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1、3.2.1立体几何中的向量方法（一）,1设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)ab _ ab_.2所谓直线的方向向量，就是指和这条直线所对应的向量_的向量，一条直线的方向向量有_个,平行(或共线),无数,aba1b1，a2b2，a3b3(R),ab0a1b1a2b2a3b30,平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作，如果，那 么 向 量 叫做平面 的法向量.,给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的.,几点注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量 是平面的法向量，向量 是与
2、平面平行或在平面内，则有,已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，试求出平面ABC的一个法向量,【思路点拨】,练习：,aaaaaa,二、平行关系：,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.,【思路点拨】先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用直线的方向向量和平面的法向量间的关系证明线面平行和面面平行,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平
3、面B1C1F.,三、垂直关系：,在正棱锥PABC中，三条侧棱两两垂直，G是PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BEECPFFB12.(1)求证：平面EFG平面PBC；(2)求证：EGBC，PGEG.【思路点拨】面面垂直可转化为线面垂直或两平面的法向量相互垂直来证明,【证明】(1)：如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系令PAPBPC3，则A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0),【名师点评】证明面面垂直通常有两种方法，一是利用面面垂直的判定定
4、理,转化为线面垂直、线线垂直去证明；二是证明两个平面的法向量互相垂直,变式训练:在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，试在棱BB1上找一点M,使得D1M平面EFB1.,巩固性训练1,1.设 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下 列条件,判断l1,l2的位置关系.,平行,垂直,平行,巩固性训练2,1.设 分别是平面,的法向量,根据 下列条件,判断,的位置关系.,垂直,平行,相交,巩固性训练3,1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为(-2,-4,k),若，则k=；若 则 k=。2、已知，且 的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2
5、),则m=.3、若 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为(1,1/2,2),且，则m=.,巩固练习4,1、相交于同一点的三直线a，b，c的方向向量分别是，若，则（）,C,2、已知 是平面 的一个法向量，直线,则直线 的一个方向向量是（）A.(0,-3,1)B.(2,0,1)C.(-2,-3,1)D.(-2,3,-1),D,求平面的法向量的坐标的步骤,第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据na=0且nb=0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标.,课堂小结:,一、直线的方向向量定义:,二、平面的法向量定义,如果，那么向量 叫做平面 的法向量.,如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作,（1）可设法向量的坐标（说明：设法向量时可令x或y或z其中一个为1）（2）用它与平面内不共线向量分别求数量积结果为0；（3）解方程组求得。,直线L上的向量 以及与向量 共线的向量.,三、2、求法：,互动探究:在本例2条件下，若O1为B1D1的中点,求证：BO1平面ACD1.,
