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1、抛物线的简单几何性质(2),2023年11月16日星期四,一、复习回顾：,1.直线与圆的位置关系：,2.直线与椭圆的位置关系：,1、相离；2、相切；3、相交,3.直线与圆、椭圆的位置关系的判断方法：,（1）、根据几何图形判断的直接判断,（2）、直线与圆锥曲线的公共点的个数,形,这节课的任务：,问题1：直线与抛物线位置关系有哪些？,问题：如何判断直线与抛物线位置关系？,问题：直线与抛物线位置关系应用相交（弦长问题）,F,x,y,问题1：直线与抛物线位置关系有哪些？,二、讲授新课：,1、相离；2、相切；3、相交（一个交点,两个交点）,1、判断下列直线和抛物线C：y24x的位置关系：,（4）直线y=
2、x,（1）直线y=x+2,（2）直线y=x+1,（3）直线y=2,问题：如何判断直线与抛物线位置关系？,直线与抛物线相离，无交点。,直线与抛物线相切，切于一点。,直线与抛物线的对称轴平行，相交于一点。,直线与抛物线的对称轴不平行，相交于两点。,从图像还是从方程角度判断？,把直线方程代入抛物线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与抛物线的对称轴平行,相交（一个交点）,计 算 判 别 式,问题：如何判断直线与抛物线位置关系？,从方程角度判断：,问题：直线与抛物线位置关系应用相交（弦长问题）,法一：联立直线方程与曲线方程，求A,B的坐标,法二：联立直线方程与曲线方程，用弦长公式求解,解法二
3、:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1,解法三:由题意可知,法三：焦点弦长公式 求解,变式1 过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且AB的长为9.求该抛物线的方程；,变式2 顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2xy40所得弦长为3，求抛物线方程.,X=3,A(x1,y1),(1)|AB|x1+x2+p,(2)x1x2=,y1y2=-p2,思考：设AB是抛物线y2=2px(p0)过焦点F的一条弦。设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),过A,B,M分别向抛物线的
4、准线作垂线，垂足为A1,B1,M1,则,(5)以AB为直径的圆与准线相切,AM1B=Rt,A1FB1=Rt,课堂小结,问题1：直线与抛物线位置关系有哪些？,问题：如何判断直线与抛物线位置关系？,问题：直线与抛物线位置关系应用相交（弦长问题）,1、相离；2、相切；3、相交（一个交点,两个交点）,从方程角度判断：,1：联立直线方程与曲线方程，用弦长公式求解,2:焦点弦长公式,例4、已知抛物线C：y24x，设直线与抛物线两交点为A、B，且线段AB中点为M（2，1），求直线l的方程.,说明：中点弦问题的解决方法：联立直线方程与曲线方程求解点差法,问题：直线与抛物线位置关系应用相交（中点弦问题）,例2.
5、求抛物线 上一点到直线x-2y+4=0的距离最小值及该点坐标.,问题：直线与抛物线位置关系应用相切,变式2:已知实数x、y满足方程y2=4x,求函数 的最值,提示：本题转化为过定点(-2,1)的直线与抛物线有公共点时斜率的最值问题.,变式3:点(x,y)在抛物线y2=4x上运动,求函数z=x-y的最值.,提示：本题转化为直线y=x-z与抛物线有公共点时z的最值问题.,无最大值,小结：解决与抛物线有关的最值问题常见思路：1.形：转化为直线与抛物线有公共点时的最值问题.2.数：函数的思想,1、求过定点（0，2），且与抛物线y24x相切的直线方程.,说明：（1）联立方程组，结合判别式求解（2）注意斜
6、率不存在的情形,练习：,1、在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离.,2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值.,F,A,B,M,解：,解法二：,F,A,B,M,2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值.,3、已知抛物线y2=2x,过Q(2,1)作直线与抛物线交于A、B，求AB中点的轨迹方程.,解：,A(x1,y1),(1)|AB|x1+x2+p,(2)x1x2=,y1y2=-p2,设AB是抛物线y2=2px(p0)过焦点F的一条弦。设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),过A,B,M分别向抛物线的准线作垂线，垂足为A1,B1,M1,则,(5)以AB为直径的圆与准线相切,AM1B=Rt,A1FB1=Rt,y2=2px（p0）,y2=-2px（p0）,x2=2py（p0）,x2=-2py（p0）,关于x轴对称,关于x轴对称,关于y轴对称,关于y轴对称,（0,0）,（0,0）,（0,0）,（0,0）,
