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1、,大家好,前面要点回顾:（一）,X YZ,ababa b,实长,直角三角形法的四要素：实长、倾角、投影长、坐标差,充分理解空间相互垂直的两直线的投影特征，熟练掌握并能灵活运用直角投影定理。,前面要点回顾:（二）,不垂直,对V 面的最大斜度线,对H 面的最大斜度线,（d）,平面上作水平线平面上作对H面的最大斜度线平面的,上讲要点回顾,熟练掌握平面的空间七种位置及其投影特征。充分理解平面的迹线概念，了解平面的迹线作法。熟练掌握平面上的各种直线的概念、求法。有关最大斜度线的问题为上讲的难点。,水平面、正平面、侧平面，铅垂面、正垂面、侧垂面、一般面,PV、PH分别是平面上的两条特殊线，求迹线的方法同求
2、迹点,平面上作正平线、水平线，平面上作最大斜度线的方法，以最大斜度线求平面倾角的方法，如何完成各种平面的投影是有关最大斜度线的灵活应用,平面上作正平线平面上作对V面的最大斜度线平面的,平面上作侧平线平面上作对W 面的最大斜度线平面的,特殊位置平面的迹线表示法,UH,UV,PV,QH,RV,SH,TV,TH,正垂面P,正平面Q,水平面R,铅垂面S,侧垂面U,侧平面T,特殊平面的迹线表示,PV,PW,PH,PW,PV,PH,不补画W投影，只利用V、H投影区分一般位置平面与侧垂面。,一般位置平面,侧垂面,侧垂面,平面中存在一条侧垂线,d,d,一般位置平面,习题讲评:4-3 包含已知直线AB作平面P(
3、用迹线表示)。,(a)PH,(b)PH,b30,a,(b),b,a,a,b,b,a,(b),(a),PV,30,30,PH,PH,14页,p,p,a,b,c,b,a,c,15页,习题讲评,习题讲评:求作属于ABC与投影面H、V等距离点的轨迹。,与投影面H、V等距离点的轨迹为V、H的角平分面,习题讲评:求作属于ABC与投影面H、V等距离点的轨迹。,利用关于轴对称,c0,b0,a0,a,b,b,a,a,4-11 已知AB为平面P对V面的最大斜度线,求作该平面的投影和对H面的倾角a。,16页,习题讲评,a,b,b,a,c,c,60,4-12 已知ABC对H面的倾角a60,试完成其V面投影。,16页,
4、习题讲评,c,30,a,a,b,c,复习题:含AB作平面，使其=30,分析：要使所作平面上的正平线与其对V面的最大斜度线是一对垂直相交的直线（运用直角投影定律）。,投影作图步骤 以直角边YB-YA(实际上是最大斜度线BC的Y坐标差)、=30作直角三角形，获得对V面的最大斜度线(BC)的V投影长。以b为圆心，上述投影长为半径画圆。过a向此圆作切线(与半径构成直角），获切点C的V、H投影。连接AC、BC，完成作图。,b,设定正平线AC的水平投影位置,最大斜度线BC的Y,最大斜度线BC的bc,难题!,第一学期教学安排(48学时、4学时/周,共12周),第一、二次讲课内容：绪论制图基础、投影基本知识、
5、第三次讲课内容：点、直线（1）第四次讲课内容：直线(2)（直角三角形法、两直线的相对位置、直角投影定律）第五次讲课内容：平面（特殊、一般面）、平面上的点和直线、最大斜度线第六次讲课内容：直线与平面、平面与平面（1.平行问题 2.相交问题）第七次讲课内容：直线与平面、平面与平面的相对问题（4.综合情况）第八次讲课内容：平面立体的投影及表面取点、立体截交线（1）第九次讲课内容：立体截交线（2）、两平面立体的相贯线（1）、同坡屋面 的交线第十次讲课内容：曲面立体的表面取点及截交线（1）第十一次讲课内容：曲面立体的截交线（2）、轴测投影（1）第十二次讲课内容:轴测投影（2）、复习第十九周:考试,第五讲
6、 直线与平面、平面与平面的相对位置,基本要求,5-1 直线与平面、平面与平面平行,5-2 直线与平面、平面与平面相交,基本要求,关于直线与平面、平面与平面的相对位置关系1.平行问题 熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。2.相交问题 熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面 的投影具有积 聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法。掌握利用重影点判别投影可见性的方,一直线与平面平行几何条件：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与
7、该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；作平面与已知直线平行。二平面与平面平行几何条件：若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。三.两面平行的作图问题有:判别两已知平面是否相互平行；过一点或直线作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的投影。,5-1 直线与平面平行、平 面与平面平行,一、直线与平面平行,若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行,P,C,D,例题1 试判断直线AB是否平行于定平面,结论：直线AB 不平行于定平面
8、,直线MN 平行于定平面P,例题2 试过点K作水平线AB平行于CDE平面。,二、两平面平行,若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行,例题3 试判断两平面是否平行。,结论：两平面平行,例题3 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。,例题3 试判断两平面是否平行。,结论：两平面平行,两平面的同名迹线相互平行，两平面相互平行,习题讲评:求作属于ABC与投影面H、V等距离点的轨迹。,过D作直线DE和ABC平行，且使DE线上所有点与投影面H、V等距。,直线与平面、平面与平面平行小结,不必作辅助线直线与特殊位置平面平行 无论是作直线平行于
9、平面，或是作平面平行于直线，或者是判断二者是否平行，只需保证平面的积聚投影与直线的同面投影平行即可。两特殊位置平面平行 无论是作平面平行于平面，或者是判断二者是否平行，只需两平面的同面积聚投影平行即可。同名迹线相互平行，两平面平行 需要作辅助线一般位置直线与平面平行 须保证一般位置直线与平面内一条直线平行。两一般位置非迹线平面平行 须保证两平面内有两条相交直线对应平行。,5-2 直线与平面、平面与平面相交,直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共有线。求线面交点、面面交线的实质是求共
10、有点、共有线的投影。同时，交点与交线又是可见与不可见部分的分界点和分界线。所以，相交的主要问题是求交点、交线和判别可见性。一、直线与平面相交的特殊情况1、一般位置直线与垂直面相交2、垂直线与一般位置平面相交二、一般位置平面与特殊位置平面(垂直面)相交三、直线与一般位置平面相交四、两一般位置平面相交,直线与平面相交,P,直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。交点的特性：交点总是可见，而且是可见与不可见的分界点。,平面与平面相交,两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有。交线的特性：交线总是可见的，是可见与不可见的分界线。,一、直线与平面相交的特殊情况,线面相交的特殊情况，指其
11、交点的投影可利用直线或平面的积聚性投影直接求出。1 特殊位置平面与一般位置直线相交 交点的一个投影为平面积聚性投影与直线同面投影的交点，其余投影可在直线的相应投影上获得。利用平面的积聚性在直线上定点。2 投影面垂直线与一般位置平面相交 交点的一个投影与直线的积聚性投影重合，其余投影可利用平面上取点的方法在平面的相应投影上得到。利用直线的积聚性在平面上取点。注意直线可见性的判别,1 直线与特殊位置平面相交,利用特殊位置平面投影的积聚性，在直线上定点，直接求出交点。,判别直线的可见性,b,b,a,a,c,c,m,m,n,n,二者投影相互重叠处才需判别可见性。可见性判别的方法一般有两种：基本方法依然
12、是交叉二直线重影点的可见性判别。较简单的方法是利用平面的积聚性投影直接判别。如右图判别V投影的可见性，在H投影图中去比较交点K左侧直线和平面的前后，直线在平面之前，故V投影图中mk段可见，kn段与平面重叠部分则不可见。,2 投影面垂直线与一般位置平面相交,d,d,a,b,c,a,b,c,e,(,e,),可见性判别交叉二直线,观察积聚点与平面上某直线的相对位置,二、一般位置平面与特殊位置平面相交,求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某些投影具有积聚性，可利用前述一般位置直线与特殊位置平面求交点的方法，直接求出交线。注意平面可见性的判别,两平面图形投影重叠部分需判别可
13、见性。交线总可见。基本方法依然是交叉二直线重影点可见性的判别。较简单的方法是利用特殊位置平面的积聚性，如右图由H投影图得知fkm在特殊位置平面之后，故V投影图上mkf与abc重叠部分不可见，画虚线，f kln与 abc重叠部分可见，画实线。,一般位置平面与特殊位置平面相交,A,一般位置线面相交由于直线和平面的投影都没有积聚性，求交点时无积聚性投影可以利用，因此通常要采用辅助平面法求一般位置线面的交点。一般位置线、面相交求交点的步骤：（l）含已知直线作特殊位置的辅助平面；（2）求辅助平面与已知平面的交线；（3）求交线与已知直线的交点，交点即为所求。以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图以铅垂面为辅
14、助平面求线面交点 示意图判别可见性 示意图,三、直线与一般位置平面相交,求平面ABC与直线EF的交点。,一般位置线面没有积聚性,怎样求交点？,通过作辅助平面的方法求交点的空间分析。,辅助平面为投影面垂直面（创造积聚性）,2,以铅垂面为辅助平面求线面交点。,PH,投影作图步骤：1、过EF作铅垂平面P。,2、求P平面与ABC的交线。,3、求交线与EF的交点K。,1,过MN作平面Q垂直于V投影面,以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图,V,PV,1,2,以正垂面为辅助平面求线面交点,QV,步骤：1、过EF作正垂平面Q。,2、求Q平面与ABC的交线。,3、求交线与EF的交点K。,直线FE与平面 ABC相
15、交，判别可见性。,观察判别可见性 V、H投影编号顺序相同者（均顺时针或均逆时针）为上行平面，V、H可见性相同。相反者（一顺一逆）为下行平面，V、H可见性相反。比较直线、边的相对位置及上下行平面判别可见性。如图由H投影图知交点右ke段直线在ac边之前，故V投影图ke段直线可见，画实线。过k后重叠部分不可见，画虚线。ABC是下行平面，V、H投影图的可见性相反，直接判别H投影图的可见性，ke重叠部分不可见，画虚线。过交点k后直线可见，画实线。,f,e,e,f,四、两一般位置平面相交,求两一般位置平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线
16、即为两平面的交线。1、线面交点法两一般位置平面相交求交线 示意图判别可见性2、三面共点法即辅助平面法,两一般位置平面相交,利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。,互交,全交,K,求两一般位置平面交线的作图步骤：1、用直线与平面求交点的方法求出两平面的两个共有点K、E。（尽量不选投影不重叠的边，尽可能选各投影均重叠较多的边）,求两平面的交线,2、连接两个共有点，画出交线KE。,一般不选AB、BC、NL,若选AC、BC,n,若选了交点在图形之外的边,利用重影点判别可见性,两平面相交，判别可见性,(),(),利用重影点判别可见性,两平面相交，判别可见性,(),()
17、,两平面相交，判别可见性(续),(),利用直线与上下行平面相交可见性的特点可简化判别。如图已用重影点可见性的判别确定了V投影中kn可见，H投影图中kn也可见。,k,e,k,e,两平面相交，判别可见性(续),(),利用直线与上下行平面相交可见性的特点可简化判别。如图已用重影点可见性的判别确定了V投影中kn可见，H投影图中kn也可见。,k,e,k,e,求两平面的交线,k,e,e,利用重影点判别可见性,b,c,a,a,b,c,l,l,n,m,m,n,g,g,k,k,e,e,利用重影点判别可见性,b,c,a,a,b,c,l,l,n,m,m,n,g,g,k,k,e,e,利用重影点判别可见性,2、三面共点
18、法（辅助平面法）求交线 适用于两平面图形投影不重叠，常选投影面平行面作辅助平面（注意同一平面的水平线相互平行，同一平面的正平线相互平行）,例题6 试过K点作一直线平行于已知平面ABC，并与直线EF相交。,分析:过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。,作图步骤(一),PV,1,2,1、过点K作平面KMN/ABC平面。,2、过直线EF作正垂平面P。,3、求平面P与平面KMN的交线。,4、求交线 与EF的交点H。,5、连接KH，KH即为所求。,n,作图步骤(二),1、连KEF平面。,2、过F作水平面P，过A作水平面Q。,3、分别求平面P与平面ABC和KEF
19、的交线，并求两交线交点M；分别求平面Q与平面ABC和KEF的交线，并求两交线交点N；,4、过K作KL平行于交线MN，交EF于L。,2,2,1,1,m,n,m,例题7:设自点S发射枪弹同时命中绳索AB、CD，求弹道轨迹和命中点的投影。,a,b,s,a,b,c,d,s,d,c,PH,分析 过S与AB相交的直线的轨迹是平面SAB。同理，过S与CD相交的直线的轨迹是平面SCD。故过S与交叉二线AB、CD均相交的直线是两平面SAB、SCD的交线。,投影作图步骤连接SA、SB 成 SBC。求CD与SBC的交点L。连接SL并延长与AB交于点K。,l,k,k,l,本讲重、难点,（一）平行问题 1 熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；2 熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。（二）相交问题 1 熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。2 熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法。（难点）3 掌握利用重影点判别投影可见性的方法。,习题,P,P,预习：1.平面立体的投影 2.平面立体的表面取点 3.平面与平面立体相交(截交线的求解)4.平面立体与平面立体相交（相贯线的求解）,本讲结束,本讲结束,
