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1、1.证明等式,解：.,2.求 中 项的系数.,解：.,3.有红、黄、蓝、白球各两个，绿、紫、黑的球各3个，问从中取出10个球，试问有多少种不同的取法？,解：.,4.求由A,B,C,D组成的允许重复的排列中AB至少出现一次的排列数目。,解：.,5.求n位四进制数中2和3必须出现偶次的数目。,解：.,6.试求由a,b,c三个文字组成的n位符号串中不出现aa图像的符号串的数目。,解：.,7.证明序列的母函数为,解：.,8.证明,解：.,9.利用，改善 4(2)的 估计式。,解：.,10.8台计算机分给3个单位，第1单位的分配量不超过3台，第2单位的分配量不超过4台，第3个单位不超过5台，问共有几种分
2、配方案？,解：.,11.证明正整数n都可以唯一地表示成不同的且不相邻的Fibonacci数之和。即,注意 是相同的Fibonacci数。,解：.,12.设空间的n个平面两两相交，每3个平面有且仅有一个公共点，任意4个平面都不共点。这样的n个平面把空间分割成多少个不重叠的域？,解：.,13.相邻位不同为0的n位2进制数中一共出现了多少个0？,解：.,14.在Hanoi塔问题中，在柱A上从上到下套着n个圆盘，其编号依次从1到n。现要将奇数编号与偶数编号的圆盘分别转移到柱B和柱C上。转移规则仍然是每次移动一个，始终保持上面的比下面的小。一共要移动多少次？,解：.,15.一书框中有m格，每格各放n册同
3、类的书，不同格放的书类型不同。现取出整理后重新放回，但不打乱相同类。试问无一本放在原来位置的方案数应多少？,解：.,16.设一矩形,其中 作 使得 是一正方形。试证矩形 和 相似。试证继续这过程可得一和原矩形相似的矩形序列。,解：.,17.平面上有两两相交，无三线共点的n条直线，试求这n条直线把平面分成多少个域？,解：.,18.在一圆周上取n个点，过一对顶点可作一弦，不存在三弦共点的现象，求弦把圆分割成几部分？,解：.,19.求n位二进制数相邻两位不出现11的数的个数。,解：.,20.从n个文字中取k个文字作允许重复的排列，但不允许一个文字连续出现三次，求这样的排列的数目。,解：.,21.求
4、的和。,解：.,22.求矩阵,解：.,23.求,解：.,24.在一个平面上画一个圆，然后一条一条地画n条与圆相交的直线。当r是大于1的奇数时，第r条直线只与前r-1条直线之一在圆内相交。当r是偶数时，第r条直线与前r-1条直线在圆内部相交。如果无3条直线在圆内共点，这n条直线把圆分割成多少个不重叠的部分？,解：.,25.用 记具有整数边长周长为n的三角形的个数。（a）证明,（b）求序列 的普通形母函数。,解：.,26.（a）证明边长为整数、最大边长为l的三角形的个数是,（b）设 记边长不超过2n的三角形的个数，而 记边长不超过2n+1的三角形的个数，求 和 的表达式。,解：.,27.设,（a）
5、证明,（b）求序列 与 的母函数。,（c）用Fibonacci数来表示 与。,解：.,28.设,（a）证明,（b）证明 的充要条件是。,（c）证明,（d）证明 为m,n的最大公约数。,解：.,29.从1到n的自然数中选取k个不同且不相邻的数，设此选取的方案为。,（a）求 的递推关系。,（b）用归纳法求。,（c）若设1与n算是相邻的数，并设在此假定下从1到n的自然数中选取k个不同且不相邻的k个数的方案数为，利用 求。,解：.,30.设 是第二类Stirling数。证明,解：.,31.求下图中从A点出发到n点的路径数。,解：.,32.n位0,1符号串，求从左向右只在最后两位才出现0，0的符号串的数目。,解：.,33.试证,解：.,
