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1、结构力学第8章位移法,主要内容,1 位移法基本概念,2 位移法的基本结构和基本未知量,3 等截面直杆的转角位移方程,4 位移法典型方程,5 直接利用平衡条件建立位移法方程,6 位移法与力法联合应用,8.1位移法的基本概念,力法是分析超静定结构的最基本也是历史最悠久的方法。它是以结构的多余力作为基本未知量，首先根据变形协调条件求出多余力，然后再求出其它反力、内力和变形。,位移法是以结构的结点位移作为基本未知量，以结点的平衡条件作为补充方程，首先求出结点位移，然后再求出其它反力、内力。求解未知量的顺序正相反。,作为入门，我们先看一个简单的例子。以便更具体地了解位移法解题的基本思路。如图示对称桁架，
2、承受对称荷载Fp作用。,由于对称，结点B将仅有竖向位移。在位移法中，基本未知量为。,取结点B为隔离体如图(b)所示，,设第i根杆的受拉力为FNi，由静力平衡条件，得,(a),另一方面，考虑任一根杆i，设其伸长量为ui，由几何关系得,(b),由虎克定律得,(a),(c),上式就是拉压杆的刚度方程，它反映了杆端力FN i与杆端位移ui 之间的关系。把(d)式代入(a)式得,(e),上式就是位移法的基本方程，它反映了结构的结点位移与结构的结点荷载之间的关系。,由基本方程得,(f),至此完成了位移法的关键一步，即在外荷载的作用下，结构的结点位移求解。各杆的内力也可以确定,(g),上面简要地介绍了位移法
3、解题的过程，其要点如下,位移法的基本未知量是结点位移；位移法的基本方程实质是结点沿基本未知量方向的平衡方程；求解基本方程后，即可求出各杆的内力。,8.2位移法的基本结构和基本未知量,上节中以简单桁架为例说明了位移法的基本要点，下面讨论如何将位移法应用于刚架计算。,如图(a)所示由两根杆组成的刚架。,如果能求出转角Z1，则各杆（12杆、13杆）的内力均可按前面的力法求得。因此，在位移法中，以结点位移Z作为基本未知量，并以单跨超静定梁作为基本计算单元，由此可知，用位移法分析刚架时，需要解决下面三个问题：(1)位移法的基本未知量的数目（至少要求出多少个位移未知量）(2)单跨超静定梁分析(3)相应于基
4、本未知量的位移法方程如何建立和求解。,在本节中，我们讨论第一个问题，位移法的基本未知量的数目及相应的位移法基本结构。其它两个问题，后面讨论。,为了将原刚架的各杆变成单跨超静定梁，可以在原刚架的结点上引入某些附加约束如：附加的刚臂（阻止结点转动的约束）或附加链杆（阻止结点线位移的约束），使其变成固定端或铰支端，所得的结构即为位移法计算时的基本结构。而结构独立的基本未知量数目等于把原结构转变为基本结构时所附加的刚臂和附加链杆数目之和。这样，在确定了基本结构的同时，也就确定了位移法的基本未知量的数目。如：,一个基本未知量,基本结构,两个基本未知量,基本结构,三个基本未知量,基本结构,基本结构,三个基
5、本未知量,两个基本未知量,基本结构,若：EA=？,0个基本未知量,8.3等截面直杆的转角位移方程（物理方程）,前面曾提到，位移法分析刚架的基本计算单元为单跨超静定梁，因此，需事先知道这种梁在杆端位移和荷载作用下的杆端内力情况。,1 杆端位移引起的杆端力,如图(a)所示两端固定梁AB，已知A端位移是vA、A，B端位移是vB、B，求该梁的杆端力MAB、QAB、MBA、QBA。图中的位移方向均为正方向。,把变形分解，首先考虑杆端弯矩作用下的杆端转角，如图(b)所示。,(a),上式中，称为杆的线刚度。,其次，因杆端线位移引起的杆端转角为,(b),则杆端的最终转角为,(c),由上式解得,(d),由静力平
6、衡条件可求得杆端剪力为,(e),为了便于后面应用，下面讨论在B端具有不同支承条件时的杆端位移与杆端力的关系。,(1)B端为铰支，如图(c)所示,此时，,由平衡条件得,(h),(f),(c),(2)B端为定向支承，如图(d)所示。,在(e)的得,由(d)式得,(i),2 荷载引起的杆端力,书中P117179页表7-1给出了常见约束情况下荷载引起的杆端弯矩（顺时针为正）和杆端剪力（对杆内任一点产生顺时针矩的为正）的大小，使用时可直接查表（该表是用前面的力法求得的）,杆端弯矩用M FAB、M FBA表示；,杆端剪力用FFQAB、FFQBA表示。,如：,3 等截面单跨超静定梁的转角位移方程,若等截面梁
7、同时承受已知的杆端位移和荷载共同作用，则由叠加原理易求得最终的杆端力为,(1)两端为固定,(8-1),这就是两端固定等截面直杆的转角位移方程。,(2)A端为固定，B端铰支,(8-2),这就是A端为固定、B端铰支等截面直杆的转角位移方程。,(3)A端为固定，B端定向,(8-3),这就是A端为固定、B端定向等截面直杆的转角位移方程。,8.4位移法典型方程,1 无侧移刚架的计算,指无结点线位移（不包括支座处）的刚架。,无侧移刚架：,首先我们来分析最简单的无侧移刚架位移法典型方程的建立。,=,+,显然位移法的基本未知量仅有一个，1号结点的转角Z1。在1号结点引入刚臂得位移法基本结构如图(b)所示。,第
8、一步：约束刚臂使沿Z1方向上无转动，在荷载的作用下，此时附加刚臂上将产生反力矩R1p，如图(c)所示。,第二步：使基本结构的 1 结点发生与原结构相同的转角Z1，此时附加刚臂上的力矩为R11，如图(d)所示。,应用叠加原理，(c)+(d)，则刚臂上的约束力矩为,设：沿Z1方向上单位转角时，刚臂上的力矩为r11，则,代入(a)式得,(a),(8-4),这就是一个基本未知量时的位移法典型方程。,对于本题：,代入典型方程得,求出结点1的转角后，任一截面的内力和反力由叠加原理得,(8-5),例1 如图示两跨连续梁，做M图(EI=常数)。,解：一个基本未知量,位移法基本方程为,设,最终M图如图(e)所示
9、。,2 有侧移刚架的计算,一般而言，刚架在结点处除了有角位移之外，还有结点线位移，这类刚架称为有侧移刚架。位移法分析有侧移刚架时，基本思路与无侧移刚架相同，只是分析时要复杂些，在用位移法分析有侧移刚架时，应注意基本未知量既包括角位移又包括线位移。,例2 如图示刚架，做M图(EI=常数)。,+,=,叠加(c)、(d)，注意到沿Z1、Z2方向原结构无荷载作用，易得,下面讨论R1、R2的表达形式,(a),因为,(a),(b),由(a)、(b)两式得,(8-6),这就是两个基本未知量时的位移法典型方程,对于本题,（反力互等定理）,代入典型方程得,叠加法求任一截面的弯矩,3 位移法典型方程的一般形式,对
10、于具有n个基本未知量的刚架，用完全相同的方法，可以得到相应的n个基本未知量的典型方程为,(8-7),写成矩阵的形式为,(8-8),上式中，Z为结点位移列向量；Rp为荷载列向量；r为刚度系数矩阵。,注意：,(1)rij 的物理意义为沿第j个位移 Zj 方向上单位位移（其余的位移分量全为零）时，在 Zi 方向上所产生的约束反力；,(2)rij=rji 满足反力互等定理；,(3)rii 0。,例3 如图示刚架，做M图。,解：基本未知量2个，基本结构如图(b)所示。,位移法典型方程为,令：i=EI/l,求系数,已知：EI=常数，,代入典型方程得,叠加法求任一截面的弯矩,最终M图如图(f)所示。,；,多提意见与建议谢谢！,结束语,作业：,
