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1、2.3 离散时间系统（数字滤波器）,离散时间系统的例子累加器滑动平均滤波器指数加权的移动平均滤波器线性内插器中值滤波器,离散时间系统的分类线性系统移不变系统因果系统稳定系统无源和无损系统冲激和阶跃响应,2.3 离散系统及其普遍关系,1.离散系统的定义离散系统在数学上定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的惟一性变换或运算。亦即将一个序列变换成另一个序列的系统，记为y(n)=Tx(n)通常将上式表示成图2-20所示的框图。,离散时间系统的功能是对给定的输入序列进行处理得到输出序列，所以离散时间系统就表示对输入序列xn的运算，即yn=Txn，其结果也是一个序列yn。算子T表示将输入序列xn
2、映射为单一输出序列yn的变换。通常，离散时间系统处理的信号都是数字信号，产生的信号也是数字信号，因此，又称作数字滤波器。,输入序列,输出序列,2.3 离散系统及其普遍关系,图2-20 离散系统的模型,2.3.1 离散时间系统的例子,累加器,其输入输出关系定义如下,2.3.1 离散时间系统的例子,2.滑动平均滤波器,在平均处理中，有对同组数据多次检测，再总体平均得到不受干扰的信号的例子，在很多情况下，不能对数据重复测量，所以，一般用滑动平均滤波的方法对信号进行估计(注意两者区别),2.3.1 离散时间系统的例子,3.指数加权的移动平均滤波器,思考：若1会出现什么情况？,2.3.1 离散时间系统的
3、例子,4.线性内插器 用于估计离散时间系统中相邻一对样本值之间的样本值大小xn上抽样（补零）xun线性内插用于图像放大过程等。,2.3.1 离散时间系统的例子,5.中值滤波器中值长度为2K+1的序列xn中，如果该序列中K个数据大于序列中的某个数据，剩下的K个数据小于该数据，则该数据称为中值，表示为medxn。常用于去除加性随机突发噪声。,5.中值滤波举例,x=2 80 6 3y1=Median2 2 80=2y2=Median2 80 6=Median2 6 80=6y3=Median80 6 3=Median3 6 80=6y4=Median6 3 3=Median3 3 6=3,2.3.2
4、 离散时间系统分类,线性系统（满足叠加原理的系统）Tax1n+bx2n=aTx1n+bTx2n,2 系统的非移变特性系统的非移变是指系统的参数不随时间而变化。用数学表示为Tx(nn0)=y(nn0)即不管输入信号作用的时间先后，输出信号响应的形状均相同，仅是出现的时间不同。要证明一个系统是时不变的，必须解出Txn-m和 yn-m，看两者是否相等。注意：前者仅考虑输入，后者考虑所有变量影响。线性时不变系统（Linear Time Invariant）既满足迭加原理又具有时不变性的系统。,图2-22 离散系统的非移变特性,(2)线性非移变系统线性非移变系统就是既满足迭加原理 又具有非移变特性的系统
5、，如图2-24所示。,图2-23 线性非移变系统模型,线性系统的例子累加器,3.系统的稳定性与因果性(1)稳定性对于一个系统，当输入序列是有界时，其输出也是有界的，则称它是稳定系统。用数学描述则为如果x(n)对于一切n则y(n)对于一切n,因为其中假设x(n)M。,稳定系统当且仅当每一个有界输入序列都产生一个有界的输出序列时，则称该系统在有界输入有界输出（BIBO,Bounded-Input-Bounded-Output）意义下稳定。也就是说，如果存在某个固定的有限正数Bx，使得|xn|Bx，for all n则称输入xn有界。如果在输入xn有界条件下，存在固定的有限正数By，使得：|yn|B
6、y，for all n则称系统稳定。,因果系统如果对每一个选取的n0，输出序列在n=n0的值仅仅取决于输入序列在n n0的值，则该系统就是因果的。也就是说，该序列是不可预知的。在因果系统中，输出的变化不会先于输入的变化。,（2）因果性一个系统如果其输出变化不会发生在输入变化之前，则称它是因果的。这就是说对于因果系统，如果取n0,当n n0时，x1(n)=x2(n),则n n0时，y1(n)=y2(n)。一个线性非移变系统当n0时的因果充要条件是其单位取样响应等于零,即h(n)=0n0这个充要条件可以从y（n）x(n)*h(n)的解析式中导出。,4.系统的差分方程描述(1)非递归型(FIR)非递
7、归型因果系统是输出的现在值仅仅取决于输入的现在值与输入的过去值的系统。非递归，即输出对输入无反馈。因此，设在n时刻输入x(n)与输出y(n)的关系为y(n)=f,x(n-1),x(n),x(n+1),若系统是线性非移变的，y(n)可表示为,(2)递归型(IIR)递归型因果系统输出的现在值不仅取决于输入的现在值与过去值，还取决于输出的过去值。y(n)=f,x(n-1),x(n),x(n+1),+g,y(n-1),y(n+1),同理，在系统为线性、非移变、因果时，可推得,常系数线性差分方程,无源和无损系统无源指输入能量有限且输出序列的能量不超过输入序列的能量。无损指对于每一个输入序列，输出序列的能
8、量等于输入序列的能量。,2.3.3 系统的冲激和阶跃响应,冲激响应（单位抽样响应）h(n)当输入为单位抽样序列(n)，其输出h(n)称为冲激响应（单位抽样响应），即 h(n)=T(n),2.3.3 系统的冲激和阶跃响应,阶跃响应s(n)当输入为单位阶跃序列u(n)，其输出s(n)称为阶跃响应，即 s(n)=Tu(n),总结：线性时不变系统判断,2.4 LTI离散时间系统的时域特性,LTI系统的输入输出关系输出序列为输入序列与冲激响应序列的卷积和卷积和的性质：交换律，结合律，分配律，etc稳定条件和因果条件常系数差分方程,LTI离散时间系统的输入输出关系冲激响应,LTI离散时间系统的性质决定了它
9、可以由其冲激响应hn完全描述，即已知hn，可以得到系统对任意输入的输出响应。下面给出详细推导。设LTI离散时间系统的冲激响应为hn，则有。,由于任意序列可表示成单位抽样序列的时移加权和，因此，任意输入序列xn可以表示为则LTI离散时间系统的输出序列，可以表示为输入序列与系统冲激响应的卷积和。,卷积和的性质,交换律结合律分配律,卷积和的性质,平移性与单位脉冲的卷积和,两个有限长序列卷积的结果仍是有限长序列，通常，两序列长度为M、N时，卷积得到的序列长度是M+N-1,卷积和的过程,卷积和求解过程：设序列xn,h n,它们的卷积和yn定义为 卷积和计算分四步：时间反转(折叠)，时移，相乘，相加。,信
10、号的相关与卷积,相关的意义：计算信号之间的相似性,1.定义,互相关序列 表示一对能量信号xn和yn之间相似性的量度，定义如下：,参数 l 称为时延，表示这一对信号间的相对时移。l0,yn相对xn右移 l 个样本 l0,yn相对xn左移 l 个样本,下标xy表示x为参考序列，下标yx的互相关如下,信号xn自相关定义,即互相关定义中，令yn=xn,2.相关和卷积的关系,让序列xn通过冲激响应为y-n的系统，得到的输出序列即为xn与yn的互相关。,有限维 LTI离散时间系统的输入输出关系线性常系数差分方程,线性常系数差分方程 离散变量n的函数xn及其位移函数xn-m 线性叠加而构成的方程.一.表示法
11、与解法 1.表示法,*常系数：a0,a1,aN;b0,b1,bM 均是常数（不含n）.*阶数：max(N,M)，系统和差分方程的阶数*线性：yn-k,xn-m各项只有一次幂,不含它们的乘积项。2.解法 时域：迭代法，卷积和法;变换域：Z变换法.,二.用迭代法求解差分方程,1.“松弛”系统的输出 起始状态为零的系统，这种系统 用的较多，其输出就是。因此，已知hn就可求出yn，所以必须知道hn的求法.,2.迭代法（以求hn为例）例:已知因果系统的常系数线性差分方程为yn-ayn-1=xn，试求单位冲激 响应hn.解：因果系统有hn=0,n0;方程可写 作:yn=ayn-1+xn,注意：1.一个常系
12、数线性差分方程并不一定代表因果系统，也不一定表示线性移不变系统。这些都由边界条件（初始）所决定。2.我们讨论的系统都假定：常系数线性差分方程就代表线性移不变系统，且多数代表因果系统。,1.指系统的输入与输出的运算关系的表述方法。2.差分方程可直接得到系统结构。例：yn=b0 xn-a1yn-1 用表示相加器；用 表示乘法器；用 表示一位延时单元。,三.系统结构,例：差分方程yn=b0 xn-a1yn-1表示的系统结构为：,LTI离散时间系统的分类,按冲激响应长度分：FIR和IIR按输出计算过程分：递归和非递归按冲击相应系数分：实数和复数,本章综述：离散信号的傅氏变换及离散系统,1.变换关系对于连续信号xa(t)与其频谱Xa()之间存在着傅氏变换关系，如图2-28所示。前边已经讨论了连续信号xa(t)的离散化，即取样的问题，已经知道取样序列的频谱是原信号频谱在轴上的周期延拓，如图2-28(b)所示。,图2-28连续和离散信号的傅氏变换,2.线性非移变系统结构的频率响应从2.3节的讨论得到线性非移变离散系统的输入输出关系为对上式两边同时进行傅氏变换得,在频域对LTI系统进行分析：抽样、内插、奈奎斯特定理等,习题,后项写成前项的表达式,前项写成后项的表达式,不稳定,稳定,
