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1、第6章 递归,6.1 什么是递归,6.2 递归算法的设计,本章小结,6.1 什么是递归6.1.1 递归的定义 在定义一个过程或函数时出现调用本过程或本函数的成分,称之为递归。若调用自身,称之为直接递归。若过程或函数p调用过程或函数q,而q又调用p,称之为间接递归。如果一个递归过程或递归函数中递归调用语句是最后一条执行语句,则称这种递归调用为尾递归。,例 以下是求n!(n为正整数)的递归函数。int fun(int n)if(n=1)/语句1 return 1;/语句2 else/语句3 return fun(n-1)*n;/语句4 在该函数fun(n)求解过程中,直接调用fun(n-1)(语句
2、4)自身,所以它是一个直接递归函数。又由于递归调用是最后一条语句,所以它又属于尾递归。,6.1.2 何时使用递归 在以下三种情况下,常常要用到递归的方法。1.定义是递归的 有许多数学公式、数列等的定义是递归的。例如,求n!和Fibonacci数列等。这些问题的求解过程可以将其递归定义直接转化为对应的递归算法。,思考题：指出正整数的定义。,2.数据结构是递归的 有些数据结构是递归的。例如,第2章中介绍过的单链表就是一种递归数据结构,其结点类型定义如下：typedef struct LNode ElemType data;struct LNode*next;LinkList;该定义中,结构体LNo
3、de的定义中用到了它自身,即指针域next是一种指向自身类型的指针,所以它是一种递归数据结构。,对于递归数据结构,采用递归的方法编写算法既方便又有效。例如,求一个不带头结点的单链表head的所有data域(假设为int型)之和的递归算法如下：int Sum(LinkList*head)if(head=NULL)return 0;else return(head-data+Sum(head-next);,3.问题的求解方法是递归的 有些问题的解法是递归的,典型的有Hanoi问题求解,该问题描述是：设有3个分别命名为X,Y和Z的塔座,在塔座X上有n个直径各不相同,从小到大依次编号为1,2,n的盘片
4、,现要求将X塔座上的n个盘片移到塔座Z上并仍按同样顺序叠放,盘片移动时必须遵守以下规则：每次只能移动一个盘片；盘片可以插在X,Y和Z中任一塔座；任何时候都不能将一个较大的盘片放在较小的盘片上。设计递归求解算法,并将其转换为非递归算法。设Hanoi(n,x,y,z)表示将n个盘片从x通过y移动到z上,递归分解的过程是：,Hanoi(n,x,y,z),Hanoi(n-1,x,z,y)；move(n,x,z):将第n个圆盘从x移到z；Hanoi(n-1,y,x,z),6.1.3 递归模型 递归模型是递归算法的抽象,它反映一个递归问题的递归结构,例如,前面的递归算法对应的递归模型如下：fun(1)=1
5、(1)fun(n)=n*fun(n-1)n1(2)其中,第一个式子给出了递归的终止条件,第二个式子给出了fun(n)的值与fun(n-1)的值之间的关系,我们把第一个式子称为递归出口,把第二个式子称为递归体。,一般地,一个递归模型是由递归出口和递归体两部分组成,前者确定递归到何时结束,后者确定递归求解时的递推关系。递归出口的一般格式如下：f(s1)=m1(6.1)这里的s1与m1均为常量,有些递归问题可能有几个递归出口。递归体的一般格式如下：f(sn+1)=g(f(si),f(si+1),f(sn),cj,cj+1,cm)(6.2)其中,n,i,j,m均为正整数。这里的sn+1是一个递归“大问
6、题”,si,si+1,sn为递归“小问题”,cj,cj+1,cm是若干个可以直接(用非递归方法)解决的问题,g是一个非递归函数,可以直接求值。,实际上,递归思路是把一个不能或不好直接求解的“大问题”转化成一个或几个“小问题”来解决,再把这些“小问题”进一步分解成更小的“小问题”来解决,如此分解,直至每个“小问题”都可以直接解决(此时分解到递归出口)。但递归分解不是随意的分解,递归分解要保证“大问题”与“小问题”相似,即求解过程与环境都相似。,为了讨论方便,简化上述递归模型为：f(s1)=m1(6.3)f(sn)=g(f(sn-1),c)(6.4)求f(sn)的分解过程如下：f(sn)f(sn-
7、1)f(s2)f(s1),一旦遇到递归出口,分解过程结束,开始求值过程,所以分解过程是“量变”过程,即原来的“大问题”在慢慢变小,但尚未解决,遇到递归出口后,便发生了“质变”,即原递归问题便转化成直接问题。上面的求值过程如下：f(s1)=m1 f(s2)=g(f(s1),c1)f(s3)=g(f(s2),c2)f(sn)=g(f(sn-1),cn-1),这样f(sn)便计算出来了,因此,递归的执行过程由分解和求值两部分构成。,求解fun(5)的过程如下：,思考题：递归的本质是什么？,6.2 递归算法的设计 递归的求解的过程均有这样的特征：先将整个问题划分为若干个子问题,通过分别求解子问题,最后
8、获得整个问题的解。而这些子问题具有与原问题相同的求解方法,于是可以再将它们划分成若干个子问题,分别求解,如此反复进行,直到不能再划分成子问题,或已经可以求解为止。这种自上而下将问题分解、求解,再自上而下引用、合并,求出最后解答的过程称为递归求解过程。这是一种分而治之的算法设计方法。递归算法设计先要给出递归模型,再转换成对应的C/C+语言函数。,递归设计的步骤如下：(1)对原问题f(s)进行分析,假设出合理的“较小问题”f(s)(与数学归纳法中假设n=k-1时等式成立相似)；(2)假设f(s)是可解的,在此基础上确定f(s)的解,即给出f(s)与f(s)之间的关系(与数学归纳法中求证n=k时等式
9、成立的过程相似)；(3)确定一个特定情况(如f(1)或f(0)的解,由此作为递归出口(与数学归纳法中求证n=1时等式成立相似)。,例如,采用递归算法求实数数组A0.n-1中的最小值。假设f(A,i)函数求数组元素A0Ai中的最小值。当i=0时,有f(A,i)=A0；假设f(A,i-1)已求出,则f(A,i)=MIN(f(A,i-1),Ai),其中MIN()为求两个值较小值函数。因此得到如下递归模型：A0 当i=0时 f(A,i)=MIN(f(A,i-1),Ai)其他情况,由此得到如下递归求解算法：float f(float A,int i)float m;if(i=0)return A0;el
10、se m=f(A,i-1);if(mAi)return Ai;else return m;,例求1，2，n的全排列。解：设a是含n个不同字符的字符串，f(a,k-1,n)为a0.k-1的所有字符的全排序，f(a,k,n)为a0.k的所有字符的全排序。假设f(a,k-1,n)可求，对于ak位置，可以取a0.k任何之值，再组合f(a,k-1,n)，则得到f(a,k,n)递归模型为：f(a,k,n)：输出a 当k=0时 f(a,k,n)：ak位置取a0.k任何之值,其他情况 并组合f(a,k-1,n)的结果;,void f(char a,int k,int n)int i,j;char tmp;if
11、(k=0)for(j=0;jai;f(a,k-1,n);akai,例采用递归算法求解皇后问题：在nn的方格棋盘上，放置n个皇后，要求每个皇后不同行、不同列、不同左右对角线。解：设place(k,n)表示在前面1，k-1个皇后放置好后，用于放置k，n的皇后。求解皇后问题的递归模型如下：place(i,n)：n个皇后放置完毕，输出解若i=n place(k,n)：对于第k列的每个合适的位置i,在其上放置一个皇后;place(k+1,n);其他情况,思考题：通过学习递归算法设计有什么收获？,本章小结 本章基本学习要点如下：(1)理解递归的定义和递归模型。(2)重点掌握递归的执行过程。(3)掌握递归设计的一般方法。(4)灵活运用递归算法解决一些较复杂应用问题。,练习6 p145的习题1和2。,
