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1、第三章 IDFT 与DFT,连续时间、连续频率傅里叶变换,连续时间、离散频率傅里叶级数,离散时间、连续频率序列的傅里叶变换,离散时间、离散频率离散傅里叶变换,傅里叶变换的几种可能形式,一、连续时间，连续频率傅里叶变换(FT),这是连续时间，非周期信号x(t)的傅里叶变换。它得到连续的、非周期的频谱密度函数X(j)。,二、连续时间，离散频率傅里叶级数(FS),这是连续时间，周期信号x(t)的傅立叶变换。它得到离散的、非周期的频谱密度函数X(j)。例如信号x(t)=sin100t只有一个频率分量。,X(jK0)是频谱相邻两谱线间角频率的间隔，K为谐波序号。,三、离散时间，连续频率序列的傅里叶变换(
2、DTFT),时域离散，将导致频域周期化，且这个周期是s。,四、离散时间，离散频率离散傅里叶变换(DFT),上面所讲的三种傅里叶变换至少在一个域内是连续的，不适于计算机运算。最好是时域和频域均为离散的，才方便用计算机运算。,思路：从序列的傅里叶变换出发，若时域为离散的序列，则频 域是连续周期的；若此时我们对频域的连续信号抽样，人为的使其离散化，这样，频域的离散又导致时域的周 期化。于是有：,四种傅里叶变换形式的归纳,各种形式的傅里叶变换,3.1 基 本 内 容,1.离散时间傅里叶变换；2.常用信号的离散时间傅里叶变换对;3.离散时间周期信号的傅里叶变换；4.傅里叶变换的性质；3.系统的频率响应与
3、系统的频域分析方法；,注释:,CFS(The Continuous-Time Fourier Series):连续时间傅里叶级数,DFS(The Discrete-Time Fourier Series):离散时间傅里叶级数,CTFT(The Continuous-Time Fourier Transform):连续时间傅里叶变换,DTFT(The Discrete-Time Fourier Transform):离散时间傅里叶变换,3.0 引言 Introduction,本章将采用与讨论CTFT完全相同的思想方法，来研究离散时间非周期信号的频域分解问题。DFS与CFS之间既有许多类似之处，也
4、有一些重大差别：主要是DFS是一个有限项级数，其系数 具有周期性。,在采用相同方法研究如何从 DFS 引出离散时间非周期信号的频域描述时，可以看到，DTFT与CTFT既有许多相类似的地方，也同时存在一些重要的区别。抓住它们之间的相似之处并关注其差别，对于掌握和加深对频域分析方法的理解具有重要意义。,3.1 非周期信号的表示,Representation of Aperiodic Signals:The Discrete-time Fourier Thransform,一.从DFS到DTFT:,在讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱时,我们看到：当信号周期 增大时，频谱的包络形状不变，幅度减小，
5、而频谱的谱线变密。,因此，可以预见，对一个非周期信号，它的频谱应该是一个连续的频谱。,当 时，有，将导致信号的频谱无限密集，最终成为连续频谱。,从时域看，当周期信号的周期 时，周期序列就变成了一个非周期的序列。,当 时 令,对周期信号 由DFS有,即,有:,当 在一个周期范围内变化时，在 范围变化，所以积分区间是。,将其与 表达式比较有,于是:,表明:离散时间序列可以分解为频率在2区间上分布的、幅度为 的复指数分量的线性组合。,DTFT对,二.常用信号的离散时间傅里叶变换,通常 是复函数，用它的模和相位表示:,1.,由图可以得到:,2.,3.矩形脉冲:,两点比较:,1.与对应的周期信号比较,2
6、.与对应的连续时间信号比较,如图所示:,4.,三.DTFT的收敛问题,当 是无限长序列时，由于 的表达式是无穷项级数，当然会存在收敛问题。,收敛条件有两组：,则 存在，且级数一致收敛 于。,1.则级数以均方误差最小的准则 收敛于。,考察 的收敛过程，如图所示：,但随着 的振荡频率变高，起伏的幅度趋小;,当 时，振荡与起伏将完全消失，不会出现吉伯斯(Gibbs)现象，也不存在收敛问题。,由图可以得到以下结论:,当以部分复指数分量之和近似信号时，也会 出现起伏和振荡;,3.2 周期信号的DTFT,对连续时间信号，有 由此推断，对离散时间信号或许有相似的情况。但由于DTFT一定是以 为周期的，因此，
7、频域的冲激应该是周期性的冲激串，即,对其做反变换有：,The Fourier Transform for Periodic Signals,可见,由DFS有,因此，周期信号 可用DTFT表示为,（对L 展开）,比较:可以看出与连续时间傅里叶变换中相应的形式是完全一致的。,注意到 也以 为周期，于是有：,例2.,比较:与连续时间情况下对应的相一致。,3.3 离散时间傅里叶变换的性质,DTFT也有很多与CTFT类似的性质，当然也有某些明显的差别。,通过对DTFT性质的讨论，目的在于揭示信号时域和频域特性之间的关系。,一、周期性(periodic)：,比较：这是与CTFT不同的。,Propertie
8、s of the Discrete-Time Fourier Transform,二.线性(linearity):,三.时移与频移(shifiting):,四.时域反转(reflaction):,五.共轭对称性(symmetry properties):,由此可进一步得到以下结论:,即,于是有:,于是有:,六.差分与求和(Differencing and Accumulation):,例:,七.时域内插(Interplation):,信号的时域与频域特性之间有一种相反的关系。,八.频域微分(Differention in Frequency):,九.Parseval定理:,3.4 卷积特性(T
9、he Convolution Property),说明：该特性提供了对LTI系统进行频域分析的理论基础。,即是系统的频率特性。,例:求和特性的证明,3.3 相乘性质（The Multiplication Property),例:,3.7 对偶性（Duality）,由于 本身也是以N为周期的序列，当然也可以将其展开成DFS形式。,一.DFS的对偶,即:,或,利用对偶性可以很方便的将DFS在时域得到的性质，通过对偶得到频域相应的性质。,例1:从时移到频移,利用时移性质有:,由对偶性有:,频移特性,例2:由卷积特性到相乘特性,由时域卷积性质:,由对偶性:,时域相乘性质,DFS的卷积特性,二.DTFT
10、与CFS间的对偶,由DTFT有：,利用这一对偶关系，可以将DTFT的若干特性对偶到CFS中去；或者反之。,例:从CFS的时域微分到DTFT的频域微分,CFS的时域微分特性,DTFT的频域微分特性,例:从CFS的卷积特性到DTFT的相乘特性,再由对偶性：,由CFS的卷积特性,可以将对偶关系归纳为如下图表:,时域的连续性,可以看出：信号在时域的特性和在频域的特性之间存在以下对应关系：,时域的周期性,时域的离散性,时域的非周期性,频域的离散性,频域的连续性,频域的周期性,频域的非周期性,3.8 由LCCDE表征的系统,相当广泛而有用的一类离散时间LTI系统可以由一个线性常系数差分方程（LCCDE）来
11、表征:,一.由LCCDE描述的系统的频率响应:,Systems Characterized by Linear Constant-Coefficient Difference Equations,方法三:对方程两边进行DTFT变换，可得到:,二.系统的频率响应:,刻画了LTI系统的频域特征，它是系统单位脉冲响应的傅里叶变换。,三.由方框图描述的系统:,如果，则 存在。,但并非所有的LTI系统都一定存在频率响应。,通过对图中两个加法器的输出列方程可得到:,由上式可得：,四.LTI系统的频域分析方法:,2.根据系统的描述，求得系统的频率响应。,1.对输入信号做傅里叶变换，求得。,3.根据卷积特性得
12、到。,4.对 做傅里叶反变换得到系统的响应。,做傅里叶变换或反变换的主要方法是部分分式展开、利用傅里叶变换的性质和常用的变换对。,3.9 小结 Summary,通过对DTFT性质的讨论，揭示了离散时间信号时域与频域特性的关系。不仅看到有许多性质在CTFT中都有相对应的结论，而且它们也存在一些重要的差别，例如DTFT总是以2为周期的。,对偶性的讨论为进一步认识连续时间信号、离 散时间信号、周期信号与非周期信号频域描述的几种工具之间的内在联系，提供了重要的理论根据。深入理解并恰当运用对偶性，对深刻掌握CFS、DFS、CTFT、DTFT的本质关系有很大帮助。,通过卷积特性的讨论，对LTI系统建立了频域分析的方法。同样地，相乘特性的存在则为离散时间信号的传输技术提供了理论基础。,与连续时间LTI系统一样，对由LCCDE或由方框图描述的LTI系统，可以很方便的由方程或方框图得到系统的频率响应函数H(ej)，进而实现系统的频域分析。其基本过程和涉及到的问题与连续时间LTI系统的情况也完全类似。,随着今后进一步的讨论，我们可以看到CFS、DFS、CTFT、DTFT之间是完全相通的。,对偶性,连续时间非周期信号,离散时间周期信号,离散时间非周期信号,对偶性,频域采样,频域采样,
