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1、第三章：线性系统的时域分析法授课人：李会军,2,内容提要,本章的内容提要系统的时域性能指标一阶系统时域分析二阶系统时域分析高阶系统时域性能指标线性系统的稳定性线性系统的稳态误差计算,3,内容回顾,系统的动态性能指标延迟时间峰值时间上升时间调节时间超调量,4,内容回顾,一阶系统的动态性能指标一阶系统的传递函数一阶系统的动态性能指标(1)延迟时间(2)上升时间(3)调节时间,5,二阶系统时域分析,二阶系统示例根据电路原理，有：可得RLC电路的微分方程如下：,6,二阶系统时域分析,典型二阶系统分析二阶系统的标准微分方程其中，称为系统的阻尼系数，称为系统的自然频率(无阻尼振荡频率)二阶系统的传递函数二
2、阶系统的特征方程,7,二阶系统时域分析,二阶系统的闭环极点分布二阶系统的闭环极点：随着系统阻尼比 的取值不同，二阶系统的特征根分布也不同，从而系统的动态特性也不同当 时，两个特征根为一对具有负实部的共轭复根，如图所示：,8,二阶系统时域分析,二阶系统的闭环极点分布当 时，特征方程具有两个相等的负实根，如图所示：当 时，特真方程具有两个不相等的负实根，如图所示：,9,二阶系统时域分析,二阶系统的闭环极点分布当 时，特征方程的根为两个共轭纯虚根，如图所示：当 时，特征方程的根为两个具有正实部的共轭复根，如图所示：,10,二阶系统时域分析,二阶系统的闭环极点分布当 时，特征方程具有两个不相等的正实根
3、，如图所示：,11,二阶系统时域分析,二阶系统闭环极点分布图,12,二阶系统时域分析,二阶系统的单位阶跃响应当 时，二阶系统的单位阶跃响应如下：其中，称为有阻尼自振频率。对上式进行拉式反变换：,13,二阶系统时域分析,二阶系统的单位阶跃响应因此，当 时，二阶系统的单位阶跃响应如下：二阶系统单位阶跃响应的误差函数如下：从(1)(2)两式，可得出如下结论：当 时，二阶系统的单位阶跃响应函数和误差响应函数为衰减的正弦振荡过程，这是二阶系统称为欠阻尼系统；共轭复数极点实部的绝对值 决定了阶跃响应的衰减速度，越大，即共轭复数极点离虚轴越远，阶跃响应衰减得越快；阶跃响应的振荡频率为，其值总小于系统的无阻尼
4、自然振荡频率；,14,二阶系统时域分析,二阶系统的单位阶跃响应当 时的单位阶跃响应曲线和误差曲线,15,二阶系统时域分析,二阶系统的单位阶跃响应当 时，二阶系统的单位阶跃响应为：对上式进行拉式反变换：当 时，二阶系统称为无阻尼系统，称为无阻尼振荡角频率在无阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应为等幅余弦振荡；,16,二阶系统时域分析,二阶系统的单位阶跃响应无阻尼振荡示例：,17,二阶系统时域分析,二阶系统的单位阶跃响应当 时，二阶系统的单位阶跃响应为：对上式进行拉式反变换：对上式进行分析计算：由(3)(4)式可知，当 时，二阶系统的单位阶跃响应是一个无超调单调上升的过程；当 时，二阶系统称为临界阻
5、尼系统；,18,二阶系统时域分析,二阶系统的单位阶跃响应 当 时，有两个不相等的负实根：因此，可得二阶系统的单位阶跃响应如下：对上式进行拉式反变换，可得：,19,二阶系统时域分析,二阶系统的单位阶跃响应对式(5)求导，可得：因为，所以，当 时，二阶系统的单位阶跃响应为一条单调上升的指数曲线。此时，二阶系统称为过阻尼系统；,20,二阶系统时域分析,二阶系统的单位阶跃响应当 时，二阶系统的单位阶跃响应如下：其中，称为有阻尼自振频率。对上式进行拉式反变换：,21,二阶系统时域分析,二阶系统的单位阶跃响应因此，当 时，二阶系统的单位阶跃响应如下：式(6)和式(1)具有相同的形式。但是，由于，所以二阶系
6、统的单位阶跃响应为发散的正弦振荡曲线；,22,二阶系统时域分析,二阶系统的单位阶跃响应当 时，二阶系统的单位阶跃响应和当 时的单位阶跃响应相同，其数学表达式如下所示：因为式(7)中包含两个指数因子为正数的幂指数，从而使单位阶跃响应为单调发散的指数曲线。当 和 时，二阶系统称为负阻尼系统；,23,二阶系统时域分析,二阶系统的单位阶跃响应,24,二阶系统时域分析,二阶系统的单位阶跃响应由单位阶跃响应的曲线图可以看出，当 时，二阶系统的单位阶跃响应在过阻尼()和临界阻尼()的情况下，具有单调上升的特性，且以 时的调节时间 为最短；对于欠阻尼()响应，随着阻尼比 的减小，单位阶跃响应的振荡特性将加强，
7、并在 时出现等幅振荡，最终在负阻尼()时振荡发散；在欠阻尼响应中，当系统阻尼比在0.40.8之间时，不仅具有较小的调节时间，而且振荡程度也不严重。因此，在控制工程上，一般希望二阶系统在 的欠阻尼状态下工作；,25,二阶系统时域分析,二阶系统的性能指标：由欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应推导上升时间 单位阶跃响应如下：取系统输出量从零首次达到稳态值的时间为上升时间，则有：由于：所以：,26,二阶系统时域分析,二阶系统的性能指标可得二阶系统的上升时间如下：其中：,27,二阶系统时域分析,二阶系统的性能指标峰值时间二阶系统单位阶跃响应如下：当输出达到峰值后对系统输出求导，可得：,28,二阶系统时域分析,
8、二阶系统的性能指标对上式化简求解如下：由于：可得：由于：可得：,29,二阶系统时域分析,二阶系统的性能指标因为峰值时间是系统输出第一次到达最高点的时刻，所以取：因此，二阶系统的峰值时间为：,30,二阶系统时域分析,二阶系统的性能指标超调量系统的阶跃响应如下：根据超调量的定义，有：因为：可得：由于：和,31,二阶系统时域分析,二阶系统的性能指标可得二阶系统的超调量如下：因为：所以：,32,二阶系统时域分析,二阶系统的性能指标调节时间系统的阶跃响应如下：根据调节时间的定义，有：由于：，可得：,33,二阶系统时域分析,二阶系统的性能指标化简为：进一步变化如下：,34,二阶系统时域分析,二阶系统的性能指标如果取，则有：如果取，则有：因此，当 时，调节时间的近似计算公式如下：,
