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1、,4.4 向量空间,第四章 n维列向量空间,4.4 向量空间,一.向量空间(vector space)的概念,1.n维实(列)向量的全体,Rn=(x1,x2,xn)T|x1,x2,xnR,关于向量(即列矩阵)的加法和数乘运算 满足如下8条基本性质:,关于加法:(1)交换律;(2)结合律;(3)0;(4),关于数乘:(5)1=;(6)k(l)=(kl);(7)(k+l)=k+l;(8)k(+)=k+k.,第四章 n维列向量空间,4.4 向量空间,2.设V是Rn的非空子集,且对向量的加法及数 乘封闭(closed),即,仅含有零向量0的集合0关于向量的线性运算也构成一个向量空间.,Rn和0称为Rn
2、的平凡(trivial)子空间.,则称V是Rn的一个子空间(subspace),或直接 称为一个(实)向量空间(real vector space).,V,kR,有+V,kV,第四章 n维列向量空间,4.4 向量空间,例1.检验下列集合是否构成向量空间.,(1)V=(x,y,0)|x,y R;,(2)V=(x,y,z)|x,y,z R,x+yz=0;,(3)ARmn,bRm,b0,KA=Rn|A=0;,SB=Rn|A=b.,第四章 n维列向量空间,4.4 向量空间,(4)1,2,sRn,由1,2,s生成的向量空间(generated/spanned by 1,)或,1,2,s生成元(gener
3、ator).,1,2,s的线性包(linear closure).,第四章 n维列向量空间,4.4 向量空间,二.向量空间的基(basis)与维数(dimension),1,2,r V的一组基:,r称为V的维数.记为维(V)或dim(V).,n维基本单位向量组就是Rn的一组基,dimRn=n;,例2.求例1中的各向量空间的基与维数.,零空间没有基,规定dim0=0.,1,2,r线性无关,V都能由1,2,r线性表示.,第四章 n维列向量空间,4.4 向量空间,定理2.7.1,2,s的极大无关组是,特别地,A=(A1,A2,As),求L(A1,A2,A3,A4)的一组基和维数.,L(1,2,s)的
4、基,dimL(1,s)=r(1,s).,L(A1,A2,As)A的列空间(column space),dimL(A1,A2,As)=秩(A).,第四章 n维列向量空间,4.4 向量空间,1 0 1,2 1 0,1 1 1,1 1 1,解:,可见dim L(A1,A2,A3,A4)=2,A1,A2是L(A1,A2,A3,A4)的一组基.,注:此外A1,A3也是L(A1,A2,A3,A4)的一组基.还有A1,A4.,事实上,对于这个例子,除了A3,A4以外,A1,A2,A3,A4中任意两个向量都构成L(A1,A2,A3,A4)的一组基.,第四章 n维列向量空间,4.4 向量空间,三.向量在基下的坐
5、标,1,2,rV 的一组基,由定义,对V,唯一的一组有序实数 k1,k2,kr使得=k11+k22+krr.,k1,k2,krT 在1,2,r 这组基下的坐标(coordinate).,第四章 n维列向量空间,4.4 向量空间,四.基变换与坐标变换,设1,2,r和1,2,r是V 的两组基,则存在rr矩阵P使,(1,2,r)=(1,2,r)P.,称P为从基1,2,r到1,2,r的过 渡矩阵(transition matrix).,由r=r(1,2,r)r(P)r可得r(P)=r.,故|P|0,即P可逆.,第四章 n维列向量空间,4.4 向量空间,定理2.8.设1,2,r和1,2,r是V 的 两组基,V 在这两组基下的坐标 分别为x,y,则,证明:=(1,2,r)x=(1,2,r)y=(1,2,r)Py,x=Py,y=P1x.,(1,2,r)(x Py)=0.,又因为1,2,r线性无关,所以x Py=0,即x=Py,进而y=P1x.,
