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1、1,1.3 行列式按行（列）展开,引入,2,一、定义,n阶行列式,中，划去元素aij所在的第i行和第j列元素，余下的元素按原来顺序构成一个n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，记做Mij。,称 为元素aij的代数余子式。,【注】行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.,3,如 四阶行列式,的余子式:,代数余子式:,4,四阶行列式,的余子式:,代数余子式:,5,定理:n阶行列式D|aij|等于它的任意一行(列)各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即,或,二、行列式展开定理,6,说明：该定理可作为行列式的等价定义。,按某行（列）展开，本质是对行列式降阶，是降阶简化计算行列式的重要
2、方法，特别适用于某行（列）零元较多的情形。,证明思路：(详细证明见教材)1两边项数相同；2右边各项都是 D 中的项；3右边各项的符号与在 D 中的符号相同。,7,例1 利用行列式的展开计算行列式的值,【评注】一般应选取零元素最多的行或列进行展开;或者选取一行或列,利用行列式的性质5,将这一行或列的元素尽可能多的化为零,然后按这一行或列进行展开;这样方便计算。,8,解 将行列式按第1列展开,=-48,9,推论：,行列式D的任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.,中，如果令第 i 行的元素等于另外一行，譬如第 k 行的元素，得D1,10,第i行,=0.,按第i行展开
3、得,【注】Aij 既是D1中第i行第j列元素的代数余子式，也是D 中第i行第j列元素的代数余子式。,11,综上，得公式,12,例2：计算范德蒙行列式,13,n-1阶范德蒙行列式,14,依此类推，可得：,15,例3：计算行列式,16,例4 计算,【析】按第1行或第1列展开,17,三、拉普拉斯（Laplace）定理,定义 在n阶行列式D=|aij|中，任意选取k行k列,(1kn),位于这些行和列交叉处的k2个元素按原来顺序组成的一个k阶行列式M，称为行列式D的一个k阶子式。,在D中，划去这k行k列后，余下的元素按原来顺序组成的一个n-k阶行列式N，称为k阶子式M的余子式。,18,定理：（拉普拉斯定
4、理）在 n 阶行列式 D中，任意选取 k 行(1kn)，由这 k 行元素组成的所有 k 阶子式与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式 D 的值，即,Mi 是 D 的由选定的 k 行生成的子式，Ai 是 Mi 的代数余子式，i1，2，t.,19,例5：计算,20,例6：计算2n阶行列式,21,例7 计算n+m阶行列式,按前n行展开,n阶,m阶,22,23,定义法化三角形法：利用性质化为三角形行列式降阶法（展开定理）直接降阶：按行列式中非零元素较少的行（列）展开间接降阶：利用行列式性质，使行列式的某行（列）具有较少的非零元，再按其展开.,普遍法则,24,常用技巧,拆分法：A=B+C数学归纳法（不讲）递推法,提取因子法：行(列)和相等时，各行(列)加到第一行(列)，提取公因子，再继续化简。,25,特殊行列式计算,范德蒙行列式,等等，自己总结规律。,26,作业 习题一 17(1),
