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1、第五章 相似矩阵及二次型,方阵的特征值与特征向量方阵的相似对角化二次型化标准形,向量的内积 长度 正交性,第五章 相似矩阵及二次型,向量的内积,正交矩阵,第一节 向量的内积 长度 正交性,1、向量内积的概念,定义1 设=(a1,a2,an)T，=(b1,b2,bn)TRn,称,为向量与的内积，记作，.,一、向量的内积,，=,注 由矩阵乘法的定义，显然有，=T.,内积的运算律（其中，R n，k R）：（1），=，；（2）k，=k，；（3）+，=，+，；（4），且，=0=.,向量长度的性质,1.非负性 0，且=0=；,用定义证明。,用Schwarz不等式 证明。,3.三角不等式+.,2.齐次性=|
2、；,2、向量的长度,向量的内积满足,2,，即|,|.,Schwarz不等式,根据Schwarz不等式，对任何非零向量，总有,定义 当，时，,称为n维向量与的夹角，记为().,说明 当,=0时，称向量与正交.,显然，零向量与任意向量正交。,3、向量的夹角,向量的内积满足,2,，即|,|.,Schwarz不等式,定义 一组两两正交的非零向量组称为正交向量组.,由单位向量组成的正交向量组称为规范正交向量组.,正交向量组的性质,正交向量组是线性无关的.,证 设1，2，m是正交向量组，并有一组数使 k11+k22+kmm=.,用i（i=1，2，m）对上式的两边做内积，得 k11,i+k22,i+kmm,
3、i=,因1,2,m两两正交,所以i,j=()，,故 kii，i=0，（i=1，2，m）,因i，所以i，i0，故ki=0（i=1，2，m）.于是向量组1，2，m线性无关.,4、规范正交向量组,定义3 设1，2，m是向量空间V的一个基.且两两正交,说明,1）自然基e1，e2，en是规范正交基.,2）向量空间V的一个基1，2，m是规范正交基,的充要条件是,i，j=,则称1，2，m是V的一个正交基；,又都是单位向量，则称1，2，m是V的一个规范正交基.,如果1，2，m,3）向量空间V的任意向量，在V中的一个规范正交基,1，2，m下的坐标为ki=i，i=1，2，m.,一个向量在规范正交基下的坐标很易求得
4、，其第i个,分量即为这个向量与规范正交基的第i个向量的内积。,印象,问题 给出向量空间V的任意一个基1，2，m，是否可,由它得到V的一个规范正交基呢？,令 1=1，,2=2-1，,3=3-1-2，,，,r=r-1-2-r-1.,(2)将1，2，r单位化，令,1=，2=，r=.,则1,2,r是与1,2,r等价的规范正交向量组.,施密特(Schmidt)正交化方法,(1)将线性无关的向量组1，2，r正交化.,例1 已知R 3中的一组基为,解利用施密特正交化方法:1)先将1，2，3正交化：,令 1=1=(1,1,1)T，,2=2-1,3=3-1-2,1，2，3为与1，2，3等价的向量组.,求R 3的
5、一个与基1，2，3等价的规范正交基。,2)将1，2，3单位化，便得与1，2，3等价的规范正交基为,-2,例2.,解,把基础解系正交化，即合所求亦即取,我们知道有限个n维向量组可构成一个矩阵，那么R n中的一,个规范正交基所构成的矩阵有什么特点呢？,观察,R 4中的规范正交向量组,构成的矩阵A=,AT A=,=E,正交矩阵,定义4 如果n阶实方阵A满足ATA=E，则称A为正交矩阵.,二、正交矩阵,设,则,(1)A的行列式为+1或-1.,正交矩阵的性质,(2)A可逆，且A-1=AT.,(3)A-1及AT也是正交矩阵.,(1)对任意n维列向量x，Ax保持向量x的长度.即 Ax=x.,(2)对任意n维
6、列向量x和y，Ax和Ay保持x和y的内积，即 Ax,Ay=x,y.,正交变换的性质,定义5 若 为正交阵，则线性变换 称为正交变换,(4)若A和B都是正交阵,则AB也是正交矩阵.,规范正交基将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化,三、小结,1向量的内积长度夹角,正交矩阵及其性质,第二节 方阵的特征值与特征向量,特征值与特征向量的概念,特征值与特征向量的性质,第五章 相似矩阵及二次型,举例,1、设A是单位矩阵E,对任意的非零向量x,都有,这里.,2、设,则对于向量,有,即,而对于另一向量,从例子可看到，对于给定的n阶方阵A在n维空间中有些向量x，有Ax与x平行
7、这个性质，而有些向量则没有这个性质.把有这样性质的向量称为特征向量.,有,一、特征值与特征向量,定义6 设A是 n 阶方阵，如果存在数和 n 维非零列向量x，使关系式,成立,那么,称 为方阵A 的特征值,非零向量 x 称为A的对应于特征值 的特征向量.如上例中,(1)-特征值问题是对方阵而言的,特征向量一定是非零向量.,注：,(2)-若x是矩阵A的对应于特征值 的特征向量,则非零向量kx也是矩阵A的对应于特征值 的特征向量,特征值 的特征向量不唯一.,例,证明：,是矩阵A的对应于特征值的线性无关的特征向量.,对任意不全为零的数,A的对应于特征值的特征向量.,都是矩阵,证明,由已知,称为A的特征
8、方程.,2、,3、,A的特征值就是特征方程 的根,A的对应于特征值的特征向量就是齐次线性方程组 的非零解向量.,用克拉默法则,齐次线性方程组(A-E)x=0有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式等于零.即,称为方阵的特征多项式.,二、方阵A的特征值、特征向量的求法,这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组.,由定义,可推出,n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组(A-E)x=0有 非零解的 值.,解,A的特征多项式为,所以A的特征值为,例,当 时,得基础解系,线性无关特征向量的个数为1,一重特征值,所以对应于 的特征向量为(0).,解方程(A-E)x=0,由,当 时,解方程组(A+2E)x=0,
9、由,A+2E=,得基础解系,所以对应于 的特征向量为,不同时为零,线性无关特征向量的个数为2,二重特征值,例,求矩阵 的特征值和特征向量.,解 A的特征多项式为,所以A的特征值为,当 时,得基础解系,所以对应于 的特征向量为,一重特征值,线性无关特征向量的个数为1,当 时,AE=,得基础解系,所以 对应于 的特征向量为.,线性无关特征向量的最大个数为1,也是二重特征值,说明 1.对于给定的方阵A,可以有几个不同的特征值,属于同一个特征值的特征向量有无穷多个！2.属于某一特征值的线性无关特征向量的最大个数不一定等于它的重数，但不管有几个都没有超过它的重数.,四、小结,求矩阵特征值与特征向量的步骤：,预习本节剩余内容及第三节,
