从而CCVC也为零，即 20I1=这样图3.44()可等效为图3.44()，于是可求得,所以,()再用外加电压法求R0。将图3.44(a)中的电压源短路，并在、间加电压源，如图3.44()所示，由图3.44(d)可得,依,所以,(4)由计算结果可画
20、出代文宁等效电路如图3.44(e)所示,例 3.22 试证明图3.45(a)所示电路的等效电路为图3.45(b)所示。,图 3.45 例3.22图,图 3.44 例3.21图,解(1)原图可等效为图3.45(c)，依图3.45(c)，有,既,(2)用外加电压法求R。将2 V电压源短路，外加电压U1，如图3.45(d)所示，依图3.45(d)，有,既,则,作业：P（8889）页 3.27 3.29 3.31 3.32,3.6 最大功率传输定理,1.最大功率传输定理,图 3.50最大功率传输定理,负载电阻上的功率为,当R变化时，负载上要得到最大功率必须满足的条件为,（314）,用图3.50(b)所
21、示的电路，同样可以在ISC和R0为定值的前提下，推得当R=R0时，负载上得到的功率为最大，其最大功率为,故,解得 R=R0,即当R=R0时，负载上得到的功率最大。将R=R0代入式(3 14)即可得最大功率为,（315）,（316）,用实际的电压源或电流源向负载供电，只有当负载电阻等于电源内阻时，负载上才能获得最大功率，其最大功率为Pmax=U2o/（4R0）(对于电压源)或Pmax=R0ISC/4(对于电流源)。此结论称为最大功率传输定理。,2.匹配概念与正确理解最大功率传输定理 通常把负载电阻等于电源内阻时的电路工作状态称为匹配状态。应当注意的是，不要把最大功率传输定理理解为：要使负载功率最
22、大，应使实际电源的等效内阻0等于L。必须指出：由于0为定值，要使负载获得最大功率，必须调节负载电阻L(而不是调节0)才能使电路处于匹配工作状态。例 3.23 在图3.51(a)所示电路中，若已知：当R5=时，I5=20；当R5=2时，I5=50，问R5为何值时，它消耗的功率最大?此时最大功率为多少?解 根据代文宁定理，可将5支路以外的其余部分所构成的有源,图 3.51 例3.23图,二端网络用一个电压源Uo和电阻R0相串联去等效代替，如图3.51(b)所示，则有,依题条件可列方程组,联立求解，得,根据最大功率传输定理可知，当5=R0=2 时，5可获得最大功率，为,例 3.24 求图3.52(a
23、)所示含受控源二端网络向外电路所能提供的最大功率Pmax。,图 3.52 例3.24图,解(1)根据图3.52(b)，用网孔电流法求开路电压Uo，所列方程组为,联立求解，得,(2)根据图3.52(c)，用网孔电流法求短路电流ISC。方程组为,()根据Uo和SC求R0,联立求解，可得,()代文宁等效电路如图3.52(d)所示。根据最大功率传输定理可知，电路向外电路所能提供的最大功率为,例 3.25 求图3.53(a)所示电路中RL为何值时能取得最大功率，该最大功率是多少?,图 3.53 例3.25图,解()断开L支路用叠加定理求Uo。16电压源单独作用时，如图3.53(b)所示，根据分压关系，有
24、,电流源单独作用时，如图3.53(c)所示，根据分流关系，有,所以,()求R0，将16V电压源和1电流源均变为零，如图3.53(d)所示，可得,()根据求出的Uo和R0做出代文宁等效电路，并接上L，如图3.53(e)所示，根据最大功率传输定理可知，当,作业：P（8990）3.35 3.36 3.38,时，可获得最大功率，这时，L吸收的功率为,小 结,(1)以支路电流作变量列写独立节点的KCL方程，再补充和网孔个数相同的KVL方程(变量仍是支路电流)，联立后足以解出全部支路电流，这就是支路电流法。此法优点是直观，所求就是支路电流，且可用电流表进行测量。缺点是当支路多，变量多，求解过程麻烦，不宜于
25、手工计算。(2)以假想网孔电流作变量列写和网孔个数相同的KVL方程，联立求解求出网孔电流，进而通过网孔电流与支路电流的关系再求出支路电流，或者期望再求出其它电路变量，这就是网孔电流法。对于含有理想电流源，在不能将其转移成某个网孔电流时，可采取设其两端电压，来增加变量，进而 增加方程。对于含有受控源的电路，其分析方法和步骤与只含独立源电路的分析完全相同，只是要将受控变量用待求的网孔电流变量表示作为辅助方程。此法优点：同一电路所需方程数目较支路电流法少，列写方程的规律易于掌握。缺点是不直观，有的网孔电流不能用电流表测试。,(3)以独立节点的电位作为变量依KCL(连同欧姆定律)列写节点电位方程，求解
26、出节点电位，进而求得各支路电流或欲求的其它电路变量，这就是节点电位法。此法优点是所需方程个数少于支路电流法，特别是节点少而支路多的电路用此法尤显方便，列写方程的规律易于掌握。缺点是对于一般给出的电阻参数、电压源形式的电路求解方程工作量较大。(4)叠加定理是线性电路叠加特性的概括表征，其重要性不仅在于用此法分析电路本身，而且在于它为线性电路的定性分析和一些具体计算方法提供了理论依据。(5)代文宁定理是等效变换法分析电路最常用的定理，它表明任何一个有源二端网络总可以用一个极其简单的等效电路去代替。解题三步骤：即求开路电压求等效内阻画出等效电路接上待求支路，最终根据最简单电路求待求量。对于含有受控源的电路，在计算等效电压源时，要注意控制量随二端网络对外端口的开路应作相应的变化(短路、开路、改变方向或极性)；在求等效内阻时，只能用外加电压法或短路电流法。,(6)最大功率传输定理阐明了在通信技术中，变换的负载为获得最大功率而应当满足的条件，即RL=R0。此最大功率为U2o/4R0或1/4R0I2SC。,
