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1、绪论,问题描述：,Lagrange定理：给定n+1个不同点，插值这n+1,当我们手里握着n+1个黄豆，随意抛到地平面上，建立直角坐标系，每个黄豆将占据一点，求一条n次多项式曲线插值这n+1个点？,个不同点的n次多项式曲线存在且唯一.,比如：100个黄豆，99次多项式曲线.,100个黄豆：,用高斯消元法求解麻烦！,寻找新工具便于用计算机求解,4个黄豆模拟,绪论,一个应用：二次曲线和二次曲面的形状判定,线性代数的中心内容：,线性方程组求解,解的存在性,解的结构,由高斯消元法引入两个求解工具,行列式,矩阵,一个中心方法：矩阵的初等行变换,一次方程,第一章 1 行列式的定义,本节我们将讨论：方程个数和
2、未知数个数相同，且系数满足特定条件的线性方程组的求解，从而得到行列式这个工具.,本节结构,二阶行列式的引出,三阶行列式的引出,n阶行列式的引出,四类特殊行列式计算,克拉默（Cramer）法则,我们从最简单的二元方程组出发，探索其解的规律,一、二阶行列式的引出,用高斯消元法求其解：,方程组有唯一解,请观察，此公式有何特点？,1、分母相同，由方程组的四个系数确定.,2、分子分母都是两数乘积之差.,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表,数,称为数表（4）所确定的,二阶行列式,记为,用二阶行列式表示两数乘积之差,二阶行列式定义,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,系数行列式,
3、于是,方程组有唯一解,例1,解,二、三阶行列式的引出,进行高斯消元可以得到：,其中,三阶行列式定义,记,（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.,三阶行列式的计算,例2 解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式,故方程组的解为:,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.,对角线法则,二阶与三阶行列式的计算,例3,解,设所求的二次多项式为,由题意得,又,得,故所求多项式为,三、n 阶行列式的引出,由二元方程组（两个变量、两个方程）,求解得二阶行列式,由三元方程组（三个变量、三个方程）,求解得三阶行列式,由n 元方程组（n 个变量、n 个方程）,求解得n 阶行列式,大胆猜测,当,时,是
4、用,替换,而得.,中的第i列,但是四阶及以上阶行列式没有对角线法则,-正确求解线性方程组的解,说明:,观察二阶与三阶行列式的计算,n阶行列式的计算原则,共同特性之一是对角线法则；,并试图推广到n阶行列式，且能正确求解方程组.,于是寻找二阶和三阶行列式计算的其它共性,预备知识-全排列及其逆序数,元素的全排列,把n个不同的元素排成一列，叫做这n个,标准次序：由小到大的次序,时，就说有一个逆序。,当某两个元素的先后次序与标准次序不同,一个排列中的所有逆序的总数叫做这个,排列的逆序数.,例如排列 54231,t=9,5前面比5大的数有0个；4前面比4大的数有1个；2前面比2大的数有2个；3前面比3大的
5、数有2个；1前面比1大的数有4个.t=0+1+2+2+4=9,5 4 2 3 1,自然排列,若一个排列中的所有元素按标准次序,排列，则称之为标准排列或自然排列.,逆序数为奇数的排列叫做奇排列；,逆序数为偶数的排列叫做偶排列.,观察二阶行列式,不同行不同列2个元素的乘积；,1项为正,1项为负；,2！项的代数和；,观察二阶行列式,当行标调成标准排列时,列标排列,逆序数t,1 2,2 1,0,+,-,1,观察三阶行列式,3!项代数和,不同行不同列三个元素的乘积,三项为正,三项为负.,观察三阶行列式,当行标调成标准排列时,列标排列,逆序数t,123,0,+,231,2,+,312,2,+,321,3,
6、-,213,1,-,132,1,-,n 阶行列式定义,将n2个数排成n行n列的数表，按下列规,称为n阶行列式,其中t为列标排列的逆序数。,则计算出的数，即,n 阶行列式定义的三个要点,（1）是n!项的代数和；,如果一个行列式有一行（或一列）的元素全为零，则此行列式的值必为零。,（2）每一项的符号由逆序数的奇偶性确定；,（3）每一项是取自不同行不同列的n个元素的乘积（这样的项恰有n!项）.,由行列式的定义不难看出：,四、思考与讨论,=-24,or 24?,五、四类特殊行列式计算,1）主对角行列式,2）副对角行列式,的逆序数为,3）下三角行列式,4）上三角行列式,n 阶行列式也可以定义为：,行标逆序,六、关于克拉默（Cramer）法则,非齐次线性方程组,（），,定理 非齐次线性方程组（），当,有唯一解,非齐次线性方程组,定理 非齐次线性方程组（）,（），,可能无解，可能有无穷多解,时,有无穷多解,无解,齐次线性方程组,（）,定理 齐次线性方程组（），,定理 齐次线性方程组（），,时有非零解,时只有零解,思考题：,当,取何值时,有唯一解？,有唯一解,解,练习：判断下面各方程组解的存在情况,小结,二阶行列式,三阶行列式,n阶行列式,四类特殊行列式计算,克拉默（Cramer）法则,
