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1、几何与代数,2011-2012年第一学期,教师:周进鑫Email:,教材及主要参考资料：黄廷祝、成孝予，线性代数与空间解析几何，电子科技大学应用数学学院，高等教育出版社。,几何与代数是我校工科各专业必修的重要基础理论课，在一般工科专业的教学中占有极重要的地位，在工程技术、科学研究和各行各业中有广泛的应用.,本课程的特点是将线性代数与空间解析几何融为了一门课程.代数中的许多概念非常抽象，几何为抽象的代数提供了直观想象的空间，代数为几何提供了便利的研究工具.代数与几何的融合能加强学生对数与形内在联系的理解，学会用代数的方法处理几何问题.,简 介,1、矩阵2、行列式3、几何空间4、n维向量空间5、特
2、征值与特征向量6、二次型与二次曲面,主要内容,第一章 矩阵及其初等变换,在自然科学和工程技术中有大量的问题与矩阵这一数学概念有关,并且这些问题的研究常常反映为对矩阵的研究.甚至有些性质完全不同的,表面上完全没有联系的问题,归结成矩阵问题以后却是相同的.这就使矩阵成为数学中的一个及其重要应用广泛的工具,因而也成为代数,特别是线性代数的一个主要研究对象,尤其是随着计算机的广泛应用,矩阵知识已成为现代科技人员的必备的数学基础.,1.1 矩阵及其运算,1.3 逆矩阵,1.4 分块矩阵,1.2 高斯消元法与矩阵的初等变换,1.1 矩阵及其运算,一、矩阵的概念,二、矩阵的线性运算,三、矩阵的乘法,四、矩阵
3、的转置,考虑方程组,其主要信息都包括在数表中,一、矩阵的概念,例 某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接 A 与B.,发站,到 站,四城市间的航班图情况常用表格来表示:,此数表清楚地反映了四城市间航班情况.,矩阵就是一个数表.,定义,常记为Amn 或A=(aij)m n.,实矩阵 元素是实数.,复矩阵 元素是复数.,例如,是一个 实矩阵,是一个 复矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵.,是一个 矩阵,行矩阵,列矩阵,方阵,只有一行的矩阵,称为行矩阵.,只有一列的矩阵,称为列矩阵.,如果一个矩阵的行数和列数相等都为n
4、,则称其为n阶方阵.,一些特殊的矩阵,对角矩阵,aii 称为主对角元.,单位矩阵,记作,方阵，主对角元素全为1，其余元素都为零.,数量矩阵,上三角矩阵,形如 的方阵.,下三角矩阵,形如 的方阵.,线性方程组的系数矩阵和增广矩阵,称为方程组的增广矩阵.,称为方程组的,零矩阵,元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作 或.,如,二、矩阵的线性运算,同型矩阵：,A与B相等：,例如,想一想:是否所有的零矩阵都相等?,例 设,解,注意：,对于同型矩阵加法才有意义.,加法：,例如,即,减法,负矩阵,矩阵加法满足的运算规律,称为矩阵A的负矩阵.,(对应元素相减),(1)交换律:,(2)结合律:,(4),数乘,
5、即,例,矩阵数乘满足的运算规律,矩阵加法与数乘运算合起来,统称为矩阵的线性运算.,设 为 矩阵，为数,结合律,分配律,1.引例,三、矩阵的乘法,收入=单位价格*数量,利润=单位利润*数量,其中,2.矩阵的乘法,=,cij C.,其中,例,不存在.,只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.,注意,解,例,例,计算下列矩阵的乘积,单位矩阵在矩阵乘法中的作用与数“1”在数的乘法中的作用一样.,定义 上三角矩阵,下三角矩阵,证明,要证C是上三角矩阵.,例,两个下三角矩阵的乘积仍为下三角矩阵.,两个上三角矩阵的乘积仍为上三角矩阵.,特别,3.矩阵乘法满足的运算规律,（其中 为数）
6、,这里我只给出结合律的证明,其余的留给同学们自己证明.,(1)结合律,(2)分配律,(3)数乘结合律,证明(AB)C=A(BC),分析,由定义,只须证明(AB)C和A(BC)为同型矩阵,且对应位置上的元素相等.,证,首先,不难验证(AB)C和A(BC)均为ms矩阵,其次,(AB)C的任意i行j列位置上的元素为,其中,xik为AB的i行k列位置上的元素.,由定义,所以，(AB)C=A(BC),结论得证.,所以,同理可得A(BC)的任意i行j列位置上的元素为,例 设,现在来比较一下数的乘法与矩阵乘法,首先看下面的例子.,故,(1)矩阵乘法不满足交换律，即一般,首先,两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.
7、见上例.,当AB=BA时,称A与B可交换,否则称为不可交换.,请进一步的思考为什么?,(2)矩阵乘法不满足消去律，即一般,由AC=BC且CO,不能得到A=B.,不同点,例 设,则,其次,其余情形消去律一般也不成立.,矩阵乘法之所以与数的乘法有这么多不同的地方，主要是由于它的定义造成的.,提醒,大家可以注意一下我们把矩阵乘法对加法的分配律写成两个式子,为什么不可以写作相等呢?主要因为矩阵乘法不满足交换律.,所以大家在矩阵乘法学习的过程中一定要注意矩阵乘法这些与数的乘法的不同之处.,矩阵的乘法应用广泛,许多复杂的问题都可用,矩阵乘法表达得非常简洁.,方程组的矩阵表示,设方程组为,令,则上述方程组可
8、用矩阵表示为 AX=b.,对于n元线性方程组,例,方阵的幂,注意,4.方阵的幂和方阵的多项式,设A为n阶方阵,k为正整数,定义,设m,k为正整数,一般,注意,一般,当AB=BA时,当AB BA时,方阵的多项式,设有多项式 f(x),g(x),而A,B 为n阶方阵，则 f(A)g(A)=g(A)f(A).,但是，一般,称为A的k次多项式.,A是n阶方阵,则,等等,但是,如,一般,四、矩阵的转置,1.定义（转置）,(把A的行换成同序数的列得到的新矩阵),若A为mn矩阵,则AT为nm矩阵.,设,例,2.转置矩阵的运算性质,证明(4),例 已知,解,法1,求,法2,3.对称矩阵与反(对)称矩阵,定义,
9、设A为n阶方阵，如果满足，即,对称矩阵中以主对角线为对称轴对称的元素相等.,说明,那末A称为对称矩阵.,则,A为对称矩阵,A为反(对)称矩阵,练习,证,(BBT)T=(BT)TBT=BBT.,(1)下列矩阵是否为对称矩阵?反对称矩阵?,(2)设Bmn,则BTB和BBT都是对称矩阵.,证,则AB+BA是n阶反对称矩阵.,1.数乘以对称矩阵是否仍为对称矩阵？,2.同阶对称矩阵之和是否仍为对称矩阵？,3.同阶对称矩阵的乘积是否仍为对称矩阵？,例 设A,B均为n阶对称阵，则 AB对称 AB=BA.,证“”,“”,想一想,因为,所以,特殊矩阵,方阵,行矩阵与列矩阵;,单位矩阵;,对角矩阵;,零矩阵;,小 结,上(下)三角矩阵;,同型矩阵,矩阵相等.,1.矩阵-数表,数量矩阵;,加法;,数与矩阵相乘;,矩阵与矩阵相乘;,转置矩阵.,2.矩阵运算,作业,习题 1.1 3、4.(4)、5 7、9 16。,证明,H是对称矩阵.,例 证明任一 n 阶矩阵A都可表示成对称矩阵与反对称矩阵之和.,证明,所以C为对称矩阵.,所以B为反对称矩阵.,命题得证.,设,则,则,设,线性变换与矩阵A之间存在着一一对应关系.,称为恒等变换.,例,旋转变换.,在平面直角坐标系中,线性变换,例,(线性变换),线性变换可写为,令,
