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1、1,7.4 离散系统的数学模型,2,内容回顾：Z变换的性质：线性定理、迟后定理（以及超前定理），终值定理 脉冲传递函数的概念：输出脉冲序列的Z变换与输入脉冲序列的Z变换之比。脉冲传递函数与哪些因素有关：（系统结构与参数、采样周期以及采样开关的具体位置）,3,7.4.1 脉冲传递函数概念,1、脉冲传递函数的定义 在线性定常离散系统中，当初始条件为零时，系统离散输出信号的z变换与离散输入信号的z变换之比，称为离散系统的脉冲传递函数。,c(k)+a1c(k 1)+a2c(k 2)+anc(k n)=b0 r(k)+b1r(k 1)+b2r(k 2)+bmr(k m),(1+a1z1+a2z2+anz
2、 n)C(z)=(b0+b1z1+b2z2+bmzm)R(z),4,2、脉冲传递函数的求法（1）由差分方程求脉冲传递函数 令初始条件为零，对方程两端进行z变换 整理 脉冲传递函数,例1 已知离散系统的差分方程为 c(k+2)2c(k+1)+c(k)=Tr(k+1)试求脉冲传递函数G(z)。,解：(z2 2z+1)C(z)=TzR(z),5,例2 求图示系统的脉冲传递函数。,解：,得,（2）由连续部分的传递函数求脉冲传递函数,6,例3 求图示系统的脉冲传递函数。,解：,查Z变换表，得,c(t),Ts,Ts,r(t),由以上例题可见，原连续系统传递函数G（s）的阶次与加入采样开关后的离散系统脉冲传
3、递函数G（z）的阶次完全相同。,7,7.4.2 开环系统的脉冲传递函数,当离散系统中有两个连续环节串联时，他们之间有无采样开关，系统的脉冲传递函数是不同的。,8,1.连续环节之间有同步采样开关,结论：被理想采样开关隔开的n个线性环节串联时，其脉冲传递函数为每个环节所对应的脉冲传递函数之积,X(z),9,2.连续环节之间无同步采样开关,10,例4,解：两环节之间有采样开关时,两环节串联,G1(s)前有一采样开关,比较两环节之间有无采样开关时脉冲传递函数有何区别。,11,两环节之间无采样开关时,因此,环节之间有无采样开关，两个系统的脉冲传递函数往往是不同的，但极点是相同的，只是零点不同。,12,3
4、.带有零阶保持器的开环系统的脉冲传递函数,上式第二项可以写为,采样后带有零阶保持器的系统的脉冲传递函数为,其中,13,例5 采样控制系统如图所示，试求其脉冲传递函数。,解：,系统脉冲传递函数为：,可见，零阶保持器的引入对系统脉冲传递函数的阶次无影响。,14,4连续信号直接进入连续环节时的脉冲传递函数,连续环节G1（s）的输入信号为连续信号r(t)，输出的连续信号为e(t)。,e(t)经采样开关后得到离散信号e*(t)，z变换为,而连续环节G2（s）输入采样信号e*(t)，其输出序列的z变换为,以上分析表明，若对于某离散系统，当连续信号首先进入连续环节时，该系统无法写出脉冲传递函数的形式，只能求
5、出输出序列C（z）的表达式。,15,7.4.3离散控制系统的闭环脉冲传递函数,由于离散控制系统中，既有连续信号的传递,又有离散信号的传递,所以在分析离散控制系统时与连续系统分析不同，需要增加符合离散传递关系的分析。1采样信号拉氏变换的重要性质采样函数的拉氏变换G*1（s）与连续函数的拉氏变换G2（s）相乘后再离散化，则G*1（s）可以从离散符号中提出来，即,与此相比较，若连续信号相乘后再离散化，则有,16,离散系统的典型结构1,2 离散控制系统的闭环脉冲传递函数,考虑到离散信号拉氏变换的相关性质，则偏差信号离散化后的s变换为,17,闭环系统的特征方程：,开环脉冲传递函数：,应当注意：离散系统的
6、闭环脉冲传递函数不能从对应的连续系统传递函数的Z变换直接得到。,18,离散控制系统的典型结构2,由第一个式子,19,表 典型离散控制系统结构图及输出信号C（z）,20,21,22,解：,例6 已知离散控制系统结构如图所示，试计算系统的闭环脉冲传递函数。,e(t),c(t),r(t),Ts,Ts,b(t),零阶保持器,23,此系统为三阶离散系统，零阶保持器的引入并不影响系统的阶次。,24,结论：1）利用z变换只能求出输出信号离散序列的z变换，采样开关的不同位置，导致了闭环系统输出C（z）具有不同的形式，若输出信号为连续信号，可以在输出端虚设采样开关表明只能求取输出信号在采样瞬时的值。2）当输入信
7、号与第一个连续环节之间（即比较环节之后）无采样开关时，则应利用输入信号拉氏变换函数R（s）与相连环节传递函数G1（s）乘积RG1（s）的z变换RG1（z），以求出输出序列的z变换C（z），但无法定义（z）=C（z）/R（z）。3）离散系统的脉冲传递函数与连续系统的传递函数作用类似，表征离散系统的固有特性，与系统连续部分的结构、参数，采样周期，采样开关的具体位置有关。,25,4）离散系统脉冲传递函数（z）与相应的连续系统的闭环传递函数（s）具有相似的形式，可以根据（s）再考虑离散系统采样开关的位置直接写出离散系统的（z）；当环节G1（s）与环节G2（s）之间无采样开关隔开时，利用相连环节传递函数
8、拉氏变换乘积的z 变换G1G2（z）。需要注意的是，由于研究的是采样输入与采样输出之间的关系，当输入信号与输出信号之间（前向通道）无采样开关时，由于输入信号未经采样就流向输出端，则无法利用上述规律直接求系统的输出序列C（z），必须严格按照信号之间的关系求取C（z）。,26,7.5 离散系统的稳定性分析,27,7.5.s平面与z平面的映射关系 在z变换定义中已经确定了z和s变量之间关系如下 z=eTs其中s是复变量，可写成s=+j，所以z也是复变量 z=eTs=eT e jT写成极坐标形式为z=z e j=eT e jTs的实部只影响z的模，s的虚部只影响z的相角。s平面与z平面的映射关系为 s
9、平面 z平面 右半平面 z 单位园外=虚轴 z=单位园周 左半平面 z 单位园内,28,s/2,1,29,7.5.2、z域稳定的充分必要条件 离散系统稳定的充分必要条件也是它的特征方程的全部根的模都小于。或者说，全部特征根都位于z平面以原点为园心的单位园内。,例1 设离散系统如图所示，其中T0.07(秒)，试分析该系统的稳定性。,解：由已知的G(s)可求出开环脉冲传递函数,30,z2+3.5z+0.5=0z1=0.15 z2=3.73因为 z2 1，所以该系统是不稳定的。,闭环特征方程为,7.5.3、代数判据 连续系统中的代数判据(劳斯判据)，是根据特征方程的系数关系判断其根是否在s左半平面，
10、从而确定系统的稳定性。劳斯判据：特征方程是代数方程 稳定的边界是虚轴，稳定的区域是复平面的左半平面,31,在离散系统中，在z平面或在s半平面都不能直接引用劳斯判据。根据复变函数双线性变换公式，引用下列变换：,令 z=x+jy w=u+jv,32,当u时，对应w平面虚轴，则有x2+y2=1即z平面单位圆。当u时，w平面右半平面，对应z平面单位圆外。,33,例2 若已求得采样系统的特征方程式为3z3+3z2+2z+1=0试用w平面的劳斯判据判别稳定性。,解：应用w变换，令,由于第一列元素全为正，所以系统稳定。,w3+7w2+7w+9=0劳斯表为,34,例3 试确定图示系统稳定的K的取值范围。,解：
11、离散系统开环脉冲传递函数为,35,系统稳定的充分必要条件是,36,7.6 离散系统的时域分析,37,7.6.1 离散系统的时间响应过程 由时域解求性能指标的步骤：（1）由离散系统闭环脉冲传递函数(z)，求出输出量的z变换函数,（2）用长除法将上式展成幂级数，通过z反变换求得c*(t)。,（3）由c*(t)给出的各采样时刻的值，直接得出Mp%、tr、tp、ts等性能指标。,38,例4单位反馈采样系统如图所示，当T=1s，输入为单位阶跃函数时，试求输出响应及动态性能指标。,解：根据已知的G(s)求开环脉冲传递函数,39,再求闭环脉冲传递函数,C(z)=0.632z 1+1.097z 2+1.207
12、z 3+1.014 z 4+0.96z 5+0.968 z 6+0.99 z 7+,c*(t)=0.632(t T)+1.097(t 2T)+1.207(t 3T)+1.014(t 4T)+0.96(t 5T)+0.968(t 6T)+0.99(t 7T)+,40,t,1,c*(t)=0.632(t T)+1.097(t 2T)+1.207(t 3T)+1.014(t 4T)+0.96(t 5T)+0.968(t 6T)+0.99(t 7T)+,Mp%=20.7%tr=2(s)tp=3(s)ts=5(s),连续二阶系统:Mp%=16.3%，tr=2.42(s)，tp=3.6(s)，ts=5.3
13、(s),41,解：求开环脉冲传递函数,例5在例4中，增加零阶保持器，采样系统如图示，T1(s)，r(t)=1(t)，试分析系统的性能指标。,42,再求闭环脉冲传递函数,C(z)=0.368z 1+z 2+1.4z 3+1.4z 4+1.147z 5+0.895z 6+0.802z 7+0.868z 8+,c*(t)=0.368(t T)+(t 2T)+1.4(t 3T)+1.4(t4T)+1.147(t 5T)+0.895(t 6T)+0.802(t 7T)+0.868(t 8T)+0.993(t 9T)+,43,1,c*(t)=0.368(t T)+(t 2T)+1.4(t 3T)+1.4(
14、t4T)+1.147(t 5T)+0.895(t 6T)+0.802(t 7T)+0.868(t 8T)+0.993(t 9T)+,Mp%=40%tr=2(s)tp=4(s)ts=12(s),44,7.6.2 离散系统的稳态误差 稳态误差也是离散系统分析和设计的一个重要指标。用离散系统理论分析的稳态误差，仍然是指采样时刻的值。与连续系统相类似，离散系统的稳态误差可以由z 域终值定理得到，也可以通过系统的类型划分和典型输入信号两个方面进行分析。、用终值定理计算稳态误差 采用终值定理计算稳态误差，只要E(z)的极点全部严格位于z平面单位园内。,例6 设离散系统如图所示，其中T=0.1(s)，输入连
15、续信号r(t)分别为1(t)和t，试求离散系统相应的稳态误差,45,解：开环脉冲传递函数,误差脉冲传递函数,46,离散系统的型别根据开环脉冲传递函数 G(z)中 z=1的极点个数来确定。v=1，2，3，分别称为0型、型、型等等。,、用静态误差系数求稳态误差,47,（1）单位阶跃输入时的稳态误差,令 位置误差系数,48,（2）单位斜坡输入时的稳态误差,令 速度误差系数,49,（3）单位抛物线输入时的稳态误差,令 加速度误差系数,50,当离散系统为前图所示的典型系统时，可以直接由此表根据系统的开环脉冲传递函数直接求取在给定信号作用下的稳态误差。如果是其他结构的离散系统，则先求出E(z)，再根据终值定理求取稳态误差。,表2 典型离散系统在不同信号作用下采样瞬时的稳态误差,51,例7 求图示系统在输入信号为r（t）=1+t，系统的稳态误差。,解：系统连续部分的传递函数为：,系统是一型系统，并可判断该系统是稳定的。,系统开环脉冲传递函数为：,52,kp=,因为输入r(t)=1+t,则根据表可得系统的稳态误差为,由于系统连续部分有积分环节，系统在阶跃输入作用下的稳态误差为0。,53,谢 谢！,
