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1、第五章 矩阵的相似标准形,引言,对n阶方阵A及可逆矩阵P,由于矩阵乘法不满足交换律,一般情形下P 1AP不一定等于A.但对P 1AP与A而言,在许多地方性质相同.,行列式相等:|P 1AP|=|P 1|A|P|=|A|.,因此P 1AP与A或者都可逆,或都不可逆.,称P 1AP与A相似,当然会有很多矩阵与A相似,最简单的是什么矩阵？(相似标准形问题),5.1 相似矩阵,定义 设A、B为两个n阶矩阵，如果存在一个满秩阵P，使得,则称A与B相似，记为 AB.,相似变换：对A作运算P 1AP(P满秩),相似关系的等价性,矩阵之间的相似关系是一种等价关系.,(1)自反性 AA;E 1AE=A.,(2)
2、对称性 ABBA;,P 1AP=B A=PBP 1.,(3)传递性 AB且BC AC.,P 1AP=B且Q1BQ=C(PQ)1A(PQ)=C.,相似矩阵具有相同的秩(矩阵乘以可逆阵后秩不变)；,相似矩阵具有相同的行列式；,相似矩阵可逆时,其逆矩阵也相似.,若P 1AP=B,则B1=P 1A1P.,其他性质,例 若AB，证明,(1)kAkB,其中k为任意常数.,(2)Am Bm,其中m为正整数.,(3)g(A)g(B),其中g(x)为任意一个多项式.,证明 由定义,若A B，则存在可逆矩阵P,使,P 1AP=B.,(1)P 1kAP=kP 1AP=kB.,(2)P 1AP P 1AP P1AP=
3、Bm P 1AmP=Bm.,g(x)=amxm+am1xm1+a1x+a0.,(3)g(A)=amAm+am1Am1+a1A+a0E.,由(2),Am Bm且P1AmP=Bm，于是,P1g(A)P=amBm+am1Bm1+a1B+a0E=g(B).,所以g(A)g(B).,问题：与矩阵A相似的矩阵中最简单的矩阵是什么？,对单位矩阵E与任何可逆矩阵P,都有,P1EP=E,P1kEP=kE.,单位矩阵只能同单位矩阵相似,数量矩阵也只相似于数量矩阵.比这两类矩阵简单的矩阵是对角矩阵,A能否相似于一个对角矩阵呢？,若n阶方阵A相似于对角矩阵,则存在满秩矩阵P,使得,若上式成立,i满足什么条件呢？,若记
4、P=(P1,P2,Pn)(列向量),代入得,即若能用相似变换将A化为对角矩阵,则满秩矩阵P的每个列向量必满足,且p1,p2,pn线性无关.,5.2 特征值与特征向量,定义,设A是n阶方阵,若有数和n维非零列向量x,使Ax=x成立.则称为矩阵A的特征值.非零列向量x称为A的属于(或对应于)特征值的特征向量.,问题：对任何方阵A,是否有特征值呢?A有特征值时，如何求出它的全部特征值和全部特征向量呢?,一 矩阵A=(aij)nn的特征值和特征向量,若Ax=x,则,xAx=(EA)x=0.(1),由x是非零向量,说明齐次线性方程组,(EA)x=0,有非零解,(1)有非零解,即特征值满足,|EA|=0.
5、,定义 设A为n阶矩阵,EA称为A的特征矩阵，|EA|称为A的特征多项式,|EA|=0称为A的特征方程,|EA|=0的根即为A的特征值(特征根).,特征多项式的特征,没有写出的各项的最高次数为n-2:,若某项含有aij,则不会含有(aii)与(ajj).,因此可得,当=0时,定义 tr(A)=a11+a22+ann称为A的迹.,计算n阶矩阵A的特征值与特征向量的步骤:,1.解特征方程|EA|=0,求出n个特征值(r重根算r个);,2.对每一i,求(iEA)x=0的非零解xi是属于i的特征向量.,例1 求三阶方阵,的特征值和特征向量.,解：,特征方程,所以A的特征值为,1=2,2=3=1.,对1
6、=2,解齐次方程组,(2EA)x=0,即,一般解为,取基础解系,得A的属于1=2的全部特征向量为,k(0,0,1)(k 0).,对2=3=1,解齐次线性方程组,(EA)x=0,即,由,得一般解为,取基础解系,因此A的属于2=3=1的全部特征向量是,k(1,2,1),(k 0).,例2,求矩阵,的特征值和特征向量.,解：,特征方程,B的特征值为,1=2=1,3=5.,对二重特征值=1，,解方程组(EB)x=0,即,即,一般解为,基础解系为,因此属于=1的全部特征向量为,k1,k2不同时为零.,对3=5,解方程组,(5EB)x=0,即,由,得一般解,取基础解系为,因此B的属于=5的全部特征向量为,
7、k0为常数.,上面两个例子中,特征方程的单根的线性无关的特征向量为1个,二重根可以是一个也可以是两个.都不超过特征根的重数.,例3,若A2=A,称A为幂等矩阵,证明幂等矩阵的特征值只可能是0和1.,证明,设0是A的特征值,x是A的属于0的特征向量,则,由于,即,而x0,得,注意：0和1不一定同时是幂等矩阵的特征值,比如E是幂等矩阵,但其特征值只有1.,二 有关特征值的几个定理,定理2.1 相似的矩阵具有相同的特征多项式,也有相同的特征值.,证明:,设AB,则存在可逆矩阵P,使得,B=P-1AP.,因此,注意,其逆命题不一定成立(有相同特征多项式的矩阵不一定相似),例如,任一矩阵与其转置矩阵有相
8、同的特征多项式,因此也有相同的特征值.,(EA)=EA|EA|=|(EA)|=|EA|.,定理2.2 若A是分块矩阵,即,其中Ai(i=1,2,s)是方阵,则A的特征多项式是A1,A2,As的特征多项式的乘积.因此A1,A2,As的所有特征值就是A的全部特征值.,证明,将E分块为,其中Ei与Ai同阶.,(i=1,2,s).,则,两端取行列式,由Laplace定理有,定理2.3 设n阶矩阵A的特征值为1,2,n(k重根算k个),则,证明,令=0,得,而,从定理可以看出,若A的特征值有一个为零,则|A|=0.反之亦成立.,推论 矩阵A可逆A的特征值全不为零.,定理2.4 若n阶可逆方阵A的特征值为1,2,n，则A1的特征值为,证明:,由定理2.3,有意义.,设xi是A的属于i的特征向量,则,左乘A1,有,即,由定义说明,是A1的特征值,而,有n个(k重算k个),这样,是A1的全部特征值.,例4 证明若是正交矩阵Q的特征值,则1/也是Q的特征值.,证明：,由Q是正交矩阵,|Q|=1,Q可逆.,由定理2.3,其特征值不为零,1/有意义.,因为Q1=Q,由定理2.4,1/是Q 1的特征值.,因此是Q的特征值.,而任一矩阵与其转置矩阵有相同的特征值,所以1/也是Q的特征值.,
