线性方程组的消元法、矩阵及其初等行变换.ppt

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1、线性代数,Linear Algebra,理学院数学系 韩 维,办公室 18-903,927,学分获取,点名,+,=,复习,作业,其它,平时,期末,总评,笔记,作业,总结,练习,书本,邮箱密码：xd2013,2023/11/16,3,David C.Lay：线性代数是最有趣最有价值的大学数学课程 线性方程组的应用：剑桥减肥食谱问题、电路问题、交通流问题、马尔科夫链、联合收入问题、现代飞行器外形设计例等等 向量组的线性相关性的应用：药方配制问题等 可逆矩阵的应用：密码问题等 矩阵对角化应用：行业就业人数预测、人口迁移、人口分布趋势分析等 二次型应用：如政府合理分配修路、修公园资金等,注,了解线性代

2、数,2023/11/16,4,应用线性代数相关学科：工程学，计算机科学，物理学，数学，生物学，经济学，统计学，力学，信号与信号处理，系统控制，通信，航空等学科和领域 应用线性代数相关后继学科：电路、理论力学、材料力学、计算机图形学、计算机辅助设计、系统动力学、自动控制原理、机械振动、机器人学、密码学、虚拟现实等课程无不以线代为其理论和算法基础的一部分,注,了解线性代数,2023/11/16,5,在数学上，线性函数关系是直线，而非线性函数关系是非直线，包括各种曲线、折线、不连续的线等；线性方程满足叠加原理，非线性方程不满足叠加原理；线性方程易于求出解析解，而非线性方程一般不能得出解析解-阿尔文托

3、夫勒(Alvin Toffler1928-)，未来学大师、世界著名未来学家,注,了解线性代数,本学科体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等可以强化数学思维训练。,学习方法是大学教学的重要内容,2023/11/16,6,科学的发展决定了不仅要研究单个变量之间的关系，还要研究多个变量之间的关系。各种实际问题在大多数情况下可以线性化。计算机的迅速发展，线性化了的问题又可以计算出来。大量的理论及应用问题可以通过“线性化”变成线性代数问题。线性代数的重要性在于它考虑了一类简单的数学模型。解决这些问题的有力工具。,注,了解线性代数,2023/

4、11/16,7,线性代数和微积分学是数学的两大支柱，是所有理工科学生的必修课程.,线性代数是高等代数的一大分支。一次方程称为线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。知识链：线性方程组-行列式-矩阵-向量,注,了解线性代数,2023/11/16,8,大学数学学什么？怎样学？,数学教育本质上是一种素质教育-中国科学院院士 李大潜,通过数学的训练，可以使学生树立明确的数量观念，“胸中有数”，认真地注意事物的数量方面及其变化规律。,怎样做 为什么这样做 不这样做可以吗 H

5、ow?Why?Other ways?,注,未来的文盲不再是目不识丁的人，而是那些没有学会怎样学习的人-Alvin Toffler(America),了解线性代数,2023/11/16,9,了解线性代数,数学概观:“如果不熟悉线性代数的概念，如线性性质、向量、线性空间、矩阵等，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多，甚至学习社会科学也是如此”。-瑞典数学家Lars Garding,2023/11/16,10,参考资料：,线性代数同济大学第四版线性代数五讲龚昇 编著 数学概观、数学拾遗ThomasA.Garrity 高等代数教程-习题集王萼芳编 清华大学出版社,了解线性代数,2023/11/16

6、,11,参考资料：,线性代数的本质-心得原来线性代数很简单-生动形象 线性方程组在各学科各知识点的应用,了解线性代数,话说很久以前，有群吃饱饭没事干的数学家正在研究方程组，其中有一个特别吃得饱的突然对大伙说：“兄弟，不觉得写一堆方程式然后一个一个的代入消元太麻烦了吗？特别是浪费纸！”其他人点头称是，于是大家研究一番，发现如果把方程组的系数提出来计算更加的省纸，于是行列式诞生了！并且得出了克拉默法则！,真是“吃饱了撑得”,线性代数的诞生,故事是这样发生的,2023/11/16,13,如果方程组的个数很少，是不能构成行列式的（行列式一定是方阵）。于是又有一个人提出了矩阵，利用符号表示没有任何关系的

7、系数，并得到了矩阵的秩的概念，利用它就可以讨论方程组解的情况了！从此一场数学界的思想革命开始了！矩阵的出现方便了求解线性方程组，但是那群数学家非常不甘心，“连个小牛顿都能有万有引力，咱们得努力一下，弄个像样的数学工具！”一个数学家说！于是他们又想到了把线性方程组用有序的数列来表示，这样向量诞生了。,线性代数的诞生,2023/11/16,14,原来这些数学家在想办法利用秩的概念讨论线性关系找到多余的方程把它去掉，剩下的才是值得分析的方程组，原来在省纸。,线性代数的发展,知识链：线性方程组-行列式-矩阵(秩)-向量-向量空间,2023/11/16,15,如图给出了某城市部分单行街道在一个下午早些时

8、候的交通流量（每小时车辆数目）。计算该网络的车流量。,引例 交通流问题,2023/11/16,16,由,引例 交通流问题,网络流量假设，有对于节点A：对于节点B：对于节点C：对于节点D：对于节点E：,问题归结为如下线性方程组的求解（有解还是无解）：,线性方程组的解法System of Linear Equations,第一章,线性方程组的消元法,矩阵及其初等行变换,应用举例,第一节线性方程组的消元法,2023/11/16,19,公元前1世纪,九章算术:初等行变换,相当于高斯消元法 17 世纪后期,德国数学家莱布尼茨:含两个未知量三个方程的线性组 18 世纪上半叶,英国数学家麦克劳林:具有二、三

9、、四个未知量的线性方程组 得到了现在称为克拉默法则的结果 瑞士数学家克拉默不久也发表了这个法则,了解：关于线性方程组,2023/11/16,20,18世纪下半叶，法国数学家贝祖:对线性方程组理论进行了一系列研究 证明了n元齐次线性方程组有非零解的条件是 系数行列式等于零 19世纪，英国数学家史密斯和道奇森:前者引进了方程组的增广矩阵的概念 后者证明了n个未知数m个方程的方程组相容 的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同,了解：关于线性方程组,2023/11/16,21,1、基本概念,线性方程：,设 为实未知量，为实数，n m k l为正整数,线性方程组：,线性方程组的解、相容consisten

10、t、不相容、解集、通解(一般解)、同解（等价）方程组,2023/11/16,22,Gauss消元法（Gaussmethod）,a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2,(a11a22a12a21)x1=b1a22a12b2(a11a22a12a21)x2=a11b2b1a21,当a11a22a12a21 0时,具体实例见P3 例2,2023/11/16,23,1/2,对换变换(swapping),倍乘变换(rescaling),倍加变换(pivoting),阶梯形方程组(echelon form),2、Gauss消元法实例,统称为：同解变换,2023/11/16,24,阶梯形

11、(echelon form),最简形(reduced echelon form),或写成向量形式,由此可得原方程组的通解(general solution),其中c为任意数.,2、Gauss消元法实例,2023/11/16,25,(1)线性方程组的初等变换,对换变换(swapping),倍乘变换(rescaling),倍加变换(pivoting),3、Gauss消元法实例小结,2023/11/16,26,(2)阶梯形线性方程组的有三中基本类型.,例如:,3、Gauss消元法实例小结,无解,有唯一解,有无数解,2023/11/16,27,(3)阶梯阵的形状与线性方程组的解.引入矩阵,无解,有唯一

12、解,有无数解,解的数目,2023/11/16,28,1/2,注：解只与相应的系数和右边常数有关，故可用矩阵表示如下,2023/11/16,29,第二节矩阵及其初等行变换,2023/11/16,30,“矩阵(matrix)”这个 词首先是英国数学家 西尔维斯特使用的.,他为了将数字的矩形 阵列区别于 行 列 式(determinant)而发明了这个述语.,James Joseph Sylvester,(),一、关于矩阵的历史,2023/11/16,31,英国数学家凯莱 被公认为是矩阵 论的创立者.,他首先把矩阵作为 一个独立的数学概 念,并发表了一系 列关于这个题目的 文章.,一、关于矩阵的历史

13、,2023/11/16,32,二、实例,例1.四个城市间的单向航线如图所示.,用 aij 表示从 i 市到 j 市航线的条数,则上图信息可表示为,2023/11/16,33,例2.线性方程组的一般形式为,如果把未知量的系数按其原来的相对位置排成一个矩形的样子，则为一个矩阵。,系数矩阵,增广矩阵,二、实例,2023/11/16,34,三.矩阵的定义,1.mn 矩阵,元素aij(1 i m,1 j n),2023/11/16,35,Def.2.1,由 个数,排成 m 行 n 列的数表,称为 m 行 n 列矩阵，简称 矩阵。,Note:1、前行后列；2、与行列式的区别,这 个数称为矩阵 A 的元素，

14、称为矩阵 A 的第 i 行、第 j 列元素。（实矩阵、复矩阵）,简记,同型矩阵：矩阵的行数相等，列数也相等 注,三.矩阵的定义,2023/11/16,36,如果 与 是同型矩阵，且,称矩阵 A 与B 相等，记为 A=B,相等的必要条件是同型,常见的特殊矩阵：,1、列矩阵：,2、行矩阵：,3、零矩阵：O,4、方 阵（n 阶方阵）：对角线（对角线）,2023/11/16,37,5、上三角形矩阵（上三角阵）在n 阶方阵中，rik=0 其中i k.,6、下三角形矩阵（下三角阵）在n 阶方阵中，lik=0 其中i k.,2023/11/16,38,7、对角阵：,8、数量矩阵：,9、单位矩阵：,的数量矩阵

15、,记作 En 简记 E,Note:5 9 概念的前提是方阵。,2023/11/16,39,四、矩阵表示举例：,Example3 婚姻问题(matching problem),女儿,追求者,A,B,C,E,D,F,3,27,1,5,10,4,26,28,如何嫁娶，使获得的礼品最多？,7,2023/11/16,40,“锤子，剪刀，布”的游戏，也是一种矩阵对策。如果约定：胜者得1分，负者得-1分，平手得0分，而且双方的策略都按锤子，剪刀，布的顺序。,锤子 剪刀 布,锤 剪 布,策略,简化后某一方的赢得矩阵为：,Example 4：赢得矩阵,四、矩阵表示举例：,2023/11/16,41,思考（赢得矩

16、阵）,（这是对策论的问题）,我国古代有“齐王赛马”的事例，战国时代齐王与其大将田忌赛马，双方约定各出上、中、下 3 个等级的马各一匹进行比赛，共赛马 3 次，每次比赛的败者付给胜者千金已知.在同一等级的比赛中，齐王之马可稳操胜券，但田忌的上、中等级的马分别可胜齐王的中、下等级的马.,齐王与田忌在排列赛马出场顺序时，各可取下列 6 种策略之一：,1(上、中、下)2(中、上、下),3(下、中、上)4(上、下、中),5(中、下、上)6(下、上、中),则可得齐王的赢得矩阵：,2023/11/16,42,说明：,对策论研究冲突对抗条件下最优决策问题的理论,对策也称博弈（Game）,是自古以来的政治家、军

17、 事家（现在更多的是经济学家）关注研究的问题.作为 一门学科是20世纪40年代形成并发展起来的.1944年 冯.诺依曼(Von Neumann)与摩根斯特(O.Morgenstern)合作出版了博弈论与经济行为一书，标志着现代系 统博弈理论的初步形成.,20世纪50年代，纳什(Nash)建立了非合作博弈的“纳什均衡”理论，标志着博弈的新时代开始，是纳什在经济博弈论领域划时代的贡献，是继冯.诺依曼之后最伟大的博弈论大师之一.1994年纳什获得了诺贝尔经济学奖.,2023/11/16,43,对策论的例：,囚犯的两难处境,一位富翁在家中被杀，财物被盗。警方抓到两个犯罪嫌疑人，并从他们的住处搜出被害人

18、家中丢失的财物。但是，他们矢口否认曾杀过人，辩称是先发现富翁被杀，然后只是顺手牵羊偷了点儿东西。于是警方将两人隔离，分别关在不同的房间进行审讯。由地方检察官分别和每个人单独谈话。检察官给出了上表的政策，囚犯该怎么办呢？他们面临着两难的选择坦白或抵赖。,结果：两人都选择了坦白，各被判刑5年。这个结局被称为“纳什均衡”也称非合作均衡。,2023/11/16,44,“纳什均衡”对亚当斯密的“看不见的手”的原理提出挑战。按照斯密的理论，在市场经济中，每一个人都从利己的目的出发，而最终全社会达到利他的效果。从“纳什均衡”我们引出了“看不见的手”的原理的一个悖论：从利己目的出发，结果损人不利己，既不利己也

19、不利他。“纳什均衡”提出的悖论实际上动摇了西方经济学的基石.,对策论的例,2023/11/16,45,2 矩阵及其初等行变换,五、矩阵的初等行变换,Definition 2,设 A 是 mn 矩阵，下面三种变换称为矩阵的初等行变换：,（1）交换 A 的第 i 行和第 j 行的位置，记为；,（2）用非零常数 k 乘以 A 的第 i 行各元素，记为,（3）将 A 的第 i 行各元素的 k 倍加到第 j 行对应元素，记为,注意记号,行 row,2023/11/16,46,第 一 章 线性方程组的解法,Definition 3,若矩阵 A 经过有限次初等行变换变成矩阵 B，则称矩阵 A 与 矩阵 B

20、行等价，记作.,例如：用消元法求解线性方程组,可通过对增广矩阵初等行变换得到.,即,代入即得 x1=2，x2=3.,即,不是等号,2023/11/16,47,再如：,用消元法求解线性方程组,2023/11/16,48,第 一 章 线性方程组的解法,解：,（消去法化简）,2,结论：该方程组有解，且有无穷多解.,同解变换：1、交换方程次序；2、用一个非零数乘某个方程；3、将一个方程的 k 倍加到另一个方程上.,自由未知量,令 x3=k（k 为任意常数）得：,实际给了3个方程,2023/11/16,49,再看 刚才的求解过程:,称为行阶梯形矩阵,化行阶梯形矩阵即为消元过程,方程组是否有解由此判断,对

21、应的同解方程组为：,2023/11/16,50,称为行最简形矩阵,由此求解方程组,化行最简形矩阵即为代入过程,谁是自由变量？唯一吗？,2023/11/16,51,2 矩阵及其初等行变换,Theorem 1,任一 mn 非零矩阵 A=(aij)必可通过,初等行变换化为行最简形.,Example 5,Solution:,用初等行变换将矩阵,化为行最简形.,2023/11/16,52,第 一 章 线性方程组的解法,Example 6 利用初等行变换求解线性方程组,Solution:,令 x4=k（k 为任意常数）得：,也称为 Gauss-Jordan 消元法,2023/11/16,53,2 矩阵及其

22、初等行变换,Example 7 利用初等行变换求解线性方程组,Solution:,令 x3=k（k 为任意常数）得：,2023/11/16,54,第 一 章 线性方程组的解法,Theorem 2,对于 n 元线性方程组，当增广矩阵的行阶梯形最后一个非零行是矛盾方程时,则方程组无解；否则方程组有解，且（1）当增广矩阵的行阶梯形有 n 个非零行时，方程组有唯一解；（2）当增广矩阵的行阶梯形少于 n 个非零行时，方程组有无穷多组解.,会大于n 吗？,GaussJordan 消元法的关键：,1、消元过程:将增广矩阵化为行阶梯形矩阵;,2、代入过程:将行阶梯形矩阵化为行最简形矩阵.,初等行变换,2023/11/16,55,第 一 章 线性方程组的解法,完,2023/11/16,56,习题1作业,P14，习题1的第1(3)、2(2)、3(3),2023/11/16,57,点名篇保持课堂纪律,迟到早退进出自由说话睡觉吃吃玩玩无故旷课,2023/11/16,58,作业篇平时的基础,按时（每周五收、发）保质保量,