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1、离散数学(二)第二讲,计算机学院:焦晓鹏,同态和同构,主要内容:,重点和难点:,一、同态与同构,两个代数在结构上是一致的,大致地说,有以下3点要求:(1)两个代数必须有相同的构成成分;(2)两个代数的运算和常数必须遵循相同的规则;(3)两个代数的载体必须有相同的基数。这种结构上的一致性,数学上叫同构,可以用与代数的“运算”和“常数”密切相关的一个双射函数来精确地刻画。,一、同态与同构,同态定义:设A=和A=是具有相同构成成分的代数,h是一个函数。如果满足(1)hS S；(2)对所有a，bS,均有h(a*b)=h(a)*h(b)；(3)对所有aS均,有h(a)=h(a)；(4)h(k)=k；则称
2、h是从A到A的同态,称为A在映射h下的同态象。,一、同态与同构,同态的分类:根据函数h的特点，可将同态分成如下几类：(1)如果h是单射，那么称h是单一同态;(2)如果h是满射的,那么称h是满同态;(3)如果h是双射的,那么称h是从A到A的同构;(4)如果A=A,那么称h是自同态;(5)如果A=A且h是同构,那么称h是自同构。,一、同态与同构,同态的图示:,h是从A到A的同态,称为A在映射h下的同态象,一、同态与同构,例1(a)：R：正实数集，R：实数集，试证明：与同构。证明：设f R R,f(x)=logx,由于(1)证明f R R 双射。易见f R R单射,因为对数函数单调增加；fRR满射：
3、任意yR,存在x=eyR,使得f(x)=logey=y;(2)运算保持。对所有 x，y R,均有f(xy)=log(xy)=logx+logy=f(x)+f(y)；(3)常元运算保持。f(1)=log1=0。所以与同构。,一、同态与同构,例1(b)：集合A=1,2,3,4,函数fA A,f=,f 0表示A上的恒等函数；f 1表示f；f 2表示合成函数ff；f 3表示f 2f；f 4表示f 3f；则f 4=f 0。设F=f 0,f 1,f 2,f 3,则代数可以用左下方的运算表给定,这里f 0是么元。集合N4=0,1,2,3,+4是模4加法,代数用右下方的运算表给定,这里0是么元。试证明这两个代
4、数同构。,一、同态与同构,例1(b)证明：，F=f 0,f 1,f 2,f 3;，N4=0,1,2,3 作映射hFN4,h(f i)=i(i=0,1,2,3)(1)hF N4双射；(2)h(f 0)=0；(3)任取f i，f jF，i，j N4,因为h(f i)=i，h(f j)=j,所以 h(f if j)=h(f i+j)=h(f(i+j)mod 4)=(i+j)mod 4=i+4 j=h(f i)+4h(f j)。所以,代数和同构。,一、同态与同构,例1(c)：证明代数和是不同构的。证明：使用反证法。假设h是从到的一个同构。因为h是从N到I+的一个满函数,必有xN(x2)和某质数p(p3
5、),使h(x)=p(I+中有无限多的质数),因此有以下式子成立：p=h(x)=h(x+0)=h(x)h(0)(1)p=h(x)=h(x-1)+1)=h(x-1)h(1)(2)但因为p是一质数,唯一的因子是p和1,根据(1),h(x)=1或h(0)=1;根据(2),h(1)=1或h(x-1)=1。因为01x-1x,所以，在映射h下,1至少是两个元素的象,得出h不是双射函数,因此和不同构。,一、同态与同构,定理 1：设h是从A=到A=的同态,那么A的同态象是A的子代数。证明：为证同态象是A的一个子代数,只要证明:(1)h(S)S。这从h:S S函数的事实得出。h(S)S(2)据同态定义,h(k)=
6、k,因为kS,得出k=h(k)h(S),即kh(S)。(3)h(S)关于运算*是封闭的。因为如果a,bh(S),那么存在x、yS,使h(x)=a和h(y)=b。所以a*b=h(x)*h(y)=h(x*y)=h(z)h(S)(由于x*y=zS)。(4)h(S)关于运算是封闭的。对任意ah(S),存在元素xS,使h(x)=a,所以a=h(x)=h(x)h(S)(由于xS)。证毕。,二、同态代数的性质,定理2 设h是从代数A=到A=的同态,这里*,*,都是二元运算,A=是A的同态象。(a)若*可交换(可结合),则在A中,*也是可交换(可结合)。(b)对*,若A有么元e(零元0),则对*,代数A中有么
7、元h(e)(零元h(0)。(此时h(e)不一定是代数A中的实际么元,除非h是满同态。)(c)对于*,若一个元素xS具有逆元x-1,则对于*,在代数A中,元素h(x)具有逆元h(x-1)。(d)若运算*对运算是可分配的,则在A中运算*对运算也是可分配的。,二、同态代数的性质,定理2(a)的证明：因为h：Sh(S)是代数A到A满同态，所以h(S)中任一元素可写成h(x)的形式，其中xS。对于任意h(x1),h(x2),h(x3)h(S),x1,x2,x3 S有h(x1)*h(x2)=h(x1*x2)=h(x2*x1)=h(x2)*h(x1)所以，(h(x1)*h(x2)*h(x3)=h(x1*x2
8、)*h(x3)=h(x1*x2)*x3)=h(x1*(x2*x3)=h(x1)*h(x2*x3)=h(x1)*(h(x2)*h(x3)所以,*是可交换(或可结合的)。证毕。,二、同态代数的性质,例2：设S=a,b,c,d,S=0,1,2,3,代数A=和B=由下表定义:,可以验证在函数h:SS中，其中h(a)=0,h(b)=1,h(c)=0,h(d)=1，保持运算。因此,h:SS是A到B的同态。(1)同态象保持代数A的可结合性,但代数B=却是不可结合的,因为(0 1)2=1 2=2,0(1 2)=0 2=1。(2)代数A中有么元a和零元d,因此h(a)=0和h(d)=1分别是同态象的么元和零元,但它们不是代数B的么元和零元,B中的么元是3,无零元。,作业:P174 习题6.3 第4,8题,
