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1、直线与平面垂直的判定和性质,一、直线与平面垂直,1.直线和平面垂直的定义：,直线l与平面内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面互相垂直.,2.直线与平面垂直的判定定理及推论,一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直,3.直线与平面垂直的性质定理,能否将直线与平面垂直定义中的“任一条直线”改为“无数条直线”?,提示:不能.若改为“无数条直线”,则这些直线可能互相平行,不能判定垂直.,思考感悟,2两个平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理,二、平面与平面垂直,1.平面与平面垂直的判定定理,2.平面与平面垂直的性质定
2、理,若两平面垂直,一直线垂直于其中一个平面,它与另一个平面有何位置关系?,提示:平行或在平面内.,思考感悟,3线面角和二面角(1)线面角：平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角直线与平面所成角的范围是0，900时，直线在平面内或与平面平行90时，直线与平面垂直(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面内以O为垂足作棱的垂线OA与OB，则AOB叫做二面角的平面角二面角的取值范围是0，180)，0时两个半平面共面；090时为锐二面角；90时为直二面角；90180时为钝二面角,1ABC所在平面外一点P在平面A
3、BC内射影为O，(1)若PAPBPC，则O为ABC外心(2)若P到ABC三边距离相等，则O为ABC内心或旁心(3)若PA、PB、PC两两垂直，则O为ABC的垂心2ACB所在平面外一点P在平面ACB内射影为O(1)若PCAPCB，则O在BCA的平分线上(2)若P到BCA两边距离相等，则O在BCA的平分线上,特殊点在平面上的射影,考点一,直线与平面垂直的判定与性质,1.直线l与平面内的两条直线都垂直,则直线l与平面的位置关系是(),A.平行B.垂直C.在平面内D.无法确定,解析:直线l与平面内的两条直线都垂直,因为不知道这两条直线是否相交,所以无法确定直线l与平面的位置关系.答案:D,2.(密码原
4、创)在正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2,G2G3的中点,现沿SE,SF,EF把这个正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3重合为点G,则有()A.SG面EFG B.EG面SEF C.GF面SEF D.SG面SEF,解析:折叠前有G1EG1S,G2EG2F,G3SG3F,折叠后变为GE,GF,GS两两垂直,所以SG面EFG.答案:A,3.三棱锥P-ABC的顶点P在底面的射影为O,若PA=PB=PC,则点O为ABC的心,若PA,PB,PC两两垂直,则O为ABC的心.,解析:若PA=PB=PC,则O为ABC的外心;若PA,PB,PC两两垂直,则O为ABC的垂心.答案:外垂,4.如图所示,
5、四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证:,(1)CDAE;,(2)PD平面ABE.,证明:(1)PA底面ABCD,CDPA,又CDAC,PAAC=A,故CD平面PAC,AE平面PAC,故CDAE.,(2)PA=AB=BC,ABC=60,故PA=AC.,E是PC的中点,故AEPC.,由(1)知CDAE,从而AE平面PCD,故AEPD.,易知BAPD,故PD平面ABE.,下图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图.,(1)若F为PD的中点,求证:AF面PCD;,(2)证明BD面PEC;,解:(1)由几何体的三视图可知,底
6、面ABCD是边长为4的正方形,PA面ABCD,PAEB,PA=2EB=4.,PA=AD,F为PD的中点,PDAF,又CDDA,CDPA,PADA=A,CD面ADP,CDAF.,又CDDP=D,AF面PCD.,(2)取PC的中点M,AC与BD的交点为N,连接MN,MN=PA,MNPA,MN=EB,MNEB,故四边形BEMN为平行四边形,EMBN,又BM面PEC,BD面PEC.,F,M,N,1.证明直线和平面垂直的常用方法有,2.当直线和平面垂直时,该直线垂直于平面内的任意一条直线,常 用来 证明线线垂直.,平面与平面垂直的判定与性质,1.已知直线a,b和平面,且a,b,那么是ab的(),考点二,
7、A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,解析:若,由a容易推出a或a,而b,于是ab;若ab,则容易推出,故是ab的充分必要条件.答案:C,2.如图所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,BC1AC,则C1在底面ABC上的射影H必在（）,A.直线AB上,B.直线BC上,C.直线AC上,D.ABC内部,解析:由ACAB,ACBC1,得AC平面ABC1,AC平面ABC,平面ABC1 平面ABC,C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上.,3.(2011浙江高考)下列命题中错误的是(),A.如果平面平面,那么平面内一定存在直线平行于平面,B.如
8、果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面,C.如果平面平面,平面平面,=l,那么l平面,D.如果平面平面,那么平面内所有直线都垂直于平面,解析:A项正确,只需内的直线平行于与的交线即平行于;B项正确,根据面面垂直的判定定理,若内存在直线垂直于,则;C项正确,设内a,内b,=l,则ab,所以a,根据线面平行的性质定理,所以al,所以l;D项错误,平面内可以存在直线平行于交线而不垂直于平面.,4.如图所示,已知空间四边形ABCD中,BC=AC,AD=BD,E是AB的中点.,(1)求证:AB平面CDE;,(2)求证:平面CDE平面ABC;,(3)若G为ADC的重心,试在线段AE上确定一
9、点F,使得GF平面CDE.,解:(1)证明:CEAB,同理,DEAB,又CEDE=E,AB平面CDE.,(2)证明:由(1)有AB平面CDE,又AB平面ABC,平面CDE平面ABC.,(3)连接AG并延长交CD于H,连接EH,则=,在AE上取点F使得=,则GFEH,易知GF平面CDE.,1.证明面面垂直的主要方法是:,(1)利用判定定理.在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线,充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边、勾股定理等结论.,(2)用定义证明.只需判定两平面所成二面角为直二面角.,(3)客观题中,也可应用:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一,个也垂直于第三个平面.,2.关于
10、三种垂直关系的转化可结合下图记忆.,立体几何中的探索性问题,1.(2012江苏无锡模拟)设a,b,c是空间不重合的三条直线,是空间两个不同的平面,则下列命题中,逆命题不成立的是(),考点三,A.当c时,若c,则B.当b时,若b,则C.当b,且c是a在内的射影时,若bc,则abD.当b,且c时,若c,则bc,解析:当时,平面内的直线不一定垂直于平面.答案:B,2.(密码原创)如图所示,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA平面ABCD,PA=2,现有数据:a=;a=1;a=;a=4,当BC边上存在点Q,使PQQD时,可以取(填上正确的序号).,解析:PA平面ABCD,PADQ.,连接AQ.由P
11、QQD得AQQD,RtABQRtQCD,令BQ=x,=,即x2-2x+a2=0,又方程有正根,0a1.,答案:,x,2-x,a,(1)求证:AEBE;,(2)设M在线段AB上,且满足AM=2MB,试在线段CE上确定一点N,使得MN平面DAE.,3.如图所示,四边形ABCD为矩形,AD平面ABE,AE=EB=BC,F为CE上的点,且BF平面ACE,又BF平面ACE,AEBF,AE平面BCE,又BE平面BCE,AEBE.,(2)在ABE中过M点作MGAE交BE于G点,在BEC中过G点作GNBC交EC于N点,连接MN,则由比例关系易得CN=CE.,MGAE,MG平面ADE,AE平面ADE,MG平面A
12、DE.,解:(1)证明:AD平面ABE,ADBC,BC平面ABE,则AEBC.,N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点.,同理,GN平面ADE.又GNMG=G,平面MGN平面ADE.,又MN平面MGN,MN平面ADE.,4.如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是DAB=60的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.,(1)求证:ADPB;,(2)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF平面ABCD,并证明你的结论.,解:(1)证明:如图,取AD的中点G,连接PG,BG,BD.,PAD为等边三角形,PGAD,又平面PAD平面ABCD,PG平面ABCD.
13、,在ABD中,DAB=60,AD=AB,ABD为等边三角形,BGAD,AD平面PBG,ADPB.,(2)解:连接CG,DE,且CG与DE相交于H点,在PGC中作HFPG交PC于F点,连接DF,FH平面ABCD,平面DHF平面ABCD.,H是CG的中点,F是PC的中点,在PC上存在一点F,满足平面DEF面ABCD.,对于探索类问题,书写步骤的格式有两种:,一种是:第一步,探求出点的位置.,第二步,证明符合要求.,第三步,给出明确答案.,第四步,反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.,另一种是:从结论出发,“要使什么成立”,“只须使什么成立”,寻求 使结论成立的充分条件,类似于分析法.,【真题模
14、拟】(2011江苏高考,16)(14分),如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,AB=AD,BAD=60,E,F分别是AP,AD的中点.求证:,(1)直线EF平面PCD;,(2)平面BEF平面PAD.,命题探究:本题考查空间平行与垂直的证明.证明线面平行,要利用线面平行的判定定理,寻找线线平行;而证明面面垂直,只能应用面面垂直的判定定理,寻找线面垂直.,规范解答:(1)在PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EFPD.4分,又因为EF平面PCD,PD平面PCD.,所以直线EF平面PCD.7分,(2)连接BD.因为AB=AD,BAD=60,所以ABD为正三角形.因为
15、F是AD的中点,所以BFAD.9分,因为平面PAD平面ABCD,BF平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以BF平面PAD.12分,又因为BF平面BEF,所以平面BEF平面PAD.14分,【原创预测】,如图所示,在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面ABCD平面ABE,AEB=90,BE=BC,F为CE的中点,求证:,(1)AE平面BFD;,(2)平面BDF平面ACE.,解:(1)设ACBD=G,连接FG,易知G是AC的中点,F是EC中点.在ACE中,FGAE,AE平面BFD,FG平面BFD,AE平面BFD.,G,(2)平面ABCD平面ABE,BCAB,平面ABCD平面ABE=AB,BC平面ABE,又AE平面ABE,BCAE,又AEBE,BCBE=B,AE平面BCE,AEBF,在BCE中,BE=CB,F为CE的中点,BFCF,AECE=E,BF平面ACE,又BF平面BDF,平面BDF平面ACE.,
