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1、第三章 线性系统的运动分析,3.1 运动分析的含义,3.1.1 问题的提出及其解的存在 惟一性 分析系统运动的目的:从其数学模型出发,定量地和精确地定出系统运动的变化规律,以便为系统的实际运动过程做出估计.只有当状态方程的满足初始条件的解存在且唯一时,对系统运动的分析才有意义.,3.1.2 线性系统响应的特点,线性系统满足叠加原理 可以把系统在初始状态和输入向量作用下的运动,分解为两个单独的分运动,即由初始状态引起的自由运动和由输入作用引起的强迫运动;系统由初始状态和由输入作用引起的整体响应就由零输入响应(输入为零时)与零状态响应(初始状态为零时)两者的叠加。,3.2 状态转移矩阵及其性质,3
2、.2.1 线性齐次方程的解空间,定理 齐次方程,的所有解的集合组成实数域上的n维向量空间。,3.2.2 状态转移矩阵的定义,定义 设,是方程,的一组线性独立的解，那么矩阵,称为方程,的基本解阵。,性质1 如果,满足方程,且对某个,非奇异，那么,必为方程,的基本解阵。,性质2 对任意,，基本解阵,都是非奇异的。,定义3.2.2 令,是方程,的基本解阵，则矩阵,称为系统的状态转移矩阵。,3.2.3 状态转移矩阵的性质,命题 设,为系统,的状态转移矩阵，则它具有下述性质：,1.自反性：对任意,，有,2.反身性：对任意,和,，有,3.传递性：对任意,，,和,，有,命题 设,为系统,的状态转移矩阵，且系
3、统,满足解的存在唯一性条件，则,与方程,的基本解阵的选取无关,且由下述矩阵微分方程惟一决定,3.3 线性时变系统的运动分析,3.3.1 线性时变系统的零输入响应,定理 设时变线性系统满足解的存在 唯一性条件，记,为其状态转移矩阵,则,定理 设线性时变系统满足解的存在 唯一性条件，记,3.3.2 线性时变系统的零状态响应,为其状态转移矩阵，则,3.3.3 时变线性系统的整体响应,解:首先来求状态转移矩阵，为此来考虑零输入时的状态方程,对其求解可以得到,取两组不同的初值,和,下面我们来计算系统的响应,3.4 线性定常系统的运动分析,3.4.1 矩阵指数函数,6.,命题 设,方法1 基于Levirr
4、ier算法求取方法2 基于Jordan分解求取,具有互异特征值,为,的与,相对应的特征向量，记,则,命题 设,为一,阶Jordan块，,为其特征值，则:,阶方阵，且具有互异特征值,时，式,成立。,命题 设,为,，则当取,方法3 基于Cayley-Hamilton定理计算,（二重），,（三重），,具有重特征值但为循环阵时，比如其特征值为,当,，,此时有,3.4.2 线性定常系统的响应,定理 定常线性系统,的状态转移矩阵为,定理 给定线性定常系统，则它的,1.零输入状态响应和零输入输出响应 分别是:,3.整体的状态和输出响应分别为,推论 设矩阵,具有互异特征值,，,为对应的右特征向量，记,则:,命
5、题 相互代数等价的定常线性系统 具有相同的零初始状态下的输出响应 和零输入条件下的输出 响应。,例 已知系统,3.5 脉冲响应矩阵,3.5.1 单变量情形的简单回顾 系统的脉冲响应函数是它的传递函数的Laplace反变换。脉冲响应函数描述了系统输入-输出的时域关系。传递函数描述了系统输入-输出的频域关系。,定义 考虑一个具有,个输入端和,3.5.2 脉冲响应矩阵的定义与系统的输出响应,称为系统的脉冲响应矩阵。并且，由于系统满足因果律，且总是假定系统的输出在输入加入之前的所有瞬时为零，所以,具有性质,和,3.5.3 状态空间模型的脉冲响应矩阵,定理 由,所描述的线性系统的脉冲响应矩阵为,或将其写成常用的形式,定理 两个代数等价的线性定常系统 具有相同的脉冲响应矩阵。,3.5.4 脉冲响应矩阵与传递函数矩阵,定理 用,定理 给定两个线性定常系统,设两者具有相同的输出和输入维数，但它们的状态维数可不一定相同，则此两系统具有相同脉冲响应矩阵的充要条件是:,
