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1、第2章 单自由度线性系统的自由振动,振动：在一定条件下，振动体在其平衡位置附近所做的往复性机械运动。自由振动：系统仅受到初始条件(初始位移、初始速度)的激励而引起的振动。强迫振动：系统在持续外力激励下的振动。,组成振动系统的理想元件：质量元件质块弹性元件弹簧阻尼元件阻尼器,2.1 振动系统的理想元件,图示单自由度系统：m表示质块c表示阻尼器k表示弹簧,2.1.1 弹簧,弹簧的性质：弹簧在外力作用下的响应为其端点产生一定的位移。,假设与说明：(1)一般假设弹簧无质量 实际物理系统中的弹簧是有质量的。若弹簧质量相对较小，则可忽略不计;若弹簧质量相对较大，则需考虑弹簧质量;(2)假设为线性弹簧 工程
2、实际中，多数振动系统的振幅不会超出弹簧的线性范围。(3)假设弹簧不消耗能量，只以势能方式贮存能量,弹簧所受外力Fs是位移x的函数：Fs=f(x)式中：Fs弹簧的弹性恢复力，和外力方向相反。线性弹簧：Fs=kx，k为弹簧刚度系数，N/m。,弹簧刚度系数：使弹簧产生单位变形所需要的力或力矩。,同一弹性元件，根据所要研究振动方向不同，弹簧刚度系数亦不同。,以一端固定的等直圆杆为例加以说明，如图所示。,等效刚度系数,当确定沿x方向的刚度时，在B处沿x方向加一垂直力F。,B点在x方向的刚度系数为,根据材料力学知，B点在x方向的位移为,当确定沿y方向的刚度时，在B点沿y方向加一横向力P。,杆作弯曲变形，根
3、据材料力学知，B点沿y方向的位移,B点沿y方向的刚度系数为,杆件作转扭，产生扭角，根据材料力学知，B点沿x轴的扭角为,当确定绕x轴的转动方向的刚度，需要在B端绕x轴转动方向加一扭矩M。,B点绕x轴转动方向的刚度系数为,弹簧串并联与等效弹簧,在机械结构中，弹性元件往往具有比较复杂的组合形式。例如：并联弹簧、串联弹簧。为简化分析，可以用一个“等效弹簧”代替整个组合弹簧。,简化原则：等效弹簧的刚度与组合弹簧的刚度相等，等效弹簧刚度记为keq。,等效弹簧：对于复杂组合形式的弹性元件，用一个与其具有相同刚度的弹簧来代替，则该弹簧为等效弹簧。,并联弹簧的等效刚度,设弹簧k1、k2所受到的力分别为Fs1、F
4、s2，则有：Fs1=k1(x2-x1)Fs2=k2(x2-x1)总作用力Fs是Fs1与Fs2之和：Fs=Fs1+Fs2=（k1+k2）(x2-x1)=keq(x2-x1)则：keq=k1+k2,对于n个刚度分别为ki(il,2,n)的并联弹簧系统，等效刚度：,结论：并联弹簧的等效刚度是各弹簧刚度的总和。并联弹簧比各组成弹簧都要硬。,串联弹簧的等效刚度,串联弹簧上各点的作用力Fs相等：Fs=k1(x0-x1)Fs=k2(x2-x0)将以上两式联立，消去x0，得到：,对于n个刚度分别为ki(il,2,n)的串联弹簧系统，等效刚度：,结论：串联弹簧等效刚度的倒数等于各弹簧刚度的倒数之和。串联弹簧等效
5、刚度比原来各弹簧的刚度都要小，即串联弹簧较其任何一个组成弹簧都要“软”,弹簧串并联等效刚度实例,例1 求图示系统的等效弹簧刚度。,解：图中，弹簧刚度分别为k1和k2；质量m1、m2通过刚性杆相连，相当于一个质块。是并联弹簧，还是串联弹簧？并联弹簧的特点：各弹簧变形相同，即共位移。串联弹簧的特点：各弹簧受力相同，即共力。图中，弹簧k1、k2是“共位移”的，为并联弹簧。系统的等效刚度：keq=k1+k2,是并联弹簧？还是串联弹簧？,弹簧串并联等效刚度实例,例2 确定图示混联弹簧的等效刚度。,解：k1、k2为并联，再与k3串联：,例3 求图示振动系统的等效弹簧刚度。,串联弹簧,弹簧串并联等效刚度实例
6、,例4 求等效弹簧刚度。,弹簧串并联等效刚度实例,例5 求图示振动系统的等效弹簧刚度。,弹簧串并联等效刚度实例,2.1.2 阻尼器,阻尼器的性质：阻尼器在外力作用下的响应为其端点产生一定的运动速度。,假设与说明：(1)假设阻尼器的质量忽略不计。(2)阻尼器消耗能量，以热能、声能等方式耗散系统的机械能。,阻尼器所产生的阻尼力Fd是速度的函数：,阻尼力的方向和速度方向相反。,线性阻尼器（粘性阻尼）：阻尼力Fd是振动速度线性函数的阻尼器。即：，c为阻尼系数，Nsm。,非线性阻尼器：除线性阻尼以外的各种阻尼,(1)库仑阻尼,亦称干摩擦阻尼 在振动过程中，质块与平面之间产生库仑摩擦力Fc。库仑摩擦力为常
7、数，方向与质块运动速度方向相反。,(2)流体阻尼：当物体以较大速度在粘性较小的流体中运动时，由流体介质所产生的阻尼。流体阻尼力FL与速度平方成正比，方向与运动速度方向相反。,(3)结构阻尼,材料阻尼：由材料内部摩擦所产生的阻尼。滑移阻尼：结构各部件连接面之间相对滑动而产生的阻尼。结构阻尼：材料阻尼与滑移阻尼统称为结构阻尼。试验表明，对材料反复加载和卸载，其应力应变曲线成一个滞后曲线。,曲线所围图形面积的物理意义：一个循环中，单位体积材料所消耗的能量。这部分能量以热能形式耗散掉，从而对结构振动产生阻尼。试验表明，多数金属结构的材料阻力在一个周期内所稍耗的能量Es与振幅的平方成正比：,2.1.3
8、质块,质块的性质：质块在外力作用下的响应为其端点产生一定的加速度。,假设：质块为刚体，不消耗能量。,根据牛顿定理，力F m与加速度成正比：,如图所示的单自由度弹簧质量振动系统，质块m受到外界激励力F(t)的作用。,2.2 单自由度线性振动系统的运动微分方程,取质块m取脱离体，质块m受力如图所示。,x(t)质块位移，静平衡位置为位移起点；Fs(t)作用在质块上的弹簧力；Fd(t)作用在质块上的阻尼力。,根据牛顿第二定律，得：,单自由度线性系统运动微分方程：,运动微分方程的特点及所解决的问题,运动微分方程的特点：(1)是二阶常系数、非齐次线性常微分方程；(2)方程左边完全由系统参数m、c与k所决定
9、，反映了振动系统本身的固有特性；(3)方程右边是振动系统的驱动力F(t)，即系统的激励。,由运动微分方程所要解决的问题：(1)由m、c、k所决定系统的固有特性；(2)在激励F(t)作用下，系统会具有什么样的响应，即x(t)=？,当弹簧与阻尼器水平放置时，无重力影响。系统静平衡位置与弹簧未伸长时的位置一致。,静位移对系统运动微分方程的影响,弹簧和阻尼器垂直放置 如图。,运动微分方程：,弹簧末变形时质块的位置与静平衡时质块的位置不同,弹簧静变形量：st=mg/k,取静平衡位置为坐标原点，向下为坐标正方向，运动微分方程为：,结论：在线性系统的振动分析中，可以忽略作用于系统上的恒力及其引起的静态位移。
10、,自由振动：当F(t)=0时，系统所产生的振动。无阻尼自由振动：当F(t)0、c 0时，系统所产生的振动。,2.3 单自由度线性系统的无阻尼自由振动,单自由度系统的运动微分方程：,无阻尼自由振动微分方程：,设：,运动微分方程的通解：,式中，A1、A2待定系数；A、待定系数；A、待定系数。,由初始条件确定！,无阻尼自由振动：,x(t)振动的角频率为n。,1、固有角频率,无阻尼自由振动的固有角频率，rad/s。,2、固角频率与振动周期固有频率fn：系统每秒钟振动的次数，Hz或1s。振动周期T：系统振动一次所需的时间，s。,3、振幅与初相角,运动微分方程：,初始条件：,(1)无阻尼线性系统的自由振动
11、为等幅简谐振动。(2)无阻尼线性系统自由振动的固有角频率、固有频率、振动周期仅由系统本身参数所确定，与激励、初始条件无关。(3)自由振动的振幅和初相角由初始条件所确定。,结论：,简谐振动,矢量A与垂直轴x的夹角为nt-，A在x轴上的投影就表示解x(t)=Acos(nt-)。当nt-角随时间增大时，意味着矢量A以角速度n按逆时针方向转动，其投影呈谐波变化。,2.4 无阻尼自由振动固有频率的求解方法,求无阻尼自由振动固有频率的方法：(1)运动微分方程方法;(2)静变形方法;(3)能量法。,微幅振动时，sin，上式简化为：,解：取为广义坐标，运动微分方程为：,例1 绕水平轴转动的细长杆，下端附有重锤
12、(直杆重量和锤的体积忽略不计)，组成单摆。杆长为l，摆锤质量m，求摆振动的固有频率。,固有频率：,根据运动微分方程求固有频率,运动微分方程：,固有频率：,解：取为广义坐标。,例2 质量为M、半径为r的均质圆柱体在半径为R的圆柱面内作无滑动滚动，如图所示。(1)取为广义坐标，应用Lagrange方程建立系统运动微分方程；(2)若系统做微幅振动，将运动微分方程线性化，并求固有频率。,(1)系统动能,因：,(2)系统势能取圆柱体在铅垂线位置时质心所在位置为势能零点。,(3)Lagrange函数,(4)运动微分方程,(5)微幅振动微分方程,固有频率:,根据弹簧静变形计算固有频率,例3 均匀悬臂梁长为l
13、，弯曲刚度为EJ，重量不计，自由端附有重为P=mg的物体，如图所示。试写出物体的振动微分方程，并求出频率。,解：由材料力学知，在物体重力作用下，梁自由端静挠度为:,固有频率为:,对于能量无耗散的振动系统，自由振动时系统的机械能守恒。,对时间求导，得,两个特殊位置：静平衡位置、最大位移位置。静平衡位置：系统势能等于零，动能达到最大值Tmax。最大位移位置：系统动能等于零，势能达到最大值Vmax。,求系统运动微分方程,求固有频率,应用能量法计算固有频率,无阻尼自由振动对初始条件的响应：,最大位移（振幅）与最大速度：,最大动能与最大势能：,固有频率：,例4 质量为m，半径为r的实心圆柱体，在半径为R
14、的圆柱形面上无滑动地滚动。求圆柱体绕平衡位置作微小振动时的固有频率n。,解：取为广义坐标。,最大动能:,简谐振动时,最大势能:,由TmaxUmax得:,例5 如图，摆轮2上铰接摇杆1，不计摇杆质量。摇杆1的另一端装有质量m，在摇杆上联结刚度为k的两个弹簧以保持摆在垂直方向的稳定位置。系统对0点的转动惯量为Ie，其余参数如图，用能量法确定系统固有频率。,最大动能:,最大势能:,由TmaxUmax:,解：取为广义坐标。设A为振幅、n为固有频率：,在前面的讨论中，都忽略了弹簧的质量。当弹簧本身的质量占系统总质量较小时，这样的简化，一般能够满足工程实际问题的需要。在工程实际问题中，若弹簧本身质量占系统
15、总质量的比例较大，则有必要考虑弹簧质量。忽略弹簧的质量，将会导致计算出来的固有频率偏高。如何考虑弹簧本身的质量，以确定其对振动频率的影响，瑞利(Rayleigh)提出的一种近似方法。,考虑弹性元件质量对固有频率的因影响,例6 如图所示系统，弹簧刚度为k，弹簧长度为L、弹簧线密度为，弹簧质量m，且mL；质块质量为m。求系统自由振动的固有频率。,解：假设：(1)弹簧各截面位移与其距固定端处的原始距离成正比，即距固定端l处的弹簧位移为xl/L。(2)弹簧在l处微段dl的运动速度为l/L。(3)系统为简谐振动，即有：,(2)最大动能系统最大动能包括质块m的最大动能T1max和弹簧的最大功能T2max：,(1)最大势能,由TmaxUmax:,(3)固有频率,结论：质量为m 的均质线性弹簧质量振动系统，系统的等效质量为m+m/3，即弹簧质量m的1/3进入等效质量。,例7 设一均质等截面简支梁，如图所示。在中间有一集中质量m，梁的线密度,如把梁本身质量考虑在内，试计算此系统的固有频率和梁的等效质量。,解：假定梁在自由振动时动挠度曲线和简支梁中间有集中静载荷mg作用下的静挠度曲线一样。,梁的动能为,梁中点挠度。,系统为简谐振动，即有：,系统最大势能：,由TmaxUmax:,固有频率,
