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1、1,2.3 行列式按一行或一列展开及行列式的计算,一、余子式与代数余子式,二、行列式按行（列）展开法则,三、小结,Page 2,例如,一、余子式与代数余子式,Page 3,叫做元素 的代数余子式,例如,Page 4,Page 5,引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即,例如,Page 6,Page 7,即有,又,从而,再证一般情形,此时,Page 8,得,Page 9,得,Page 10,Page 11,中的余子式,Page 12,故得,于是有,Page 13,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，
2、即,证,二、行列式按行（列）展开法则,Page 14,Page 15,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,Page 16,同理,Page 17,关于代数余子式的重要性质,Page 18,定义,行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵,性质,证明,则,称为矩阵 的伴随矩阵.,Page 19,故,同理可得,分块对角阵的行列式,Page 20,例1,用降阶法计算,Page 21,Page 22,例2 计算行列式,解,Page 23,Page 24,例3计算,解,Page 25,Page 26,Page 27,Page 28,评注本题是利用
3、行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用,Page 29,证,用数学归纳法,Page 30,Page 31,n-1阶范德蒙德行列式,Page 32,注：对于此类型行列式，可直接用公式计算。,利用范德蒙行列式计算,利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。,Page 33,例5计算,解,Page 34,上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由
4、范德蒙行列式知,Page 35,评注本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式,Page 36,例6 计算n阶三对角行列式,解:将 按第1行展开，得,用递推法计算,Page 37,即,Page 38,同理：,当 时，可得,当 时，由(1)得,Page 39,例7计算,解,Page 40,Page 41,Page 42,由此递推，得,如此继续下去，可得,Page 43,Page 44,评注,Page 45,求第一行各元素的代数余子式之和,Page 46,解,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,爪型行列式,Page 47,用数学归纳法,例9证明,Page 48,证,对阶数n用数学归纳法,Page 49,Page 50,评注,Page 51,1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.,三、小结,
