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1、3.2.4立体几何中的向量方法,空间“距离”问题,2023/11/16,【温故知新】,平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作，如果，那 么 向 量 叫做平面 的法向量.,给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的.,注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;,向量法求法向量的步骤：,外积法求法向量的步骤：,2013年全国新课标卷 18题,用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：,（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；,（2）通
2、过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；,（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。,（化为向量问题）,（进行向量运算）,（回到图形）,【新知学习】,空间“距离”问题,1.空间两点之间的距离,根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式 或(其中)，可将两点距离问题转化为求向量模长问题,例1：如图1，一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？,解：如图1，设,化为向量问题,依据向量的加法法则，,进行向量运算,所以,回到图形问题,这个晶体的对角线 的长是棱
3、长的 倍。,思考：教材P106,（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？,（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?,分析:,分析:,这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。,（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？设AB=1（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）,H,分析：面面距离,点面距离,解：,所求的距离是,问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？,2、向量法求点到平面的距离：,D,A,B,C,G,F,E,分析:用几何法做相当困难,注意到坐标系建立后各点坐标容易得
4、出,又因为求点到平面的距离可以用法向量来计算,而法向量总是可以快速算出.,例2:如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，求点B到平面EFG的距离.,E,当E,F在公垂线同一侧时取负号当d等于0是即为“余弦定理”,=-（或），,a,b,C,D,A,B,CD为a,b的公垂线,则,A，B分别在直线a,b上,3.异面直线间的距离,A,B,C,C1,取x=1,则y=-1,z=1,所以,E,A1,B1,解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0),A(,0,0),B(,0),C(0,0),P(0,0,),小结,1、E为平面外一点,F为内任意一 点,为平面的法向量,则点E到平面的 距离为:,2、a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b上的点,是a,b公垂线的方向向量,则a,b间距离为,
