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1、,第七章,一、向量代数,二、空间曲面与曲线,空间解析几何与向量代数,三、空间的平面与直线,1.直角坐标系与向量的坐标,向径,(1)点 M,有序数组,也称为点 M 的坐标.,(2)向量的坐标,则,一、向量代数,距离公式：,2.模,3.向量方向余弦的坐标表示式,方向余弦的特征:,5.投影定理,设,6.线性运算：,设,7.向量的数量积,8.向量的向量积,（结果是一个数量）,（结果是一个向量）,且符合右手规则,/,9.向量位置关系:,例1.已知向量,的夹角,且,解：,在顶点为,三角形中,求 AC 边上的高 BD.,解：,三角形 ABC 的面积为,例2.,而,故有,例3.,解:,注意：向量的运算与标量的
2、运算是不一样的,不能随 意的套用.,思考：,提示：,二、空间曲面与曲线,1.空间曲面,三元方程,球面,柱面-二元方程,如,曲面,表示母线平行 z 轴的柱面.,又如,圆柱面，椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.,圆柱面,抛物柱面,平面,练习：,问方程,表示什么曲面？,抛物柱面,(1)定义：,以一条平面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周,这条定直线叫旋转曲面的轴,所生成的曲面称为旋转曲面.,曲线叫旋转曲面的母线.,yoz面上的曲线f(y,z)=0绕z轴旋转一周所成的旋转,曲面的方程：,yoz坐标面上的已知曲线 f(y,z)=0绕y轴旋转一周的,旋转曲面的方程为,旋转曲面,(2)方程：,(3)圆锥面：,方
3、程的特点：,叫标准圆锥面(如下图).,三元二次齐次方程.,是上半圆锥面.,叫标准圆锥面.,旋转抛物面,1)椭球面,(p,q 同号),2)椭圆抛物面,常用的二次曲面及其方程,或参数方程,2.空间曲线,三元方程组,设空间曲线,消去 z,得投影柱面,得C 在xoy 面上的投影曲线,与xoy 面方程联立,求投影曲线,消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程,消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程,例1.将下列曲线化为参数方程表示:,解(1),根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为,故所求为,得所求为,例2.,求曲线,绕 z 轴旋转的曲面与平面,的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.,解：
4、,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为,所以 此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为,它与所给平面的,如:,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:,上半球面,和锥面,在 xoy 面上的投影曲线,二者交线,所围圆域:,二者交线在,xoy 面上的投影曲线所围区域.,消去 z 得投影柱面,空间平面的方程,1)一般式:,2)点法式:,3)截距式:,1.空间直线与平面的方程,三、空间的平面与直线,一般式:,对称式:,参数式:,空间直线的方程,为直线的方向向量.,为直线上一点;,面与面的关系,平面,平面,2.线面之间的相互关系,(3)夹角公式:,直线,线与线的关系,直线,(3)夹
5、角公式:,平面:,面与线间的关系,直线:,(1)L,(2)L/,(3)夹角公式：,3.相关的几个问题,(1)平面束,定义,定理,设平面,以上方程不包括平面,平面确定的平面束.,通过两相交平面交线的所有平面称为由这两个,(2)点,的距离为,到平面：A x+B y+C z+D=0,练习：求点(2,1,0)到平面3x+4y+5z=0的距离.（06研数一）,到直线,的距离,为,(3)点,（4）平面 与各坐标平面的夹角，实际上是与各坐标轴的夹角.,实际上是 的法向量 的三个方向角.,例1.求直线,与平面,的交点.,解:化直线方程为参数方程,代入平面方程得,从而确定交点为（1，2，2）.,经验：计算线与面
6、，线与线的交点时，一般用直线的参数式较简单.,例2.研究以下两平面的位置关系：,两平面平行,所以 两平面平行但不重合,解:,又如,直线,线在面上吗？,例3.设一平面平行于已知直线,且垂直于已知平面,求该平面法线的,的方向余弦.,解:,已知平面的法向量,求出已知直线的方向向量,取所求平面的法向量,所以,例4.求直线,在平面,上的投影直线方程.,解：已知直线与已知平面的交点为：,则过点P与已知平面,垂直的直线方程为,例4.求直线,在平面,上的投影直线方程.,另解：过已知直线的平面束方程,从中选择,得投影平面：,即,使其与已知平面垂直：,从而得投影直线方程,这是已知平面,这是投影平面(过L与 垂直),例5.求过直线L:,且与平面,夹成,角的平面方程.,解:,过直线 L 的平面束方程,其法向量为,已知平面的法向量为,选择,使,从而得所求平面方程,例6.直线,绕 z 轴旋转一周,求此旋转,曲面的方程.,解:,旋转轨迹上任一点,设，则,得旋转曲面方程,
