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1、第二章 Laplace变换复习课,2011-12-26,2,1.问题的提出,Fourier变换存在的两个条件:,1.f(t)在任一有限区间上满足Dirichlet条件;,2.f(t)在无限区间(-,+)上绝对可积.,不满足Fourier变换的条件,将不存在Fourier变换.,第二个条件太高,许多函数不满足,怎么办?,问题1.,问题2.,Fourier变换要求函数在整个数轴有定义,但在实际问题中,时间t只在0时有意义,定义区间不满足,怎么办?,如何克服这两个缺点,使这些函数的Fourier变换得以存在?,3,t,j(t),O,t,j(t)u(t)e-bt,O,4,设函数f(t)当t 0时有定义
2、,而且积分,在s的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为,记为 F(s)=L f(t)F(s)称为f(t)的Laplace变换(或称为象函数).f(t)称为F(s)的Laplace逆变换(或象原函数).记为 f(t)=L-1F(s)也可记为f(t)F(s).,称此式为函数f(t)的Laplace变换式,定义,5,例1 求单位阶跃函数,根据Laplace变换的定义,有,这个积分在Re(s)0时收敛,解:,为什么?,6,例2 求指数函数f(t)=ekt的Laplace变换(k为实数).,这个积分在Re(s)k时收敛,而且有,注意：k为复数时上式也成立,只是收敛区间变为 Re(s)Re(k).,
3、解:根据Laplace变换的定义,有,7,2.当t时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数M0及c0,使得|f(t)|Mect,0t(增大不超过指数级,c为增长指数),在半平面Re(s)c上一定存在,右端的积分在Re(s)c1c上绝对收敛而且一致收敛,并且在Re(s)c的半平面内,F(s)为解析函数.,2.Laplace变换的存在定理,若函数f(t)满足:,1.在t 0的任一有限区间上分段连续；,则f(t)的Laplace变换,M,Mect,f(t),t,O,9,1.此定理的条件是充分的.,2.定理中的条件2,即函数的增大不超过指数级比 Fourier积分定理中的绝对可积要弱得多.
4、,例如,不满足Fourier积分定理,但它们可以满足Laplace变换存在定理中的条件2.,因为,即M=1,c=0;,即M=1,c=0;,即M=1,c=1.,(t充分大时),注:,10,例3 求 f(t)=sinkt(k为实数)的Laplace变换.,11,1.线性性质,若a,b是常数 L f1(t)=F1(s),L f2(t)=F2(s),则有 L af1(t)+bf2(t)=aF1(s)+bF2(s)L-1aF1(s)+bF2(s)=af1(t)+bf2(t),此线性性质根据Laplace变换的定义就可得出.,Laplace变换的性质,12,若L f(t)=F(s),则有L f(t)=sF
5、(s)-f(0),2.微分性质,证 根据分部积分公式和Laplace变换公式,一个函数的导数的Laplace变换等于这个函数的Laplace变换乘以s再减去函数的初值.,13,.L f(n)(t)=sL f(n-1)(t)-f(n-1)(0)=snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f(0)-.-f(n-1)(0)特别,当初值f(0)=f(0)=.=f(n-1)(0)=0时,有 L f(t)=sF(s),L f(t)=s2F(s),.,L f(n)(t)=snF(s),推论,若L f(t)=F(s),则 L f(t)=sL f(t)-f(0),=ssL f(t)-f(0)-f(0),此性质可以
6、使我们有可能将f(t)的微分方程转化为F(s)的代数方程.,14,-k2L cos kt=s2L cos kt-s,例1 利用微分性质求函数f(t)=cos kt的Laplace变换.,分析:考虑函数二阶导数的特殊性.,解:,又 f(0)=1,f(0)=0,因此,移项化简得,15,若L f(t)=F(s),3.积分性质,16,若L f(t)=F(s),则有 L eatf(t)=F(s-a)(Re(s-a)c).,因此 L eatf(t)=F(s-a)(Re(s-a)c),4.位移性质,证 根据Laplace变换式,有,上式右方只是在F(s)中将s换为s-a,17,函数f(t)的Laplace变
7、换,实际上就是f(t)u(t)e-bt的Fourier变换.,已知函数f(t),它的象函数F(s)为,如何求它的象原函数 f(t)?,由Laplace变换的概念可知,即:,Laplace逆变换,18,因此,按Fourier积分公式,在f(t)的连续点就有,等式两边同乘以ebt,则,19,2.而积分路线中的实部b则有一些随意,但必须满足 的条件就是e-btf(t)u(t)的0到正无穷的积分必须收敛.,Laplace反演积分,1.右端的积分路线是沿着平行于虚轴的方向从虚部的负无穷积分到虚部的正无穷.,注:,20,定理 若s1,s2,.,sn是函数F(s)的所有奇点(适当选取b使这些奇点全在Re(s
8、)b的范围内),且当s时,F(s)0,则有,2.反演积分的计算,21,解:,22,解:,23,解:,24,在第一章讨论过Fourier变换的卷积的性质.两个函数的卷积是指,如果f1(t)与f2(t)都满足条件:当t0时,f1(t)=f2(t)=0,则上式可以写成,1.卷积的概念,25,1.|f1(t)*f2(t)|f1(t)|*|f2(t)|,2.交换律:f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t),卷积的性质,3.结合律与分配律:f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t)f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t),26,假
9、定f1(t),f2(t)满足Laplace变换存在定理中的条件,且L f1(t)=F1(s),L f2(t)=F2(s),则 f1(t)*f2(t)的Laplace变换一定存在,且,2.卷积定理,两个函数卷积的Laplace变换等于这两个函数Laplace变换的乘积.,两个函数Laplace变换乘积的逆变换等于这两个函数的卷积.,27,例1 求方程 y+2y-3y=e-t 满足初始条件,解:设L y(t)=Y(s).,的解.,对方程的两边取Laplace变换,并考虑到初始条件,则得,解得,28,对每一项分别取Laplace逆变换,29,例2 求解方程组,满足初始条件,的解.,对两个方程取Laplace变换,设L y(t)=Y(s),L x(t)=X(s),并考虑到初始条件,得,解:,30,整理得,解此线性方程组,31,首先取Laplace变换将微分方程化为象函数的代数方程,解代数方程求出象函数,再取逆变换得最后的解.如下图所示.,象原函数(微分方程的解),象函数,微分方程,象函数的代数方程,微分方程的Laplace变换解法,
