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1、用空间向量解决立体几何中的平行、垂直和夹角、距离问题,一。知识再现,空间向量：,(1)空间直角坐标系,(2)向量的直角坐标运算,(3)夹角和距离公式,(1)空间直角坐标系,z,x,y,o,A(x,y,z),(2)向量的直角坐标运算,(3)夹角和距离公式,二.两个重要的空间向量,1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是,z,x,y,A,B,2.平面的法向量,如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作n,这时向量n叫做平面的法向量
2、.,n,a,b,n,求平面的法向量的坐标的步骤,第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据na=0且nb=0列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标.,2、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.,1、已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的一个法向量是_.,三、建立空间坐标系,利用现有三条两两垂直的直线注意已有的正、直条件相关几何知识的综合运用,长方体,四、常用公式：,1、求线段的长度：,2、平行,3、
3、垂直,6、求两异面直线AB与CD的夹角：,7、求二面角的平面角:,(为二面角的两个面的法向量）,8、求二面角的平面角:,（射影面积法）,为的法向量,垂直与平行的证明,直线与直线的平行直线与直线的垂直直线与平面的平行共面向量的充要条件与平面的法向量垂直直线与平面的垂直垂直于平面内不共线的两个向量平面与平面的平行两个平面的法向量平行平面与平面的垂直两个平面的法向量垂直,设直线l，m的方向向量分别为，根据下列条件判断l，m的位置关系：,直线与直线的平行与垂直平行：共线向量的充要条件 垂直：向量垂直的充要条件,l,m,l,m,例1.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,C1CB
4、=C1CD=BCD=,求证:C C1BD,证明：设 依题意有，于是 C C1BD,例2.已知正三棱柱的各棱长都为1，是底面上边的中点，是侧棱上的点，且，求证：。,解1：向量解法 设，则由已知条件和正三棱柱的性质，得,你能建立直角坐标系解答本题吗？,解2：直角坐标法。取 由已知条件和正三棱柱的性质，得 AM BC,如图建立坐标系m-xyz。则,例2已知正三棱柱的各棱长都为1，是底面上边的中点，是侧棱上的点，且，求证：。,直线与平面的平行与垂直 设直线l的方向向量分别为，平面的法向量为，平面内两不共线向量，且l 平行：共面向量的充要条件 垂直：垂直于平面内不共线的两个向量,例3.在正方体AC1中，
5、E为DD1的中点，求证：DB1/面A1C1E,E,F,E,X,Y,Z,评注：本题若用一般法证明，容易证AF垂直于BD，再证AF垂直于DE，或证AF垂直于EF则较难，用建立空间坐标系的方法能使问题化难为易。,平面与平面的平行与垂直 设平面、的法向量分别为平行：垂直：,练习2：,设平面，的法向量分别为，根据下列条件判断，的位置关系：,X,Y,Z,例7.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证：面AED面A1FD1,证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A-xyz,设正方体的棱长为2,则E(2,0,1),D(0,2,0),A1(0,0,2),D1(0,2,2),F
6、(1,2,0),设平面AED的法向量为n1=(x，y，z)得,取z=2，得 n1=(-1，0，2),同理可得平面A1FD1的法向量为n2=(2，0，1),n1 n2=-2+0+2=0 面AED面A1FD,三种角的计算,异面直线所成的角直线和平面所成的角二面角,数量积：,夹角公式：,线线角,复习,线面角,二面角,小结,引入,求下列两个向量夹角的余弦值（1），（2）.,异面直线所成角的计算,异面直线所成角的范围：,思考：,结论：,线线角,复习,线面角,二面角,小结,引入,例一：,线线角,复习,线面角,二面角,小结,引入,解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：,所以：,所以 与
7、所成角的余弦值为,问题：利用向量坐标法求两条异面直线夹角 的一般步骤是什么？,(1)恰当的构建空间直角坐标系；(2)正确求得对应点的坐标，空间向量 的坐标表示及其数量积和模；(3)代入空间向量的夹角公式，求得其余 弦值；(4)根据题意，转化为几何结论.,P,A,D,G,F,E,B,C,解：如图，建立空间直角坐标系。,P,A,D,G,F,E,B,C,2004年福州市第一次统测试题,练习：如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_.,解:以A为原点建立如图所示的直角坐标系A-xyz,设正方体的棱长为2,则M(1,0,0),C(2,2,0),B1
8、(2,0,2),D(0,2,0),于是,cos=.,P,A,B,D,C,E,练习：,在长方体 中，,斜线与平面所成角的计算,a,n,P,A,O,题型二：线面角,直线与平面所成角的范围：,思考：,结论：,线线角,复习,线面角,二面角,小结,引入,练习：如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=（1，0，1），b=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是_.,600,例四：,在长方体 中，,线线角,复习,线面角,二面角,小结,引入,在长方体 中，,N,解：如图建立坐标系A-xyz,则,练习1：,练习1：,在长方体 中，,又,练习2：,的棱长为1.,正方体,线线角,复习,线面角
9、,二面角,小结,引入,练习3.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为，求AC1与侧面ABB1A1所成的角,z,x,y,C1,A1,B1,A,C,B,O,解:建立如图示的直角坐标系,则A(,0,0),B(0,0)A1(,0,).C(-,0,0)设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)由 得，解得 取y=,得n=(3,0)而,B,A,O,B,A,O,D,P,X,Y,Z,例6 如图,在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在线段BC上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450?若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。,D,B
10、,A,C,E,P,解：以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为X轴、Y轴、Z轴，建立空间直角坐标系，,设BE=m，则,2003年全国高考题,A,B,C,D,E,G,A1,B1,C1,二面角的平面角的计算,P,B,A,l,a,b,Q,二面角的范围：,关键：观察二面角的范围,线线角,复习,线面角,二面角,小结,引入,练习：已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为_.,1350,设平面,例8:如图:直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,AB=AA1=4,E为AB的中点求:1)直线BD1与CE所成的角的余弦值;2)二面角A1-CE
11、-D的余弦值.,练习1.在四棱锥S-ABCD中DAB=ABC=90，侧棱SA底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.,解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则 B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由 得 n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小满足 二面角A-SD-C的大小为.,A,A1,B,C,D,D1,C1,B1,P,练习2：,X,Y,Z,X,Y,Z,如图，已知：直角梯形OABC中，OABC,AOC=90，SO面OABC，且O
12、S=OC=BC=1，OA=2。求：(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值(2)OS与面SAB所成角的余弦值(3)二面角BASO的余弦值,【课后作业】,【巩固练习】,1 三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC,E为PC中点,则PA与BE所成角的余弦值为_.,2 直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,则AC1与截面BB1CC1所成角的余弦值为_.,3正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的中点,则二面角E-BC-A的大小是_,X,Y,Z,A,B,C,D,M,G,X,Y,Z,小结：,1.异面直线所成角：,2.直线与平面所成角：,3.二面角：,关键：观察二面角
13、的范围,五。距离的计算,点与点距离点到直线的距离点到平面的距离直线到与它平行平面的距离两个平行平面的距离异面直线的距离,说明：,P,A,B,M,a,n,P,A,O,M,N,A,A1,B,C,D,D1,C1,B1,P,?,例1,求点P到平面距离步骤：,1.建立适当的空间直角坐标系2.写出点的坐标（点P及内三点）3.求出向量的坐标（点P与内一点A连线向量，内两不共线向量）4.求的法向量n5.求6.下结论,例2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,ACB=90,求B1到面A1BC的距离.,z,x,y,C,C1,A1,B1,A,B,F,B,A,C,D,E,G,X,Y,Z,B,A
14、,a,M,N,n,a,b,例1.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.,z,x,y,A,B,C,D,D1,C1,B1,A1,A,B,C,C1,取x=1,z则y=-1,z=1,所以,E,A1,B1,会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求.例.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,AB=4,ABC=60,侧棱PA底面AC且PA=4,E是PA的中点,求PC与平面BED间的距离.,z,y,P,B,E,A,D,C,F,空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离等问题，其方法是不必添加繁杂的辅助线，只要建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量运算解决立体几何问题。这样使问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理问题完全转化为代数运算，降低了思维难度，这正是在立体几何中引进空间向量的独到之处。,X,Y,Z,X,Y,Z,
