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1、线性代数讲义1矩阵与行列式,张宏浩,1,2015/9/23,教材,2015/9/23,2,邓小成等主编，简明线性代数，中国人民大学出版社,向量的概念,行向量,列向量,或,3,2015/9/23,向量可视为特殊的矩阵,因此,向量的加法、数乘定义如下：,分量全部为零的向量称为零向量，记为 0。,则,4,2015/9/23,线性变换与系数矩阵：一个简单的例子,5,2015/9/23,一般的线性变换和系数矩阵,设有从变元 x1,xn 到变元 y1,ym 的线性变换,记,称矩阵 A 为线性变换的系数矩阵.,6,2015/9/23,mn 矩阵,aij:矩阵的第 i 行第 j 列的元素,用粗体大写字母表示矩
2、阵,以上矩阵记为 A(aij).,当标明矩阵 A 的行列数时,表示为 Amn,或(aij)mn.,只有一行(列)的矩阵称为行(列)矩阵或行(列)向量.,n 维行向量(行矩阵)记作,简称(i,j)元.,矩阵及其线性运算,7,2015/9/23,同型矩阵,若两个矩阵都是mn矩阵,则称它们是同型矩阵.,相等矩阵,如果 A=(aij)与 B=(bij)是同型矩阵,并且它们的对应元素相等,那么称矩阵 A 与矩阵 B 相等,记为 A=B.,零矩阵,所有元素为 0 的矩阵称为零矩阵,用 0 记之.,注:不同型的零矩阵是不相等的.,即,8,2015/9/23,两矩阵的和,设有两个 mn 矩阵 A=(aij)和
3、 B=(bij),矩阵 A 与 B 的和记作 AB,规定为,负矩阵,矩阵 A(aij)的负矩阵定义为-A(-aij).,矩阵的减法,9,2015/9/23,数与矩阵的乘积,数 k 与矩阵 A=(aij)的乘积称为数乘运算,记作 kA,矩阵的加法与数乘两种运算统称为矩阵的线性运算.,线性运算律,设 A,B,C 为同型矩阵,k,l 为数,则成立,(1),(2),(3),规定为,10,2015/9/23,练习1：设 A+2B-C=0,其中,解,求 x,y,u,v 的值.,解得,由 A+2B-C=0,得,11,2015/9/23,(1),设有两个线性变换,(2),将(2)代入(1),得,(3),线性变
4、换(3)称为由线性变换(1)与线性变换(2)复合而成的复合线性变换.,分别记线性变换(1),(2),(3)的系数矩阵为 A,B,C,和,定义 C=AB,即,从连续两次线性变换到矩阵的乘法,12,2015/9/23,两矩阵的乘积,设,记,AB 中第 i 行第 j 列的元素为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积.,例如：,13,2015/9/23,乘积 AB 存在时,要求 A 的列数与 B 的行数相等.,两矩阵的乘积,AB 中第 i 行第 j 列的元素为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积.,很可能 AB 有意义,而 BA 没有意义.,设,记,零矩阵的运算性质,14,2015/9/
5、23,练习2 计算,解,15,2015/9/23,解,矩阵的乘法不满足交换律.,在 AB 中,称用 A 左乘 B,或称用 B 右乘 A.,由 AB=O,不能断言 A=O 或 B=O.,乘法运算律,假设以下有关运算可行,则有：,(1),(2),(3),16,2015/9/23,线性变换的矩阵表示,可写成矩阵形式,利用矩阵乘法,上式记为矩阵形式 y=Ax,其中,线性变换,17,2015/9/23,线性方程组的矩阵表示,可记为矩阵形式 Ax=b,其中,当b 0 时,称方程组为非齐次的.,当b=0 时,称方程组为齐次的;,称矩阵 A 为线性方程组的系数矩阵.,称矩阵,为线性方程组的增广矩阵.,线性方程
6、组,18,2015/9/23,练习4：已知两个线性变换,解,求从 x1,x2,x3 到 z1,z2,z3 的线性变换.,所求为,19,2015/9/23,n 阶方阵,行数和列数都等于 n 的矩阵称为 n 阶方阵.,当标明方阵 A 的阶数时,用 An 表示.,三角矩阵,上三角矩阵,上(下)三角阵的乘积也是上(下)三角阵,下三角矩阵,2015/9/23,20,对角矩阵,单位矩阵,(单位矩阵有时也用 E 记之),单位矩阵的运算性质,对角阵的运算性质,21,2015/9/23,方阵的幂,设 A 是方阵,由 k 个 A 组成的乘积 AA,称为方阵A 的 k 次幂,记为 Ak.,规定 A0=I.,方阵幂的
7、性质,当 A 与 B 可交换,即 AB=BA 时,有下列几个公式:,(1),(2),(3),对角阵的幂,22,2015/9/23,解 先计算低次幂,观察特点.,假设,因此,则有,23,2015/9/23,解1,因此,解2,假设,则有,24,2015/9/23,解,其中,因 aE 与 B 可交换,于是,25,2015/9/23,转置矩阵,矩阵的转置运算,把矩阵 A 的各行作为相同序号的列,形成一个新的矩阵,称为矩阵 A 的转置矩阵,记为 AT 或 A.,例如,设,则有,试观察矩阵 A 有何特点?,3 阶幻方,26,2015/9/23,转置运算的性质,(1),(2),(3),(4),(4)的证明,
8、设,记,则有,于是,所以,即,27,2015/9/23,对称矩阵,设 A 为方阵,若有 AT=A,就称 A 为对称矩阵.,反对称矩阵,设 A 为方阵,若有 AT=-A,就称 A 为反对称矩阵.,任一方阵都可表示为一个对称阵与一个反对称阵之和.,证明,设 A 为方阵,则有,所以 S 为对称阵,而 T 为反对称阵,记,且有,28,2015/9/23,用消元法解二元线性方程组,二元线性方程组与二阶行列式,a22-a12 消去 x2 得,a11-a21 消去 x1 得,当 a11a22-a12a21 0 时,方程组的解为,29,2015/9/23,二阶行列式,对二元线性方程组,记,Cramer 法则,
9、方程组的解为,当系数行列式 D 0 时,30,2015/9/23,三阶行列式,行列式的递推（或叫归纳）定义,对 3 阶矩阵 A=(aij),把删去第 i 行及第 j 列后所得的 2 阶行列式称为元素 aij 的余子式,记为 Mij.,称(-1)i+j Mij 为元素 aij 的代数余子式,记为 Aij.,对 3 阶矩阵 A=(aij),记其相应的行列式为|A|,则有,(按第 j 列展开),(按第 i 行展开),31,2015/9/23,对 3 阶矩阵 A=(aij),把删去第 i 行及第 j 列后所得的 2 阶行列式称为元素 aij 的余子式,记为 Mij.,称(-1)i+j Mij 为元素
10、aij 的代数余子式,记为 Aij.,对 3 阶矩阵 A=(aij),记其相应的行列式为|A|,则有,验证按第2,3行及第1列展开:,(按第 j 列展开),(按第 i 行展开),32,2015/9/23,练习8 解关于变量 l 的方程,对角线法则,解,原方程的解为,33,2015/9/23,n阶行列式的归纳定义,称(-1)i+j Mij 为元素 aij 的代数余子式,记为 Aij.,假设 n-1 阶行列式已定义,对 n 阶矩阵 A=(aij),把删去第 i 行及第 j 列后所得的 n-1 阶行列式称为元素 aij 的余子式,记为 Mij.,n 阶方阵 A 的行列式记为det A(或|A|),定
11、义为,n 阶行列式 det A 完全展开成一个和式,共有 n!项,每一项由 A 中不同行不同列的 n 个元素的乘积构成,带有确定的正负号.,34,2015/9/23,Laplace 按行列展开定理,行列式等于某一行(列)的元素与其对应的代数余子式乘积之和.,即,练习9 计算 n 阶上三角行列式,解,2015/9/23,35,练习10 计算 n 阶行列式,Laplace 按行列展开定理,行列式等于某一行(列)的元素与其对应的代数余子式乘积之和.,即,解,36,2015/9/23,37,补注：,2015/9/23,行列式的性质,性质1 行列式 det A 与它的转置行列式 det AT 相等.,注
12、:由该性质可知,以下对行而言的性质,对列也成立.,性质2 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.,例如:,推论2 对 n 阶矩阵 A,有 det(kA)=kn det A.,性质3 若行列式某一行的元素都是两数之和,则该行拆开,原行列式可以表为相应的两个行列式之和.,推论1 有一行元素全为零的行列式值为零.,38,2015/9/23,性质4 对换两行,行列式值反号.,证明,对换相邻两行.,设对换D=det(aij)n 的r,r+1行而得D1.,记 D 的余子式为 Mij,则 D1 的 r+1 行及其余子式分别为 D 的 r 行及其余子式.,由Laplace 定理,D1 按第
13、 r+1 行展开,而 D 按第 r 行展开,得,对换任意两行.,设对换 D 的 r,r+k 行得 D1.,不难看出,D 可经过 2k-1 次对换相邻两行而得 D1.,于是,提示:,行号,39,2015/9/23,性质4 对换两行,行列式值反号.,推论1 有两行全同的行列式,其值为零.,推论2 若有两行元素对应成比例,则行列式值为零.,性质5 把行列式某一行的各元素乘以同一数,然后加到另一行对应的元素上去,行列式的值不变.,例如,40,2015/9/23,证明,左式,练习11 证明,=右式,41,2015/9/23,证明,左式,练习12 证明,42,2015/9/23,行列式值的计算,(2)利用
14、 Laplace 定理的降阶法.,(1)化为上(下)三角形行列式的所谓化三角形法;,行列式的计算基本过程就是利用性质逐步简化行列式的结构.,为了便于检查,引进以下记号:,用 ri rj 表示对换第 i,j 行;,用 kri 表示第 i 行乘以非零数 k；,用 rj+kri 表示把第 i 行的 k 倍加到第 j 行.,用 ci 表示第 i 列,有相仿的记号.,主要方法有两个:,2015/9/23,43,解1(化上三角形法),练习13 计算行列式,2015/9/23,44,练习13 计算行列式,解2(降阶法),2015/9/23,45,练习14 计算行列式,解,(每行之和相等),2015/9/23
15、,46,练习15 计算 n 阶 Vandermonde 行列式,解,按第 n 列展开,第 i 列提取公因式 xi-xn(i=1,n-1)得,递推公式:,由 V2=x2-x1 及递推公式,得,2015/9/23,47,证明,|A|经过若干次变换 ci+kcj 化为上三角行列式|U|,|B|经过若干次变换 ri+krj 化为上三角行列式|U|,在相同的变换下,设 A,B 都是方阵,则有,方阵乘积的行列式等于它们的行列式之积,2015/9/23,48,证明,行列式乘法定理：方阵乘积的行列式等于它们的行列式之积,设 A,B 为 n 阶方阵,则有,以2阶方阵为例证之.,2015/9/23,49,50,排
16、列、逆序数与奇偶性,由n个不同数码1,2,n 组成的有序数组 i1i2in,称为一个n元排列.,定义 在一个n级排列i1i2in中,如果有较大的数it排在较小的数is前面(isit),则称it与is构成一个逆序对.一个n级排列中逆序对的总数,称为它的逆序数,记为t(i1i2in).,n元排列共有n!个.,如果排列i1i2in的逆序数t(i1i2in)是奇数,则称为奇排列,是偶数或0则称为偶排列.,2015/9/23,51,例如 排列32514 中，,3 2 5 1 4,逆序数为5.,再如,由1,2,3这3个数码组成的3元排列共有3!=6种.其排列情况见下表.,这个排列的逆序数是,2015/9/
17、23,52,2015/9/23,53,在一个排列i1isitin中,如果仅将它的两个数码is与it对调,其它数码不变,得到另一个排列,这样的变换,称为一个置换.,定理 任一排列经过一次置换后改变奇偶性.,定理 n个数字(n1)共有n!个n元排列,其中奇偶排列各占一半.,2015/9/23,n 阶行列式的一般定义,定义:一个 n 行 n 列的方阵的行列式,定义为形如,其中 p1p2 pn 为自然数1,2,n 的任意一个排列,t(p1p2 pn)为排列p1p2 pn的逆序数.,的所有可能项之和,2015/9/23,54,2015/9/23,55,p1p2 pn的可能排列共有n!项，故上式的求和号是
18、对这n!项求和。,即,行列式也可写为,伴随矩阵,由 Laplace 定理知,设 A=(aij)为 n 阶方阵,Aij 为元素 aij 的代数余子式,当 i j 时,取,考虑行的情况,有类似的结果.,于是有,则 i,j 列相同,特别地有,2015/9/23,56,代数余子式的性质,以上性质可写成矩阵等式,2015/9/23,57,伴随矩阵,称 A 为方阵 A 的转置伴随矩阵.,设 Aij 为 n 阶方阵 A 的(i,j)元的代数余子式,记,2015/9/23,58,设 A 为 n 阶方阵 A 的伴随矩阵,则有,伴随矩阵的性质,(1),(2),证明,由(1)两边取行列式,得,当|A|0 时,由上式
19、即得(2).,当|A|=0 时,可证|A|=0:,注:当|A|0 时,记,则,若|A|0,则(A)-1 存在.,于是,故 A=O,与|A|0矛盾.,2015/9/23,59,方阵 A 可逆时,其逆矩阵唯一,记为 A-1.,证明,逆矩阵,如果存在矩阵 B,使 AB=BA=E那么称方阵 A 为可逆的,并称 B 为 A 的逆矩阵.,逆矩阵,设 C 也为方阵 A 的逆矩阵,则有,注:当|A|0 时,记,则,2015/9/23,60,逆矩阵计算公式,非奇异矩阵 A 可逆,且其逆矩阵为,如果|A|0,那么称方阵 A 为非奇异矩阵.,如果|A|=0,那么称方阵 A 为奇异矩阵.,注:当|A|0 时,可逆方阵
20、 A 为非奇异矩阵,且有|A-1|=|A|-1.,证明,由 AA-1=E,得|A|A-1|=1.,于是|A|0,方阵 A,为非奇异矩阵,且有,记,则,2015/9/23,61,解,2015/9/23,62,解,由 AX=A+2X,得(A-2E)X=A,设 A 可逆,则矩阵方程 AX=B 有唯一解 X=A-1 B.,设 A 可逆,则矩阵方程 XA=B 有唯一解 X=BA-1.,2015/9/23,63,设 A 可逆,则矩阵方程 AX=B 有唯一解 X=A-1 B.,设 A 可逆,则矩阵方程 XA=B 有唯一解 X=BA-1.,注:,当|A|0 时,A 可逆,方程组 Ax=b 有唯一解,因此,记,
21、则有,Cramer 法则,2015/9/23,64,解,线性变换的系数矩阵,所求逆变换为,设 A 可逆,则线性变换 y=Ax 的逆变换为 x=A-1 y.,2015/9/23,65,证明,由 AB=E,得|A|B|=1,定理1 设 A,B 为 n 阶方阵,若 AB=E,则 A,B 可逆,且有,因此 A,B 可逆.,于是|A|0,|B|0,练习19 设 A3=O,证明,证明,因此,2015/9/23,66,提示,练习20 设 A 满足方程 A2-2A-4E=O,证明 A+2E 可逆并求其逆.,证明,因此 A+2E 可逆,且有,2015/9/23,67,逆矩阵的性质,设 A,B 为 n 阶可逆矩阵
22、,则有,(5)的证明,(3)的证明,2015/9/23,68,解,练习21 已知 A 为三阶方阵,且|A|=2,求|2A-1|,|A|和,2015/9/23,69,矩阵分块法,用若干条横、竖线将矩阵分块,每一小块称为子矩阵.以子矩阵为元素的形式上的矩阵,称为分块矩阵.,例 将 34 矩阵分块,分块法有多种.,例如:,试问:共有多少种分块法?,22 分块:,23 分块:,2015/9/23,70,练习22 设 a,a1,a2,a3,b 均为 4 维列向量,且,解,若|A|=a,|C|=c,则|A+2B|=_.,2015/9/23,71,矩阵的分块运算,只要保证子矩阵之间的运算可行,分块矩阵的运算
23、规则与普通矩阵的运算规则相仿.,(1)设矩阵 A 与 B 为同型矩阵,采用相同的分块形式,其中 Aij 与 Bij 为同型矩阵,则有,2015/9/23,72,矩阵的分块运算,只要保证子矩阵之间的运算可行,分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相仿.,(2)设 A 为 ml 矩阵,B 为 ln 矩阵,分块成,记,则有,2015/9/23,73,解,由已知|A|0,|B|0,而|D|=|A|B|0,因此 D 可逆.,解得,因此,则,2015/9/23,74,分块对角阵,(3)A 可逆的充分必要条件是 Ai(i=1,s)都可逆,且有,其中 Ai(i=1,s)都是方阵,空白处元素全为零.,性质,(1),(2),2015/9/23,75,解,令,则有,2015/9/23,76,解,令,则有,2015/9/23,77,
