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1、第三章 向量空间,3.1 n维向量概念及其线性运算,维向量及其线性运算,即 矩阵,1 维向量的定义,个有次序的数,组成的数组称为,维向量,这,个数称为该向量的分量,第,个数,称为第,个分量(或第,个坐标),行向量,列向量,即 矩阵,列向量也可以写成,注意:用小写黑体字母 来表示向量,用带下标的白体字母 表示向量的分量。,思考,与 是相同的向量吗?行向量与列向量是有区别的,一个行向量与一个列向量即使对应的分量相等,也不能把它们等同起来。另外由于向量定义为有序数组,那么向量与数组中的数的次序有关,例如(1,2)(2,1),2n维零向量,3负向量,4向量的相等,5向量的加法,已知,6.数与向量的乘运
2、已知 k为一个数,数乘,我们约定:对于任意实数k以及任意的维向量,都有,注意,以上都是对行向量的情形定义了向量的加法、减法和数乘运算,对列向量的情形完全类似的定义。另外,向量的加法运算及数乘运算统称为向量的线性运算,这是向量最基本的运算。,向量运算的8条运算律:设,例1 设,例2 设,向量的线性组合,定义(1)是一组n维向量,,是一组实数,则称,(2)若一个n维向量 可以表示为则称 是 的线性组合,或称 可用 线性表示(或线性表出)。仍称 为组合系数,或表出系数。,为 的一个线性组合。常数 为该线性组合的组合系数。,零向量可以用任意一组同维数的向量线性表出吗?,例3 设,n维标准单位向量:,3.线性组合的矩阵表示法 为了充分利用矩阵来研究向量之间的关系,我们要引进线性组合的矩阵表示法.,例6 问,方程组的同解方程组为,