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1、知 识 要 点,一、内容提要 1.矩阵的概念(1)矩阵的定义 定义 1 由 mn 个数 aij(i=1,m;j=1,n)排成 m 行 n 列的数表,叫做 m 行 n 列矩阵,简称 mn 矩阵.这 mn 个数叫做矩阵的元素,aij 叫做矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素.元素是实数的矩阵叫做实矩阵,元素是复数的矩阵叫做复矩阵,(1)式也简记为 A=(aij)mn 或 A=(aij),mn 矩阵 A 也记作 Amn.,(2)方阵、列矩阵、行矩阵 对(1)式,当 m=n 时,A 称为 n 阶方阵.当 m=1 时,A 称为行矩阵.当 n=1 时,A 称为列矩阵.,(3)同型矩阵和相等矩阵 两个矩阵的
2、行数相等、列数也相等时,就称它们是同型矩阵.如果 A=(aij)与 B=(bij)是同型矩阵,并且它们的对应元素相等,即 aij=bij(i=1,m;j=1,n),那么就称 A 与 B 相等,记作A=B.,(4)零矩阵、单位矩阵 元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作 O.主对角线上的元素都是 1,其他元素都是 0 的 n 阶方阵,叫做 n 阶单位矩阵,简记作 E 或 I.,2.矩阵的运算(1)矩阵运算的定义 设 A=(aij)sn,B=(bij)tm 为两个矩阵,当 s=t,n=m 时,它们为同型矩阵,其加法运算定义为 A+B=(aij+bij),A+B 称为 A 与 B 的和.,当 n=t 时可
3、以作乘法:AB=(cij)sm,其中,(i=1,2,s;j=1,2,m),AB 称为 A 与 B 的积.设 k 为实数,定义 kA=(kaij),则称 kA 为 A 与数 k 的乘积.,(2)矩阵的运算性质(i)矩阵的加法满足 交换律:A+B=B+A,结合律:(A+B)+C=A+(B+C).(ii)矩阵的乘法满足结合律(AB)C=A(BC).,(iii)矩阵的乘法和加法满足分配律 A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA.(iv)数乘矩阵满足(k+l)A=kA+lA，k(A+B)=kA+kB，k(lA)=(kl)A，k(AB)=(kA)B=A(kB).,(3)方阵的幂 设 A 是 n
4、 阶方阵,定义 A1=A,A2=AA,Ak+1=Ak A,其中 k 为正整数.(4)方阵的行列式 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式,叫做方阵 A 的行列式,记作|A|或 detA.,3.一些特殊的矩阵(1)设 A 为 mn 矩阵,把它的行换成同序号的列得到的新矩阵,叫做 A 的转置矩阵,记作 A或AT.矩阵的转置也是一种运算,若运算可行,则有(AT)T=A,(A+B)T=AT+BT,(A)T=AT,(AB)T=BTAT.,(2)设 A 为 n 阶方阵,若满足 AT=A,则称 A 为对称矩阵;若满足 AT=-A,则称 A 为反对称矩阵.(3)设 A 为 n 阶方阵,若满足 A2=A,则称
5、 A 为幂等矩阵;若满足 A2=E,则称 A 为对合矩阵;若满足 AAT=ATA=E,则称 A为正交矩阵.,(4)行列式|A|的各元素的代数余子式 Aij 所构成的方阵,叫做方阵 A 的伴随矩阵.伴随矩阵具有重要性质:AA=AA=|A|E.,(5)主对角线以下(上)元素全为零的方阵称为上(下)三角形矩阵.(6)除了主对角线以外,其他元素全为零的方阵称为对角矩阵.,4.逆阵的概念(1)设 A 为 n 阶方阵,如果存在矩阵 B,使AB=BA=E,则称矩阵 A 是可逆的(或非奇异的、非退化的、满秩的），且矩阵 B 称为 A 的逆矩阵.若有逆矩阵,则 A 的逆矩阵是唯一的,记作 A-1.(2)相关定理
6、及性质(i)方阵 A 可逆的充要条件是|A|0.(ii)若矩阵 A 可逆,则 A-1=A/|A|.,(iii)(A-1)-1=A，(A)-1=1/A-1(0)，(AT)-1=(A-1)T.(iv)若同阶方阵 A 与 B 都可逆,那么 AB 也可逆,且(AB)-1=B-1A-1.5.矩阵的分块运算 矩阵的分块主要目的在于简化运算及便于论证,其运算法则同普通矩阵类似.,二、基本要求与重点、难点,熟练地掌握矩阵的加法、数乘及乘法运算以及运算律，正确掌握可逆矩阵的定义，会判别一个矩阵是否为可逆矩阵并能准确地求出一个矩阵的逆矩阵，包括利用矩阵的分块进行运算和求逆.重点）矩阵的运算及其性质；）逆矩阵的概念
7、及其求法.难点 逆矩阵的求法及其相关概念.,基本要求,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮
8、.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,
