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1、线性系统理论,主讲：韦文斌,第一章 数学基础,1.1线性空间与线性变换线性空间定义在集合上赋予一定的结构或一定的要求,这个集合就称为一个特定的空间。定义1.1.1线性空间定义（11页）：设V是一个非空集合,P是一个数域,则 也是实数域 R上的线性空间。因此不难看出，实数域上的线性空间的本质是指他们内部的运算具有线性性。,例 设 是线性空间，则不难验证,是 的子空间。它也称为由 构成的子空间。,例 设,是线性空间,是 的子空间，也称 是由 所生成的子空间,例 设 是线性空间，显然，那么 是 的子空间，称为零子空间。,线性空间的基和维数,例 在欧氏空间 中选取个无关向量它们便构成 的一组基。因此，
2、也称为 维欧氏空间。,线性变换,例 记 这里 表示 区间上一次可微函数的全体，表示 区间上连续函数的全体。容易验证 都是实数域 上的线性空间。定义也不难验证 是 到 的线性变换，有时也称为线性算子或微分算子。,例 令则 为 上的线性变换，易知是 的核空间，即,显然，若向量 构成 的一组基，则由上述基的定义可知，对所有，均可以惟一表成我们称 为关于基 的坐标。若向量 构成 的另一组基，则有,而对任意，有,由此可知 我们称 为基 和基 之间的坐标变换。容易验证，坐标变换也是 上的线性变换。,1.2 矩阵代数中的几个结果,矩阵必秩的条件定义 矩阵 列秩:矩阵中列向量的最大线性无关组的个数；行秩:矩阵
3、中行向量的最大线性无关组的个数。矩阵的行秩与列秩相等。矩阵A的行秩和列秩称为矩阵A的秩。,Vendermonde矩阵与友矩阵,Vendermonde矩阵及基性质,友矩阵及其性质,Cayley-Hamilton定理与化零多项式,豫解矩阵与Leverrier算法,1.3 多项式矩阵,基本概念,1.3.2 初等变换,多项式的初等行(列)变换,是指下列三种典型操作:矩阵的两行(或两列)互换位置;矩阵的某一行(或某一列)乘以非零的常数C;矩阵的某一行(或某一列)加上另一行(或列)的(s)倍,(s)为一个多项式。,1.3.3 Smith标准型,定义 如果可以用一系列初选变换将多项 式方阵A(s)化为多项式
4、矩阵B(s),则称多项式A(s)和B(s)互相等价。等价是多项式矩阵之间的一种关系，有下述三个性质：反身性，每一个多项式矩阵均与自身等价；对称性，A(s)等价B(s)，B(s)等价A(s)；传递性，A(s)等价B(s)，B(s)等价C(s)，A(s)等价C(s)。,1.4有理分式矩阵及其互质分解,1.4.1 互质多项式矩阵,1.4.2 有理分式矩阵的互质分解,1.5 Jordan分解,特征值的几何重数与代数重数,矩阵某特征值的几何重数:矩阵的Jordan标准型与该特征值相关联的Jordan块的个数.矩阵某特征值的代数重数:矩阵的Jordan标准型与该特征值相关所有的Jordan块的阶数之和.,广义特征向量链,我们可对应地将特征向量矩阵V按列做如下分块,1.5.3 Jordan分解的求取,1.6 广义Sylvester矩阵,求解问题与假设条件,完全解析解之一,完全解析解之二,例1.6.1 设则由算法1.4.1 易得从而由定理易得，以该组矩阵构成的广义sylvester矩阵方程的完全解析通解为,如果特别取可得该方程的一组特解为,
