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1、,山东金榜苑文化传媒集团,步步高大一轮复习讲义,空 间 向 量 及 其 运 算,空间向量与立体几何,空间向量及其运算,立体几何中的向量方法,空间向量的加减运算,空间向量的数乘运算,空间向量的数量积运算,空间向量的坐标运算,共线向量定理,共面向量定理,空间向量基本定理,平行与垂直条件,向量夹角及距离,直线的方向向量与平面的法向量,求空间角,求空间距离,线线角,线面角,面面角,忆 一 忆 知 识 要 点,1.空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有_和_的量叫做空间向量(2)相等向量：方向_且模_的向量(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相_的向量(4)共面向量：_的向量,大
2、小,方向,相同,相等,平行或重合,平行于同一个平面,2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使得ab.,忆 一 忆 知 识 要 点,忆 一 忆 知 识 要 点,互相垂直,忆 一 忆 知 识 要 点,(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.,忆 一 忆 知 识 要 点,忆 一 忆 知 识 要 点,忆 一 忆 知 识 要 点,2,空间向量的线性运算,用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何
3、意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则,向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.,共线、共面向量定理的应用,共线、共面向量定理的应用,共线、共面向量定理的应用,共线、共面向量定理的应用,共线、共面向量定理的应用,在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近,进行求解，若要证明两直线平行,只需判定两直线所在的向量满足线性ab关系,即可判定两直线平行.,空间向量性质的应用,证明两条直线垂直，一般是用两
4、条直线的方向向量的数量积等于0来加以证明的,已知 a(x,4,1),b(2,y,1),c(3,2,z),ab，bc.求:(1)a，b，c；(2)(ac)与(bc)夹角的余弦值,于是 c(3,2,2),已知 a(x,4,1),b(2,y,1),c(3,2,z),ab，bc.求:(1)a，b，c；(2)(ac)与(bc)夹角的余弦值,09,“两向量平行”和“两向量同向”不清致误,(5分)已知向量a(1,2,3),b(x,x2y2,y),并且a,b同向,则x,y的值分别为_,(1)a与b同向是ab的充分而不必要条件.ab是a与b同向的必要而不充分条件(2)错因分析:两向量平行和两向量同向不是等价的,
5、同向是平行的一种情况.两向量同向能推出两向量平行,但反过来不成立,也就是说,“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件.错解就忽略了这一点.,答案 1，3,1熟练掌握空间向量的运算、性质及基本定理是解决空间向量问题的基础，特别是共线向量定理、共面向量定理、空间向量基本定理、数量积的性质等 2利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题，在这里，恰当地选取基底可使向量运算简捷，或者是建立空间直角坐标系，使立体几何问题成为代数问题，在这里，熟练准确地写出空间中任一点的坐标是解决问题的基础,1.利用坐标运算解决立体几何问题
6、,降低了推理难度,可以避开一些较复杂的线面关系,但较复杂的代数运算也容易导致出错.因此,在解决问题时,可以灵活的选用解题方法,不要生搬硬套.2.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化 3.空间向量的加法、减法经常逆用,来进行向量的分解.4.几何体中向量问题的解决，选好基底是关键.,一、选择题,二、填空题,A组专项基础训练题组,三、解答题,8.已知ABC的顶点A(1,1,1),B(2,2,2),
7、C(3,2,4).试求(1)ABC的重心坐标；(2)ABC的面积；(3)ABC的AB边上的高,三、解答题,一、选择题,二、填空题,B组专项能力提升题组,5.,三、解答题,7.如图,已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,且G为AM上一点,且GM:GA1:3.求证：B,G,N三点共线.,8.直三棱柱ABCABC 中,ACBCAA,ACB90,D,E分别为AB,BB的中点.(1)求证：CEAD；(2)求异面直线CE与AC 所成角的余弦值,三、解答题,8.直三棱柱ABCABC 中,ACBCAA,ACB90,D,E分别为AB,BB的中点.(1)求证：CEAD；(2)求异面直线CE与A
8、C 所成角的余弦值,三、解答题,点、线、面之间的位置关系,空间几何体,空间几何体的结构,空间几何体的体积、表面积,柱、锥、台、球的结构特征,三视图与直观图的画法,具有大小和方向的量,向量的大小,长度为零的向量,模为 1 的向量,长度相等且方向相反的向量,长度相等且方向相同的向量,方向相同或相反的非零向量,常用 e 表示,与任一向量共线.,1.空间向量的有关概念及表示法,具有大小和方向的量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或平行四边形法则,数乘:ka,k为正数,负数,零,加法交换律,加法结合律,数乘分配律,加法交换律,加法结合律,数乘分配律,1.空间向量的有关概念及表示法,具有大小和方向的量,
9、A,P,B三点共线,P,A,B,C四点共面,(A,B,C三点不共线),判断三点共线,或两直线平行,判断四点共面,或直线平行于平面,2.空间向量的有关定理及推论,1.数量积的定义：,2.向量的夹角定义：,3.向量的垂直：,4.投影：,5.数量积的几何意义：,的方向上的投影 的乘积.,数量积 等于 的长度 与 在,6.数量积的运算律：,7.数量积的主要性质:,(判断两个向量是否垂直),(求两个向量的夹角),(向量不等式),(求向量的长度(模)的依据),8.向量的直角坐标运算.,一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.,设 A(x1,y1,z1),B(x2,
10、y2,z2),则,M=(x,y,z),若M是线段AB的中点，,8.向量的直角坐标运算.,9.空间向量的坐标计算,可知 共面,又 不共线,所以MN/平面CDE.,A,B,C,D,E,F,N,M,例3.在平行六面体AC1中，AB=AD,A1AD=A1AB=DAB=60.(1)求证：AA1 BD;(2)当的值为多少时,才能使AC1平面A1BD.请证明.,证明:,P,B,O,C,A,P,A,B,O,D,【4】已知 是空间向量的一个基底,则下列向量中可以与向量 构成基底的是(),D1,C1,B1,C,A1,D,B,A,D,【5】下列命题中正确的有(),A.1个B.2个C.3个D.4个,B,B,A,C,D,E,F,
