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1、空间向量及其运算,1空间共线向量(1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线，则这些向量为共线向量或平行向量(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，ab的充要条件是存在实数使.,互相平行或重合,ab,要点梳理,空间向量及其运算,（2）共线向量定理：,对空间任意两个向量a、b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使a=b。,推论：如果l为经过已知点A且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 a 其中向量a叫做直线l的方向向量。,（1）概念：已知平面与 向量，作，如果直线OA平行于平面或在内，那么我们说向量 平行于平面，记作。通常
2、我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意两个向量总是共面的；空间任意三个向量不一定共面；空间四边形ABCD中、不共面。,4共面向量,（2）共面向量定理如果两个向量、不共线，则向量 与向量、共面的充要条件是，存在实数对x、y，使=x+y,推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使=x+y或对空间任一点O，有=+x+y 平面MAB内，点P对应的实数对（x,y）是唯一的，式叫做平面MAB的向量表达式。,思考探究 向量AB平面与直线AB平面是同一概念吗？,提示：不是向量平行于平面是指向量所在直线平行于平面或在平面内两种情况因此，在用共面向量定理证明线面平行时
3、，必须说明向量所在的直线不在平面内,3空间向量基本定理(1)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任意一向量p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使.,pxaybzc,(2)推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P都存 在唯一的有序实数组x，y，z，使OP.,xOAyOBzOC,概念巩固,B,2.对于空间中的三个向量它们一定是：A.共面向量B.共线向量C.不共面向量D.既不共线又不共面向量,A,3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，,则x的值为：,D,4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？,题型一 空间
4、向量的线性运算,探究1,解（1）P是C1D1的中点，,用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.,探究2,求证：面PAC面PCD；,题型二 平行和垂直,又PACD，PAACA，CD面PAC，CD面PCD，面PAC面PCD.6分,解：(1)证明：设PA1，由题意PABC1，AD2.PA面ABCD，PB与面ABCD所成的角为PBA45.2分AB
5、1，由ABCBAD90，,例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。,例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。,例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。,解：,例3：已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。,解：,例4.如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使求证：四点E、F、G、H共面；平面EG/平面AC.,O,B,A,H,G,F,E,C,D,证明：,（）代入,所以 E、F、G、H共面。,证明：,由面面平行判定定理的推论得：,小结,共面,
