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1、平面向量的数量积,已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则AOB=（0 180）叫做向量a与b的夹角.,O,B,A,向量的夹角,一、问题情境,其中力F 和位移s 是向量，是F 与s 的夹角，而功是数量.,数量 叫做力F 与位移s的数量积,已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作ab ab=|a|b|cos,规定:零向量与任一向量的数量积为0.,数量积的定义,注意：1.两个向量的数量积是数量，而不是向量.,2.书写时“”不能省略.,4.的范围,我们得到a b的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos
2、的乘积.,数量积的几何意义,B1,两个向量数量积的性质：,（1）e a=a e=|a|cos,（2）ab a b=0(判断两向量垂直的依据),（3）当a 与b 同向时，a b=|a|b|，当a 与b 反向时，a b=|a|b|特别地,（4）,（5）a b|a|b|,数学应用,2.判断下列各题是否正确：,1若a=0，则对任一向量b，有a b=0,2若a 0，则对任一非零向量b,有a b0,3若a 0，ab=0，则b=0,4若ab=0，则ab中至少有一个为0,6若a0，a b=a c，则b=c,5对任意向量 a 有,数量积的运算律,交换律：,对数乘的结合律：,分配律：,注意：,数量积不满足结合律,
3、例 2：求证：,（1）(ab)2a22abb2；,（2）(ab)(ab)a2b2.,证明：（1）(ab)2(ab)(ab),(ab)a(ab)b,aabaabbb,a22abb2.,证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.,例3、,例4、,两个向量的数量积是否为零,是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一.,练习：,基础训练题,A.4个 B.3个 C.2个 D.1个,D,B,B,巩固练习,三、典型例题分析,进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角.,例2如图，已知菱形ABCD的边长 为2，.,(1)求 与 的值；,(2)求、的值；,(3)求、的值；,(4)若E为AB上靠近A的一个三等分点，求 的值.,三、典型例题分析,例题讲解,课时小结:,作业：,
