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1、,4.3 向量组的极大线性无关组,4.3 向量组的极大线性无关组,一.基本概念,列向量组:1,2,s,矩阵A=(1,2,s),矩阵A的秩,向量组1,2,s的秩,r(1,2,s),第四章 n维列向量空间,行向量组:1,2,s,矩阵A的秩,向量组1,2,s的秩,r(1,2,s),4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,r(1,2,s)s,r(1,2,s)s,r(1,2,s)=s,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,(linearly dependent),(linearly independent),1,2,s线性相关,1T,2T,sT线性相关,几个显然的结论:
2、,(1),注意:不要混淆:,“矩阵A的列向量组线性相关”,“矩阵A的行向量组线性相关”与,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,(2)只含有一个向量的向量组线性相关,=0.,(4)含有两个向量,的向量组线性相关,的分量成比例.,(5)当s n时,任意s个n维向量都线性相关.,例1.设1,2,3线性无关,1=1+22,2=2+23,3=3+21.,证明:1,2,3线性无关.,(3)含有零向量的向量组一定线性相关.,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,二.向量组之间的关系,A:1,2,r B:1,2,s,若B组中的每个向量都能由A组中的向 量线性表示,则称向量
3、组B能由向量组A线性表示.,1.给定两个向量组,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,简记为A:1,2,s,C:1,2,n.,若j=b1j1+b2j2+bsjs,j=1,2,n,即,=,1,2,n,1,2,s,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,简记为B:1,2,s,C:1,2,m.,若i=ai11+ai22+aiss,i=1,2,m,即,B:,C:,=,1,2,s,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,1,2,m,矩阵的乘积Cmn=Ams Bsn,=,行向量i=ai11+ai22+aiss,i=1,2,m.,列向量j=b1j1+b2j2
4、+bsjs,j=1,2,n,向量组的线性表示:,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,2.向量组的线性表示与矩阵乘积,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,3.传递性,A=(1,2),B=(1,2,3),C=(1,2),1=1+2,2=1+22,3=1+2,1=21+2,2=1 2+3,=2(1+2)+(1+22),=31+42,=(1+2)(1+22)+(1+2),=1,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,B能由A线性表示,A=(1,2),B=(1,2,3),C=(1,2),=A(DF).,C能由B线性表示,一般地,C能由A线性表示.,
5、若向量组B能由向量组A线性表示;同时 向量组A能由向量组B线性表示,则称这两个向量组等价.,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,A:1,2,r B:1,2,s,4.给定两个向量组,显然,(1)向量组A与其自身等价(反身性);,(2)若A与B等价,则B与A等价(对称性);,(3)若A与B等价且B与C等价,则B与A等价(传递性).,例2.设有两个向量组,I:1=1,1,2=1,1,3=2,1,II:1=1,0,2=1,2.,即I可以由II线性表示.,即II可以由I线性表示.,故向量组I与II等价.,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,5.矩阵等价与向量组等价
6、,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,注:,矩阵A与B的行向量组等价,但列向量组不等价.,矩阵C与B的列向量组等价,但行向量组不等价.,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,定理2.1.若向量组1,2,t可由向量组1,2,s线性表示,则,r(1,2,t)r(1,2,s).,推论2.1.若向量组1,2,t可由向量组1,2,s线性表示,并且t s,则向量组1,2,t是线性相关的.,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,三.向量组秩的性质,证明:记A=(1,2,s),B=(1,2,t),则
7、存在C使得B=AC,故r(B)r(A).,推论2.3.若向量组1,2,s 和1,2,t 都线性无关,并且这两个向量组等价,则s=t.,例3.设1=1+22,2=2+23,3=3+21.,证明:1,2,3线性无关1,2,3线性 无关.,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,推论2.2.若向量组1,2,t与向量组1,2,s等价,r(1,2,t)=r(1,2,s).,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,4.3 向量组的极大线性无关组,一.定义,如果向量组1,2,s的部分组,满足以下列条件:,极大线性无关组(maximal linearly independent
8、 subset).,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,二.有关结论,定理2.5.秩为r的向量组1,2,s一定有由,r个向量构成的极大无关组.,命题2.1.秩为r的向量组中任何r个线性无关的,向量都构成它的一个极大无关组.,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,定理2.6.一个向量组的任何两个极大无关组,都是等价的,因而任意两个极大无关组所含向量的个数都相同,且等于这 个向量组的秩.,命题2.2.一个向量组与它的任何一个极大无,关组都是等价的.,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,三.计算,理论依据:,(1)命题2.1,(2)初等变换不改变矩阵的秩.,例4.已知向量组1,2,3线性无关,求,1 2,2 3,3 1,的一个极大无关组.,4.3 向量组的极大线性无关组,第四章 n维列向量空间,例5.设A=,3 2 0 5 03 2 3 6 12 0 1 5 31 6 4 1 4,求A的列向量组,的一个极大无关组.,可见A的第1,2,4列构成A的列向量组的一个极大无关组.,
