《考研数学拓展班第1讲：函数-极限.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研数学拓展班第1讲：函数-极限.ppt（55页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第一讲 函数、极限,1 函 数,1函数的定义,因变量,自变量,数集D 叫作这个函数的定义域,函数值全体组成的数集,称为函数的值域,记作,记作,2函数的一些几何特性,(1)有界函数:,注：1 有界性和函数定义区间有关,2 函数可单边有界，即可以 有上界或下界,(2)单调函数:,注：函数y=c既是单调增加函数，也是单调减少函数。但它不是严格单调函数。,(3)函数的奇偶性:,注：定义区间一定是对称区间。,(4)周期函数:,注：1 周期函数的定义域既无上界也无下界,思考：,是周期函数吗？,答：不是.,2 并非任何一个周期函数都有最小正周期.,答：常量函数,每一个正数都是其周期.,解（1）,的周期,的周
2、期,是 周期函数,的周期，,的周期,（2）,所以 g(x)不是周期函数,解,（1）如果 g(x)为偶函数，即,（2）如果 g(x)为奇函数，即,f(g(x)恒为偶函数,3反函数、复合函数,（1）反函数,注 1 y=f(x)与 的图象关于y=x 对称,2 若 y=f(x)在 D上严格单调,则在 f(D)上 y=f(x),存在严格单调(具有相同单调性)的反函数。,（2）复合函数,设函数 y=f(u),uU;u=g(x),x X,变量 u 称为中间变量,4分段函数，初等函数，积分上限函数,（1）分段函数,（2）初等函数,（3）变上限积分函数,说明：,用方程、极限、导数、无穷级数也可表示函数,（4）原
3、函数,若F(x)为连续函数f(x)的原函数，可以用变上限函数表示,解,当 x 0 时，,反函数,当 x 0 时，,反函数,反函数,2 极 限,1极限的定义,则称常数 A 为函数 f(x)当 时的极限，,总有,存在常数 A,当 时，,记作,设函数 f(x)在点 的某去心邻域内有定义。如果,注：类似可以给出其他情形时极限的定义，包括 数列的极限。,当 时,有,当 时,有,当 时,有,右极限:,左极限:,极限存在的充要条件,解,选(D),2极限的性质,(1)极限的唯一性,若,则极限唯一。,(2)极限的有界性,函数极限:,数列极限:,(3)极限的局部保号性,注:性质(3),(4)常用于证明题；但结论反
4、过来不成立,(4)极限的局部保序性,(5)极限的几个等价关系,(证明题、计算极限）,1),（常被用来讨论分段函数在分段点处的极限）,2),3),(6)极限的四则运算法则,如果，则有,1）,2）,3）,解,原式,解得,此时,解,由,解,所以,例8,证明,不存在.,证 取两个趋于 0 的数列,及,有,所以,不存在.,二者不相等,(7)极限存在的判定准则,(a)单调有界准则：,(b)夹逼定理：,单调有界数列必有极限.,如果数列,满足,注：函数极限有类似的夹逼定理,例9,设,且,求,分析,易知,xn的单调性如何？,0,？,关键：,证,1有界性,易知,2单调性,得,即,解,设，则,解,即,而,所以,例1
5、1 求极限,(8)重要极限,1),2),解,解,为使极限 存在,即,此时,3 无穷小与无穷大,1无穷小与无穷大,(1)无穷小(量):,(2)无穷大(量):,无穷小量和无穷大量一定与自变量的某个 变化过程相联系的；,注:,2 0是无穷小量；,4 若 则,(无穷大的倒数是无穷小),3 无穷大是无界量，但无界函数未必是无穷大；,1)有限个无穷小的和是无穷小,2)常数与无穷小的乘积是无穷小,3)有限个无穷小的乘积是无穷小,2无穷小的运算性质,3无穷大的运算性质,(a)若 则,(b)若(可为),则,解,(A)反例，而,(B)反例,(C)反例,(D)正确,令，则,所以选(D),设,记为,4无穷小的阶,若
6、且 存在，则,5利用等价无穷小代换求极限,注：不能滥用等价无穷小代换.在用等价无穷小代换,时，要用与分子或分母整体等价的无穷小代换.,对于代数和中各无穷小,一般不能分别代换.即遇无穷小“+”,“”时,一般不能代换；,a,b 遇无穷小乘积时，可用各无穷小的等价无穷小,进行代换.,6常用等价无穷小,7洛比塔法则,说明:,(2)若 不存在,对原极限无明确结论.,解,原式,解,原式,解,所以选(B),解,（关于 x 是1 阶的）,（关于 x 是 2 阶的）,（关于 x 是 3 阶的）,（关于 x 是 2 阶的）,同理有,关于 x 是 低阶的,解,(1)原式,(2)原式,所以,例20,例21,解,例22,解,由，则,由，得 x 满足,解得,定义域：,解,所以,解,从定义式可知，且,设，则对 k=n+1,由,由归纳法可知数列 单调增有上界，所以收敛,设,在递推式两边取极限得,解得,所以,
