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,第三节 正交变换,定义 7 设T是欧氏空间V 中的一个线性变换，对任意的,V 都有,则称T 是一个正交变换。,正交变换可以从几个不同的方面来加以刻划。,定理 3 设T 是n 维欧氏空间V 的一个线性变换，则以下四个命题相互等价：,（1）T 是正交变换；（2）T 保持向量的长度不变，即对于任意 V,有|T()|=|;（3）若1,2,n 是V 的一个标准正交基，则T(1),T(2),T(n)也是V 的标准正交基；（4）T 在任意一个标准正交基下的矩阵是正交矩阵。,（证略）,由线性变换与矩阵的一一对应可知：（1）正交变换的乘积还是正交变换；（2）正交变换是可逆变换，且其逆变换也是一个正交变换。,由ATA=E,得|AT|A|=|A|2=|E|=1,于是有|A|=1。称行列式等于+1的正交变换为第一类正交变换，行列式等于1的正交变换为第二类正交变换。,例1 平面上全体向量构成的二维欧氏空间R2，把平面绕原点按逆时针方向旋转角的线性变换T。它在标准正交基e1,e2下的矩阵为,这是一个第一类正交变换。,例2 在平面上取定一个直角坐标系，把每个向量对x 轴作一次反射，即,这是一个线性变换，它在标准正交基e1,e2下的矩阵为,这是一个第二类正交变换。,
