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1、第二章：自动控制系统的数学模型,系统的数学模型：描述系统中各个变量之间关系的数学形式和方法数学表达式,变量之间关系,静态关系动态关系,控制理论研究的对象,时域模型微分方程复频域模型传递函数框图，信流图频域模型频率特性、Bode图,数学模型,基础,建模方法:,分析法(理论建模)实验法(系统辨识),分析法适用于对系统中各元件的物理、化学等性质比较清楚的情况。根据系统的实际结构参数，从系统各元件所依据的物理、化学等规律出发建立系统的数学模型,如果不了解系统的运动规律，则应使用实验法建立数学模型，即：在系统或元件的输入端加入一定形式的输入信号，再根据测量的输出响应建立其数学模型,着重介绍,数学模型-物
2、理模型,第一节 控制系统的时域数学模型-微分方程的建立,一、微分方程的建立,1.线性定常微分方程的一般形式,控制系统中的输出量和输入量通常都是时间t的函数。很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用一个微分方程表示，方程中含有输出量、输入量及它们各自对时间的导数或积分。这种微分方程又称为动态方程、运动方程或动力学方程。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为系统的阶数。,2.建立系统微分方程的一般步骤或方法,1）分析元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量（必要时还要考虑扰动量），并根据需要引入中间变量,2）根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，
3、忽略次要因素，并考虑相邻元件的彼此影响，列写微分方程。常用定律：电路系统的基尔霍夫定律、力学的牛顿定律和热 力学定律等,3）消去中间变量，得到描述输出量与输入量（包括扰动量）关系的微分方程，即元件的数学模型,4）标准化。通常将微分方程写成标准形式，即将与输入量有关的各项写在方程的右边，与输出量有关的各项写在方程的左边 方程两边各导数项均按降阶顺序排列。,5）并将各项系数归一化为具有一定物理意义的形式,3.举例,1）电气系统 电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算放大器等元件组成的电路，又称电气网络。电阻、电感、电容这类本身不含有电源的器件称为无源器件，运算放大器这种本身包含电源的器件
4、称为有源器件。仅由无源器件组成的电气网络称为无源网络。如果电气网络中包含有源器件或电源，就称为有源网络。,基本定律：基尔霍夫电压、电流定律 欧姆定律,例一：列写下图的运动方程,例二：如图RLC电路，试列写以U1(t)为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程,2）机械系统 机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力学定律。机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移）和转动（相应的位移称为角位移）两种,基本定律：力学定律 牛顿第二定律 牛顿转动定律,例1：试列写质量m在外力F作用下位移y(t)的运动方程。,解:阻尼器的阻尼力:弹簧弹性力:,整理得:,比较上2例可见，虽然它们为两种不同的
5、物理系统，但它们的数学模型的形式却是相同的，我们把具有相同数学模型的不同物理系统称为相似系统，例如RLC串联网络系统和弹簧-质量-阻尼器系统即为一对相似系统。在相似系统中，占据相应位置的物理量称为相似量。相似系统揭示了不同物理现象之间的相似性，可以进行仿真研究。,4.非线性系统的线性化（小偏差线性化）,原则上讲，实际物理系统都是非线性系统,两个基本假设：（1）系统中的变量在某一工作点附近作微小变化；（2）非线性特性在该工作点可导.,定义：将非线性微分方程转化为线性微分方程的方法称为小偏差线性化.,方法：其非线性特性曲线可以用该工作点的切线代替,线性化的方法,1)将非线性函数在工作点X0附近展成
6、台劳级数，略去高次项，得到一个以增量为变量的线性函数2)由于 很小，其二次方及二次方以上各项可略去，得：,3)两个自变量：y=f(x1，x2)静态工作点：y0=f(x10，x20)在y0=f(x10，x20)附近展开成泰勒级数，即函数变化与自变量变化成线性比例关系,注意：适用于不太严重的非线性系统，其非线性函数可利用泰勒级数展开实际运行情况是在某个平衡点附近，且变量只能在小范围内变化k值随静态工作点而变只适用于无间断点、折断点的单值函数,例：某一电加热炉，输入量为电压u，输出量为温度T，求系统数学模型,电阻为R的电炉丝产生热量,电炉丝产热速率单位为卡/秒,设电炉丝每秒向周围散热速率为s,s=K
7、(T-Te)实际每秒使电炉升温热量为-s，,令电炉热容量为C，单位为卡/,则：,在u0处把u2展成泰勒级数,u为电路控制电压的增量,得到一阶微分方程,第二节 线性常微分方程的解,求解方法：经典法；拉氏变换法。零状态响应；零输入响应。拉氏变换法求解步骤：1.考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，得到变量s的代数方程；2.求出输出量拉氏变换函数的表达式；3.对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。,第三节 控制系统的复频域数学模型-传递函数,一个控制系统性能的好坏，取决于系统的内在因素，即系统的结构参数，而与外部施加的信号无关。因而，对于一个控制系
8、统品质好坏的评价可以通过对系统结构参数的分析来达到，而不需要直接对系统输出响应进行分析。传递函数是在拉氏变换基础之上引入的描述线性定常系统或元件输入、输出关系的函数。它是和微分方程一一对应的一种数学模型，它能方便地分析系统或元件结构参数对系统响应的影响。当初始条件为零时，线性定常系统或元件输出信号c（t）的拉氏变换式与输入信号r（t）的拉氏变换式之比，称为该系统或元件的传递函数，记为G（s）,微分方程求解-复杂，引入传递函数,一、传递函数的概念和定义,定义：线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为传递函数,二、传递函数的几点说明,1、传递函数和微分方程一样，表示
9、系统的运动特性，是系统数学模型的一种表示形式，它与系统的运动方程一一对应。即传递函数与微分方程有相通性，t-S，可经简单置换而转换2、传递函数是由Laplace变换导出的，它只适用于线性定常系统，且只能反映零初始条件下的全部运动规律3、传递函数只适合单输入、单输出系统。若某系统选择不同变量作为输入输出信号，得到传递函数不同。若系统由多个输入，除了一个有关输入外，其他输入为04、传递函数不能反映系统或元件的物理结构，许多物理性质截然不同的系统或元件，它们可以有相同形式的传递函数；同一物理系统，由于描述不同端口关系，传递函数可能不同。5、传递函数只取决于系统和元件的结构，与输入信号无关,6、在实际
10、物理系统中，系统的输出不能立即复现输入信号，只有经过一定时间后输出量才能达到输入量所要求数值，因而有：nm7、传递函数还可以用下式表达,Kg为零极点形式传递函数的增益，-zi分子多项式M(S)=0的根，称为零点；-pj分母多项式N(S)=0的根，称为极点，分母多项式的阶次代表系统传递函数的阶次。zi、pi可为实数、虚数、或复数。若为虚数、或复数，必为共轭虚数、或共轭复数。分母多项式N（s）=0是控制系统的特征方程式，其根为特征根，特征根就是传递函数的极点。注意，只有当上式中的分子及分母多项式间没有公因子时，传递函数的零、极点才会和系统的零、极点完全相同；分母多项式的阶次才代表系统的阶次传递函数
11、。,三、传递函数的求法,1、直接计算法 对于元件或简单系统，首先建立描述元件或系统的微分方程式，然后在零初始条件下，对方程式进行拉氏变换，即可按传递函数的定义求得元件或系统的传递函数,2、求取无源网络或电子调节器的传递函数，采用阻抗法求取更为方便。下表列出了电路中电阻、电容和电感的阻抗传递函数,3、利用框图求取传递函数 对于复杂系统，应先求出元件的传递函数，再利用框图和框图运算法则，可方便地求解系统的传递函数。该方法将在后面讨论。4、利用梅逊公式求取传递函数 该方法将在后面讨论。5、由线性系统的齐次性和叠加性可知：作用于线性定常系统的多个输入信号（它们可以作用于不同的输入端）的总的响应等于各个
12、输入信号单独作用时产生的响应的代数和。线性系统的这两个重要性质使得线性定常系统的传递函数的求法大为简化。,例一、求下图的传递函数,解：列回路电压方程：,取拉式变换，令初始条件为零,消去中间变量，得：,四、基本环节及其传递函数,若通过微分方程的最简单形式（如一阶或二阶微分方程式）描述元件或其中一部分的动态性能时，通常称这种简单形式为典型环节（Typical Elements）控制系统中有许多结构性质不同的元件，只要它们的数学模型的形式相同，则其动态性能也必然存在内在的联系，因而可以把它们归成一类，以有利于研究系统内部各单元之间的动态关系 控制系统可视为由若干典型环节按一定方式组合而成。同时，基于
13、环节的定义，一个元件可能是一个典型环节，但也可能包含数个典型环节，或者由数个典型环节构成一个环节 典型环节都可以用功能框（Function Block）表示。功能框是用带框的图形符号（包含输入、输出信号间的功能关系）来表示功能相关的元件的组合体,1比例环节 比例环节又称为放大环节，其输出量与输入量之间的关系成正比关系，既它的输出量能够无失真、无滞后地，按一定的比例复现输入量。其传递函数为:,积分环节的传递函数为,2积分环节,积分环节的输出量是输入量对时间的积分，即,K为比例系数，K与时间量纲有关。当输入量和输出量为相同的物理量时，K的量纲为s-1，故可将积分环节的系数（积分时间常数）写成,3惯
14、性环节,惯性环节又称非周期环节，其输出量和输入量之间的关系可用以下的微分方程描述,对应的传递函数为,式中 T时间常数 K 比例系数,5一阶微分环节,该环节的输出等于输入与其一阶导数的加权和，其传递函数为,比例微分环节为比例环节和理想微分环节的叠加。比例-微分环节与惯性环节的传递函数互为倒数,4纯微分环节,理想微分环节的特点是，其输出量与输入量的一阶微分成正比,时间常数。其传递函数为,当 1时，才能近似地得到,6振荡环节,振荡环节的微分方程是,其传递函数为,式中 T时间常数；n无阻尼振荡频率；阻尼比，0 1。,7二阶微分环节,二阶微分环节的微分方程为,二阶微分环节的传递函数与振荡环节的传递函数互为倒数,（0 1）,8延迟环节,延迟环节是输入信号加入后，其输出端要隔一段时间才能复现输入信号的环节。它的时间特性表示为,其拉氏变换为,传递函数为,由于延迟环节是系统产生振荡的原因，所以系统中如有延迟环节，对系统的稳定是不利的,
